数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（ A 卷）

2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析

考试时间： 120 分钟

学号

题号

姓名

一

二

1

年级专业

三

四

5

6

总分

2 3 4

得分 评阅人

一、判断题（每小题 1.

2 分，共 10 分）

用计算机求 10001

1000

时，应按照 n 从小到大的顺序相加。

（

）

n 1

n

2.

为了减少误差 ,应将表达式 2001

1999 改写为

2

进行计算。 （ ）

2001

1999

（

3.

用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 关，与常数项无关。

）

4. 5.

公式阶数越高， 数值解越精确。（

）

用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有

（

）

二、填空题（每空 2 分，共 36 分）

1. 已知数 a 的有效数为

0.01 ，则它的绝对误差限为 ________ ，相对误差限为 _________.

1 1

0 1 0 1

2. 设 A0

2 1 , x 3 0 2x5 4x3

1 1

5 , A 1 _____ ， x

则

2 ______ ， Ax

_____.

3. 已知 f ( x) 5x, 则 f [ 1,1,0]

A1 f (

, f [ 3, 2, 1,1,2,3]

.

4. 为使求积公式

f (x) dx

3

) A2 f (0) A3 f (

3

3

) 的代数精度尽量高，应使

3

， A3

A1 ， A2

，此时公式具有

次的代数精度。

5.

n 阶方阵 A 的谱半径

( A) 与它的任意一种范数 AX

B 时，使迭代公式

A 的关系是

.

6. 用迭代法解线性方程组

X ( k 1) MX (k )

N ( k

.

0,1,2, ) 产

生的向量序列

X (k )

收敛的充分必要条件是

7. 使用消元法解线性方程组

AX B 时，系数矩阵 A 可以分解为下三角矩阵

1/13

L 和上三角矩

阵 U 的乘积，即 A

LU . 若采用高斯消元法解

AX B，其中 A

4 2

AX

2 1

，则

L _______________ ， U

______________ ；若使用克劳特消元法解

B ，则

____ ；若使用平方根方法解 AX

<， =，不一定）。

11

u

B ，则 l11 与 u11 的大小关系为 _____ （选填： >，

8. 以步长为 1 的二阶泰勒级数法求解初值问题

y x y

的数值解，其迭代公式为

y(0) 1

___________________________. 三、计算题（第 1～ 3、 6 小题每题 1. 以 x0

8 分，第 4、 5 小题每题 7 分，共 46 分）

2 为初值用牛顿迭代法求方程

f (x) x3 3x 1 0 在区间 (1,2) 内的根，要求

（1 ） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；

（2 ） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算

取到小数点后 4 位）。

x1, x2 , 计算结果

2/13

2.

给定线性方程组

x1 0.4 x2 0.4 x3 1 0.4 x1 x2

0.8 x3 2

0.4 x1

（ 2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。

0.8 x2 x3 3

（ 1 ） 分别写出用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；

3.

已知函数 y f ( x) 在如下节点处的函数值

x

y

-1 1

0 4

1 3

2 0

（ 1） 建立以上数据的差分表；

（ 2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式 （ 3） 采用事后估计法计算（

P2 ( x) ，并计算 y(1.1) 的近似值；

。

2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）

3/13

4. 已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。

x

-1 1

0 2

1 5

2 0

y

4/13

5. 已知函数 y

f ( x) 在以下节点处的函数值，利用差商表求

x y

1 2

3 1

4 8

f (3) 和 f (3) 的近似值。

6.

写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。

y

x 2 y2

y(0) 0

(0 x 1, h 0.2)

5/13

8 分）已知 n+1 个数据点 (xi , yi )(i 0,1,2, ,n) ，请用多种方法建立这些数据点之间

6/13

四、（的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

期末及评分标准（

A 卷）

2007 学年第二学期

考试科目： 数值分析

一、判断题： （每小题 2 分，共 10 分） 1. ×

2. √ 3. ×

4. ×

5. ×

二、填空题： （每空 2 分，共 36 分）

0. 005

2

0.5

1.

或 0.5 10

，

2. 5, 26,15

3. 0,2

4. 1,0,1,3

5. ( A) A

6.

( M ) 1

1 0

1

7.

,4

2 1,

,

1

0

2

2

8.y

yn ( xn

y)

(1 xn

y ) y

1.5xn 2.5yn 0.5, n 0,1,2,

n

1

n

1

n或

n 1

2

三、解答题（第

1～ 4 小题每题 8 分，第 5、6 小题每题 7 分，共 46 分）

1.

（ 1）证明： f ( x) x3 3x 1，由于 a) f (1) 3 0, f (2) 1 0,

b) f ( x) 3x2 3 0 ( x (1,2)),

c) f ( x)

6x

0

( x (1,2)), 即 f ( x) 在 (1,2) 上不变号，

d)

对于初值 x0 2 ，满足 f (2) f (2)

0,

所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（ 2）解：牛顿迭代法的迭代公式为

7/13

4 分

x

f ( xn )

n 1

xn3 3xn 1

xn

f ( xn )

xn

3 xn2

3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 分

取初值 x0 2 进行迭代，得

x1 1.88,

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 分

x2 1.8795.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 分

2. 解：（1 ） Jacobi 迭代公式为

x1(k 1) x2(k 1) x3(k 1)

Gauss-Seidel 迭代公式为

0.4 x2(k ) 0.4 x1(k ) 0.4 x1(k )

0.4 x3(k ) 1

0.8 x3( k) 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 0.8 x2( k) 3

2 分

x1( k 1) x2(k 1)

0.4x2(k ) 0.4 x3(k ) 1 0.4x1(k 1) 0.4x1(k 1)

0.8 x3(k ) 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 0.8 x2(k 1)

2 分

x3(k 1)

3

0 . 4

0 . 4

（ 2

） Jacobi

迭代矩阵的特征方程为

0 . 4 0 . 8

0

，展开得

3

0 . 4

0.40.505)(

0 . 8

0.4

0.96 0.256 -1.0928,

0，即 (

2 0.8000,

0.8)(

3

0.505) 0 ，

从而得 1 0.2928 ，（或由单调性易判断必有一个大于

1 ，所以 Jacobi 迭代法发散。

1

的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分

0.4

0.4

Gauss-Seidel

迭代矩阵的特征方程为

0.4 0.4

0.8 0 ，展开得

0.8

( 2 0.832

0.128) 0 ，解得

1

0, 2 0.628, 3 0.204,迭代矩阵的谱半径

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 分

小于 1，所以 Gauss-Seidel 3.

解：（1 ）建立差分表

迭代法收敛。

8/13

x

1 0 1 2

y

y 3 1 3

2

y

3

y

1 4 3 0

4 2

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 分

（ 2）建立牛顿后插公式为

P2 ( x) 03

2

1!( x 2) ( x 2)( x 1)

2 !

3( x 2) ( x 2)( x 1)

x2 4

则所求近似值为

P2 (1.1) 2.79

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（ 3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为

P2(1) ( x) 31

( x 1)

4

( x 1) x

1! 2!

3 ( x 1) 2 x( x 1)

2x2

x 4

则

P2(1) (1.1) 2.68

根据事后误差估计法

2

R2 ( x) x

P2 (0.9) P2(1) ( 0.9)

x 1

故截断误差

0.9

R2 (1.1)

( 2.79 2.68) 0.0471

2.1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4.

解：设所求二次最小平方逼近多项式为P2 ( x) a0 a1 x a2 x2 . 根据已知数据，得

1 1 1 1 0 0 a1 0

2

M

, A

a1 ,Y 1 1 1 14 a2

5 2

0

9/13

3 分

3 分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

则

2 分

4 2 6

8 4 6

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 分

M M2 6 8 , M Y

6 8 18

建立法方程组为

4 2 6 a0 8 2 6 8 a1 4 6 8 18

a2

6

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

解得

a0 3.5, a1 1.5, a2

1.5.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

从而得所求一次最小平方逼近多项式为

P1 ( x) 3.5 1.5x

1.5x2.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.

解：设 P2 (x) 为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：

x

y 一阶差商 二阶差商

1 2 4 8

2 5

31

7 2

3 P

P2[3, 3] P2[4,3,3] 2 (3)

3

P

P2[3, 3]

P2[3,3,3]

2 (3)

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为二次多项式的二阶差商为常数，又

P2 ( x) 是 f ( x) 的插值函数，故有

PP5

2 [4, 3, 3] 2 [3, 3, 3]

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯而

P2[4, 3,3]

P2 [3, 3] 7 5 ，

3 4 2

因此得

10/13

2 分

1 分

1 分

2 分

2 分

P2 [3, 3]

9 2

，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

由于

1 分

f ( k ) ( x) k ! Pn [ x, x, x,

, x] ，

f (3)

k 1

从而得

f (3) P2[3, 3]

9 ,

2

2! P2[3, 3,3] 5.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 分

6. 解：前进欧拉公式：y

n 1

yn

h f ( xn , yn ) yn 0.2xn2 0.2yn2

1 分后退欧拉公式： yn 1 y)

⋯⋯⋯⋯n h f (xn 1 , yn 1

yn 0.2xn2 1 0.2 yn2

1 ⋯⋯1分预估时采用欧拉公式

yn* 1

yn

0.2xn2 0.2 yn2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 分

校正时采用后退欧拉公式

y

2

n 1

yn 0.2xn2 1 0.2 yn* 1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 分

由初值

知，节点分别为xi 0.2i, (i 1,2,3,4,5)

x0 0, y0 0, h 0.2

当 x1 0.2,

y1*

y0 0.2x02 0.2y02 0,

22

y1

y0 0.2 x1 0.2 y1*

0.008 ，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分

当 x2 0.4,

y*2 y1 0.2x12 0.2y12 0.0160,

11/13

2

y2 y1 0.2 x22 0.2 y2*

0.0401 .

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

当 x3

0.6,

y3* y2 0.2x22 0.2y22

0.0724,

2

y3

y2 0.2 x32 0.2 y3*

0.1131 .

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 当 x4 0.8,

y4* y3 0.2x32 0.2y32

0.1877,

2

y4

y3 0.2 x42 0.2 y4*

0.2481 .

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 当 x5 1.0,

y5* y4 0.2x42 0.2y42

0.3884,

2

*

2

y5 y4 0.2 x5 0.2 y5 0.4783 .

四、（ 8 分）

答： 1、可以建立插值函数： （ 1）Newton 基本差商公式

Pn( x)

f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x1 , x0 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn 1) f [ xn , , x1 , x0 ]

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（ 2）Lagrange 插值多项式

Ln ( x) a0 f ( x0 ) a1 f ( x1 ) ai f ( xi )

an f ( xn ) 其中 ai( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1) ( x xn )

, (i

0,1, , n) .

( xi x0 ) ( xi

xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯这两类插值函数的适用条件是：

n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2、可以建立拟合函数：

12/13

1 分

1 分

1 分

1 分

1 分

2 分

Pm ( x) a0 a1 x a2 x2

am xm

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

其中系数 a0 ,a1 , a2 , , an 满足法方程组 M MA

M Y ,

1 x0 x02 x0m a0 f ( x0 ) y0 1

x1

x12 x1m

a1

f ( x1 )

y1

M

, A

,Y

1 xn xn2

xnm

am f ( xn ) yn

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

拟合函数的适用条件是： n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

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1 分

1 分

2 分