江西玉山县仙岩中学2016届高三上学期数学(理科)第1次模拟测试

(满分150分，时间120分钟 全国卷模式)

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．复数的共轭复数是

A．i B．i C．1 D． 0 2．设函数f(x)lg(1x)的定义域为A，值域为B，则AB=

A．(0,) B．(1,) C．(0,1) D．(,1) 3．若等差数列an和等比数列bn满足a1b11,a2b22,则a5b5 A．5 B．16 C．80 D．160 4．“|x1|2”是“x(x3)0” 的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是

1i

xy50ya6．若关于x、y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围0x2是

A．a5 B．a7 C．5a7 D．a5或a7 7．若函数f(x)x递增的是

A．(2,0) B．(0,1) C．(1,) D．(,2)

b(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间单调x8．定义平面向量的正弦积为ab|a||b|sin2，（其中为a、b的夹角），已知△ABC中，ABBCBCCA，则此三角形一定是

A．等腰三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D． 钝角三角形 9．已知向量a,b满足a1，b2，ab3，则a与b的夹角为 A．

25 B． C． D．

633610. 设数列{an}的前n项和为Sn，若a11,an13Sn(nN)，则S6 A．44 B．45 C．(461) 11. 设双曲线

x2a2y2b21(a0,b0)的渐近线方程为y13D．(451)

133x，则该双曲线的离心率为 3 A．

3223 B．2 C． D．2 23212. 设A,B为抛物线y2px(p0)上不同的两点，O为坐标原点,且OAOB,则

OAB面积的最小值为

A．p B．2p C．4p D．6p

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．(x)展开式的常数项的值为________________。

22221x6开 始 x2y21的渐近线的距离 14．点A(0,1)到双曲线4为______________。

15．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是5， 则判断框内m的取值范围是________________。 16．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体 表面积的最大值为 。

k=1 S=0 S在正项等比数列an中，公比q(0,1)，a3a55且a3和a5的等比中项是2． （1）求数列an的通项公式；

（2） 若bn1(log2a1log2a2log2an)，判断数列bn的前n项和Sn是否存在最大n值，若存在，求出使Sn最大时n的值；若不存在，请说明理由。

18.（本小题满分12分）

在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀。

（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数a、b的值；

区间 人数 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） 50 a 350 300 b （2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；

（3）在根据(2)抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加 座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列 与数学期望（即均值）。

19.（本小题满分12分）

0如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC,ABC90,ADAB1BC,E是底边BC上2的一点，且EC3BE. 现将CDE沿DE折起到C1DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C1ABED,且C1AAB. （1）求证：C1A平面ABED;

（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值.

C1

B

C

B

图1

A D A M

D

E

E

图2

20．（本小题满分12分）

x2y2已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2:221(ab0)的右焦点重合，

abC1与C2在第一和第四象限的交点分别为A、B．

(1) 若△AOB是边长为23的正三角形，求抛物线C1的方程； (2)若AFOF，求椭圆C2的离心率e；

(3) 点P为椭圆C2上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M(m,0)和N(n,0)，证探究：当a为常数时，mn是否为定值？请证明你的结论．

21．（本小题满分12分） 已知f(x)ln(x1),g(x)12axbx(a,bR)． 2(1) 若b2且h(x)f(x1)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (2) 若a0,b1,求证：当x(1,)时，f(x)g(x)0恒成立； (3) 设x0,y0，证明：xlnxylny(xy)ln

22．(几何证明选讲选做题)

xy。 2

如图，CF是ABC边AB上的高，FPBC,FQAC. （1）证明：A、B、P、Q四点共圆； （2）若CQ=4，AQ=1，PF=

23．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线C的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

45，求CB的长. 3半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

x1tcos(t是参数)

ytsin（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且AB14，求直线的倾斜角的值．

24．(不等式选讲选做题) 已知函数f(x)x22x2 （1）解不等式f(x)2;

（2）设g(x)xa，对任意x[a,)都有 g(x)f(x)，求a的取值范围.

江西玉山县仙岩中学2016届高三数学（理科）第1次模拟测试答案

一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分

题号 答案

二．填空题：共4小题，每小题5分，满分20分． 13．20 14．

1 A 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 D 10 B 11 C 12 C 25 15. (12,20] 16. 72 5三．简答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题. 17.解: （1）依题意：a3a54，„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

又a3a55 ，且公比q(0,1)， 解得 a34,a51。 ∴ q2a511,即q，„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 a342a316，„„„„„„„„„„„„„„„„4分 q2n1∴ a1∴ ana1q116()n125n 。„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

2（2）∵ log2an5n，

(45n)n19n2 ∴ bn(43(5n))。„„„„„„„„„„6分 nn2∵当n9时，bn0，当n9时，bn0，当n9时，bn0。„„„„„8分 ∴ S1S2S8S9S10S11。„„„„„„„„„„„„„„10分 ∴ Sn有最大值，此时n8或n9。„„„„„„„„„„„„„„„12分

18．解：（1）80分至85分的人数为：a0.0451000200（人）；„„„1分

95分至100分的人数为：b0.0251000100（人）；„„„2分 （2）用分层抽样的方法从1000人中抽取40人，其中成绩为优秀的学生人数为：

(350300100)4030（人）；„„„5分 1000（3）在抽取的40人中，85分以下的共有10人，85分及其以上的共有30人，从中抽取的2人中，成绩优秀的人数X的可能取值分别是：0人、1人、2人，其分布列如下表：

X P(X) 0 1 2 529 13523202939121.5„„„12分 X的数学期望为：EX052525226

19、解：（1）设ADAB2223 521BC1，则C1A1,C1D2 2z C1 C1AADC1D ∴C1AAD„„„2分

又BE13 ，C1E 2259AE2AB2BE2 ∴C1A2AE2C1E2

44M A D y

∴C1AAE„„„4分 又AD∩AEA

∴C1A平面ABED„„„5分

B x E （2）由（1）知：C1A平面ABED且ABAD,分别以AB、AD、AC1为x轴、y 轴、

z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图„„„6分

1E(1,,0),D(0,1,0)

2111111 M是C1E的中点 ∴M(,,) ∴BM(,,)„„„8分

2422421 设平面C1DE的法向量为n(x,y,z) DE(1,,0),C1D(0,1,1)

21nDE0xy0 由 即 令y2 得n(1,2,2)„„„10分 2nC1D0yz0 则B(1,0,0),C1(0,0,1), 设直线BM与平面C1DE所成角为，则sin|BMn||BM||n|4 9

∴ 直线BM与平面C1DE所成角的正弦值为

4.„„„12分 920、解：（1）设椭圆的右焦点为F(c,0)，依题意得抛物线的方程为y24cx„„1分 ∵△AOB是边长为23的正三角形，

∴点A的坐标是(3,3)，，„„„„„„„„2分 代入抛物线的方程y24cx解得c21， 4故所求抛物线C1的方程为yx。„„„„„„„„„3分 （2）∵AFOF, ∴ 点A的横坐标是c

b2b2代入椭圆方程解得y，即点A的坐标是(c,)，„„„„„„„„4分

aa∵ 点A在抛物线y24cx上，

b422∴24c,即b2ac，„„„„„„5分 a222将bac代入上式整理得：()2ca2c10， a即e2e10，解得e12。„„„„„„„„„„6分 ∵ 0e1，故所求椭圆C2的离心率e221。„„„„„„„„„„7分

（3）证明：设P(x1,y1),A(x2,y2),B(x2,y2)，代入椭圆方程得

22x12y12x2y221,221，„„„„„„„„„„8分 2abab而直线PA的方程为(x2x1)(yy1)(xx1)(y1y2)0，„„„„„9分 令y0得mx2y1x1y2。„„„„„„„„10分

y1y2在mx2y1x1y2xyx1y2中，以y2代换y2得n21，„„„„„„„11分

y1y2y1y2222x2y1x1y2x2y1x1y2x2y1x12y2∴ mn 22y1y2y1y2y1y2

2y2y12222a(12)y1a(12)y2bba2 22y1y22∴当a为常数时，mn是定值。„„„„„„„„„„12分

21解：(1)当b2时，hxlnx∴h(x)12ax2x 21ax2。.„„„„„„„„„„1分 x21ax2x∵ h(x)有单调减区间，∴h(x)0有解，即0

x∵ x0，∴ ax22x10有解。„„„„„„„„„2分 （ⅰ）当a0时符合题意；

（ⅱ）当a0时，△44a0，即a1。 ∴a的取值范围是(1,)。„„„„„„„„„4分 （2）当a0,b1时，设(x)f(x)g(x)ln(x1)x， ∴ (x)∵x1，

讨论(x)的正负得下表：

1x1。„„„„„„„„„5分 x1x1 „„„„„„6分

∴当x0时(x)有最大值0. 即(x)0恒成立。

∴当x(1,)时，f(x)g(x)0恒成立。„„„„„„„„„8分 （3）∵x0,y0， ∴xlnxylny(xy)lnxy 2

x(lnxln xlnxyxy)y(lnyln)„„„„„„„„„„10分 222x2yxyxyylnxlnyln xyxy2x2yyxxy)yln(1)„„„„„„„„„„11分 2x2yyxxyyxxy)yln(1)xy0 2x2y2x2yxy2„„„„„„„„„12分

xln(1 由（2）有xln(1xlnxylny(xy)ln ∴

22．解：（1）证明:连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆，

QCFQPF,AQCFCPQQPF90ACPQ.

则四点A、B、P、Q共圆。„„„5分 （2） CFCQCA4520,

2直角三角形CPF中，CPCF2PF220(CF2又CPCBCF，CB6CP245210)33 „„„10分

23．解：（1）(x2)y4„„„4分 （2）将22x1tcos代入圆的方程得（tcos1)2(tsin)24，

ytsin2化简得t2tcos30.

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t1t22cos, „„„6分

t1t23

ABt1t2t1t224t1t24cos21214,

4cos22,cos

24. 解：（1）f(x)32,或.„„„10分

442-2 当x2时，x42, 即x2，∴x；

22,∴x1 33当2x1时，3x2,即x当x1时，x42, 即x6, ∴1x综上，{x|6

y 3 4 x 23x6} „„„„„„„„5分 x4,x2（2）f(x)3x,2x1

x4,x1函数f(x)的图像如图所示：

∵g(x)xa，a表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，a2； ∴当-a2，即a-2时成立；„„„„„„„„„„„8分

a, 2当a2，即a2时，令x4xa， 得x2∴a2+

a,即a24时成立，综上a-2或a4。„„„„„„„„10分