2020-2021学年安徽省合肥市庐江县七年级(下)期中数学试卷(含解析)

一、选择题（共10小题）.

1．以下图形中，∠1与∠2表示邻补角的是（ ）

A． B．

C． D．

2．的平方根是（ ）

B．4

C．±2

D．+2

A．±4

3．点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（ ） A．第一象限 4．关于A．

，＜2＜

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

，2大小比较正确的是（ ）

B．

＜

＜2

C．

＜

＜2

D．2＜

＜

5．如图，由下列条件不能得到AB∥CD的是（ ）

A．∠B+∠BCD＝180° C．∠3＝∠4

B．∠1＝∠2 D．∠B＝∠5

6．如图，将△ABC沿CB向左平移3cm得到△DEF，AB，DF相交于点G，如果△ABC的周长是12cm，那么△ADG与△GBF周长之和为（ ）

A．12cm B．15cm C．18cm D．24cm

7．命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③如果两条直线垂直于同一条直线，那么这

两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题的有（ ） A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

8．“引江济淮”工程是一项以城乡供水和发展江淮航运为主要目的大型跨流域调水工程．目前该工程经过我县段正紧锣密鼓地进行施工．为了测量村庄A是否对河道施工有影响，需测量村庄A到河道的距离．某测绘队沿河道规划路线MN进行测量，如图，测量角度∠APN与线段AP的长度如表所示： ∠APN度数（°） AP长度（m）

则下面说法正确的是（ ）

693

587

9

550

570

620

52.3

69.3

88.8

93.5

105.8

117.8

A．村庄A到河道距离等于9m B．村庄A到河道距离小于9m C．村庄A到河道距离大于9m D．村庄A到河道距离等于550m

9．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（4，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以6个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）

A．（0，2） B．（﹣4，0） C．（0，﹣2） D．（4，0）

10．如图是庐城一些地点的分布示意图．在图中，分别以向右，向上为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣3）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（6，﹣4）；

②当表示广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4，﹣6）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（12，﹣8）；

③当表示广场的点的坐标为（1，1），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣3，﹣5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（13，﹣7）；

④当表示广场的点的坐标为（1.5，1.5），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4.5，﹣7.5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（19.5，﹣10.5）． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③

B．②③④

C．①④

D．①②③④

二、填空题（每小题5分，满分20分） 11．下列各数：

，

，

，

，0.

，﹣3.1010010001…（两个1之间的0的个数

逐次增加），无理数有 个．

12．直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为 °．

13．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2，90°），B为（5，30°），C为（5，240°），则目标D的位置表示为 ．

14．有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．

（1）如图1，当x＝32°时，∠FGD′＝ 度；

（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝ （用x的式子表示）．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）计算：﹣12021+

+

；

（2）求所给式子中x的值（x+1）2﹣2＝23．

16．已知点P（﹣3a﹣4，2+a），根据下列条件，分别求点P的坐标： （1）点P在x轴上；

（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．观察下列一组等式： 第①个第②个第③个第④个

； ； ； ；

根据你观察到的规律，完成以下问题： （1）第⑤个等式为 ．

（2）用n的式子表示第n个等式为 ．

18．如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．

如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD． 证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（ ）， ∴∠2＝∠4（等量代换）， ∴ （ ）． ∴∠3＝∠C（ ）． 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠3＝∠B（等量代换）， ∴AB∥CD（ ）．

20．已知x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3， （1）求x，y的值； （2）求x2+y2的平方根；

（3）若将平面坐标系内点P（x，y）先向左再向下分别平移在第 象限． 六、（本题满分12分）

21．如图所示，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（6，2），C（﹣4，﹣2），将△ABC沿x轴向右平移6个单位再沿y轴向下平移3个单位得到△A1B1C1． （1）请在坐标系中画出△A1B1C1；

（2）连接AA1，CC1，线段AA1，CC1关系为 ．

（3）若P（a，b）为△ABC内一点，则经过平移后对应点P1坐标为 ． （4）△A1B1C1的面积为 ．

个单位，则对应点P′

七、（本题满分12分）

22．如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．

（1）判断∠A与∠CEF是否相等，并说明理由． （2）若∠AED＝80°，求∠C的度数．

八、（本题满分14分）

23．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．

（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；

（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP时，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

参

一、选择题（共10小题）.

1．以下图形中，∠1与∠2表示邻补角的是（ ）

A． B．

C． D．

解：A．两个角是对顶角，故不是邻补角； B、两个角是邻补角，符合题意；

C、两个角不存在公共边，故不是邻补角； D、两个角不等于180°，故不是邻补角． 故选：B． 2．

的平方根是（ ）

B．4

＝4，±

＝±2，

C．±2

D．+2

A．±4 解：

故选：C．

3．点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（ ） A．第一象限 解：∵ab＞0， ∴a，b同号， ∵a+b＜0， ∴a，b同为负号， 即a＜0，b＜0，

根据象限特点，得出点P在第三象限， 故选：C． 4．关于

，

，2大小比较正确的是（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．解：∵∴∵∴∴

＜2＜ B．，

＜＜2 C．＜＜2 D．2＜＜

，

， ，

，

故选：A．

5．如图，由下列条件不能得到AB∥CD的是（ ）

A．∠B+∠BCD＝180° C．∠3＝∠4

解：A、∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD，正确，故本选项不选； B、∵∠1＝∠2，

B．∠1＝∠2 D．∠B＝∠5

∴AD∥BC，不能推出AB∥CD，错误，故本选项选； C、∵∠3＝∠4，

∴AB∥CD，正确，故本选项不选； D、∵∠B＝∠5，

∴AB∥CD，正确，故本选项不选； 故选：B．

6．如图，将△ABC沿CB向左平移3cm得到△DEF，AB，DF相交于点G，如果△ABC的周长是12cm，那么△ADG与△GBF周长之和为（ ）

A．12cm B．15cm C．18cm D．24cm

【分析】根据平移的性质可得AD＝EB，然后判断出△ADG与△BGF的周长之和＝AD+DG+GF+AG+BG+BF＝EF+AB+DF，然后代入数据计算即可得解． 解：∵将△ABC向左平移3cm得到△DEF， ∴AD＝EB，

∴△ADG与△CEG的周长之和＝AD+DG+GF+AG+BG+BF＝EF+AB+DF＝BC+AB+AC＝12（cm）， 故选：A．

7．命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题的有（ ） A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

【分析】根据对顶角的概念、平行线的性质、平行公理、平行线的判定定理判断即可． 解：①对顶角相等，是真命题；

②两直线平行，同旁内角互补，故本说法是假命题；

③在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，是假命题；

④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本说法是假命题； ⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行是真命题； 故选：D．

8．“引江济淮”工程是一项以城乡供水和发展江淮航运为主要目的大型跨流域调水工程．目前该工程经过我县段正紧锣密鼓地进行施工．为了测量村庄A是否对河道施工有影响，需测量村庄A到河道的距离．某测绘队沿河道规划路线MN进行测量，如图，测量角度∠APN与线段AP的长度如表所示： ∠APN度数（°） AP长度（m）

则下面说法正确的是（ ）

693

587

9

550

570

620

52.3

69.3

88.8

93.5

105.8

117.8

A．村庄A到河道距离等于9m B．村庄A到河道距离小于9m C．村庄A到河道距离大于9m D．村庄A到河道距离等于550m

【分析】当 AP⊥MN时，AP为A到河道的距离，根据垂线段最短，解答即可． 解：当 AP⊥MN时，AP为A到河道的距离， 即∠APN＝90°时，90°＞88.8°， ∴A到河道的距离小于9m． 故选：B．

9．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（4，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以6个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）

A．（0，2） B．（﹣4，0） C．（0，﹣2） D．（4，0）

【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体乙是物体甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 解：矩形的边长为8和4，因为物体乙是物体甲的速度的3倍， 时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：3，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×1，

物体甲行的路程为24×＝6，物体乙行的路程为24×＝18，在DE边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×2，

物体甲行的路程为24×2×＝12，物体乙行的路程为24×2×＝36，在DC边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×3，

物体甲行的路程为24×3×＝18，物体乙行的路程为24×3×＝，在BC边相遇； ④第四次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×4，

物体甲行的路程为24×4×＝24，物体乙行的路程为24×4×＝72，在A点相遇； 此时甲乙回到原出发点，则每相遇四次，两点回到出发点， 2021÷4＝505…1，

故两个物体运动后的第2020次相遇地点的是点A，即物体甲行的路程为24×1×＝6，物体乙行的路程为24×1×＝18时，达到第2021次相遇， 此时相遇点的坐标为：（0，2）， 故选：A．

10．如图是庐城一些地点的分布示意图．在图中，分别以向右，向上为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣3）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（6，﹣4）；

②当表示广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4，﹣6）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（12，﹣8）；

③当表示广场的点的坐标为（1，1），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣3，﹣5）

时，表示周瑜文化园的点的坐标为（13，﹣7）；

④当表示广场的点的坐标为（1.5，1.5），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4.5，﹣7.5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（19.5，﹣10.5）． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③

B．②③④

C．①④

D．①②③④

【分析】根据各结论所给两个点的坐标得出原点位置及单位长度，从而得出答案． ①每个小格1个单位，可做判断； ②每个小格2个单位，可做判断；

③每个小格2个单位，且原点不在格点上，可做判断； ④每个小格3个单位，且原点不在格点上，可做判断．

解：①当表示广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣3）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（6，﹣4）； 所以①正确，

②当表示广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4，﹣6）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（12，﹣8）； 所以②正确；

③当表示广场的点的坐标为（1，1），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣3，﹣5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（13，﹣7）； 所以③正确，

④当表示广场的点的坐标为（1.5，1.5），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4.5，﹣7.5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（19.5，﹣10.5）； 所以④正确． 故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．下列各数：

，

，

，

，0.

，﹣3.1010010001…（两个1之间的0的个数

逐次增加），无理数有 3 个．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

解：0.

，，是分数，属于有理数；

是循环小数，属于有理数；

，

，﹣3.1010010001…（两个1之间的0的个数逐次增加），共3个．

无理数有：

故答案为：3．

12．直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为 40 °．

【分析】过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论． 解：如图，过E作EF∥AB， 则AB∥EF∥CD， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠3+∠4＝60°， ∴∠1+∠2＝60°， ∵∠1＝20°， ∴∠2＝40°， 故答案为：40

13．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2，90°），B为（5，30°），C为（5，240°），则目标D的位置表示为 （3，300°） ．

【分析】第1个数字为点所在圈数，第2个数据为所在射线对应的角度，从而得出答案．解：由题意知目标D的位置表示为（3，300°）， 故答案为：（3，300°）．

14．有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．

（1）如图1，当x＝32°时，∠FGD′＝ 度；

（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝ 2x （用x的式子表示）．

【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；

（2）由长方形的对边是平行的，设∠BFE＝∠DEF＝x，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，由角平分线的定义得到∠PGF＝x，再根据三角形外角的性质得到∠GPE，从而求解．

解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝32°，

∵长方形的对边是平行的， ∴∠DEG＝∠FGD′，

∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝°， ∴∠FGD′＝∠EGD＝°，

∴当x＝30度时，∠GFD′的度数是°． 故答案为：；

（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x． 由折叠可得∠GEF＝∠DEF， ∵长方形的对边是平行的， ∴设∠BFE＝∠DEF＝x， ∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x， ∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，

由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x， ∵GP平分∠MGF， ∴∠PGF＝x，

∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x， ∴∠GPE＝2∠GEP＝2x． 故答案为：∠GPE＝2x．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）计算：﹣12021+

+

；

（2）求所给式子中x的值（x+1）2﹣2＝23．

【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根的性质分别化简得出答案； （2）直接利用平方根的定义计算得出答案． 解：（1）原式＝﹣1+3+ ＝

（2）（x+1）2﹣2＝23， 则（x+1）2＝25， 故x+1＝±5，

；

解得：x＝4或x＝﹣6．

16．已知点P（﹣3a﹣4，2+a），根据下列条件，分别求点P的坐标： （1）点P在x轴上；

（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴．

【分析】（1）由于点P在x轴上，则纵坐标为0，即可求出a的值，再代入横坐标，即可得出答案；

（2）由PQ∥y轴，则点P的横坐标等于5，求出a的值，进而可以得出答案． 解：（1）∵点P（﹣3a﹣4，2+a）在x轴上 ∴2+a＝0， 解得，a＝﹣2， ∴﹣3a﹣4＝2，

∴点P坐标为 （2，0）． （2）∵PQ∥y轴，Q（5，8） ∴﹣3a﹣4＝5， 解得，a＝﹣3， ∴2+a＝﹣1，

∴点P坐标为 （5，﹣1）．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．观察下列一组等式： 第①个第②个第③个第④个

； ； ； ；

根据你观察到的规律，完成以下问题： （1）第⑤个等式为

．

（2）用n的式子表示第n个等式为 ＝（n+1） ．

【分析】（1）根据题目中给出的式子，可以写出第⑤个等式；

（2）根据题目中式子的特点，可以写出第n个等式． 解：（1）∵第①个第②个第③个第④个

∴第⑤个等式为：故答案为：（2））∵第①个第②个第③个第④个

； ； ；

；

；

； ； ；

， ；

∴第n个等式为：＝（n+1），

故答案为：＝（n+1）．

18．如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．

【分析】由对顶角相等可得∠AOC＝40°，由角平分线的性质可得∠COE的度数，利用OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，用角的和差可求∠DOF的度数． 解：∵OE平分∠AOC，

∴∠COE＝∠AOC．

∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝40°， ∴∠AOC＝40°．

∴∠COE＝×40°＝20°． ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°．

∴∠DOF＝180°﹣∠EOF﹣∠COE＝180°﹣90°﹣20°＝70°． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．

如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD． 证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（ 对顶角相等 ）， ∴∠2＝∠4（等量代换），

∴ CE∥BF （ 同位角相等，两直线平行 ）． ∴∠3＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）． 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠3＝∠B（等量代换），

∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．

【分析】根据平行线的判定和性质解答．

【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等）， ∴∠2＝∠4（等量代换），

∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠3＝∠B（等量代换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．

20．已知x﹣2的平方根是±1，2x+y+17的立方根是3， （1）求x，y的值； （2）求x2+y2的平方根；

（3）若将平面坐标系内点P（x，y）先向左再向下分别平移在第 二 象限．

【分析】（1）根据平方根和立方根的定义得出x﹣2＝1，2x+y+17＝27，解之求出x的值；（2）将x、y的值代入x2+y2求得其结果，再由平方根的定义求解即可； （3）先根据点的坐标的平移规律得出平移后的对应点的坐标，继而得出答案． 解：（1）根据题意知x﹣2＝1，2x+y+17＝27， 解得x＝3，y＝4；

（2）∵x＝3，y＝4， ∴x2+y2＝32+42＝9+16＝25， 则x2+y2的平方根为±5；

（3）由题意知，点P的坐标为（3，4）， 平移后点的坐标为（3﹣∵3﹣

＜0，4﹣

，4﹣

），

个单位，则对应点P′

＞0，

∴点P的对应点P′在第二象限， 故答案为：二． 六、（本题满分12分）

21．如图所示，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（6，2），C（﹣4，﹣2），将△ABC沿x轴向右平移6个单位再沿y轴向下平移3个单位得到△A1B1C1． （1）请在坐标系中画出△A1B1C1；

（2）连接AA1，CC1，线段AA1，CC1关系为 平行且相等 ．

（3）若P（a，b）为△ABC内一点，则经过平移后对应点P1坐标为 （a+6，b﹣3） ．（4）△A1B1C1的面积为 12 ．

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）根据平移的性质进行判断；

（3）利用点平移的坐标变换规律得到点P1坐标；

（4）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积． 解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）线段AA1与CC1平行且相等； （3）点P1坐标为（a+6，b﹣3）；

（4）△A1B1C1的面积＝5×6﹣×2×4﹣×3×6﹣×2×5＝12． 故答案为平行且相等；（a+6，b﹣3）；12． 七、（本题满分12分）

22．如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．

（1）判断∠A与∠CEF是否相等，并说明理由． （2）若∠AED＝80°，求∠C的度数．

【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可说明；

（2）由（1）知AB∥EF，可得∠3＝∠ADE，根据平行线的判定与性质即可求出∠C的度数．

解：（1）相等，理由如下：

∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°， ∴∠2＝∠DFE， ∴AB∥EF， ∴∠A＝∠CEF；

（2）由（1）知AB∥EF， ∴∠3＝∠ADE， ∵∠3＝∠B． ∴∠B＝∠ADE， ∴DE∥BC， ∴∠C＝∠AED， ∵∠AED＝80°， ∴∠C的度数为80°． 八、（本题满分14分）

23．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．

（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；

（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP时，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；

（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；

（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC．

解：（1）如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，

∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；

（2）∠AKC＝∠APC． 理由：如图2，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK， 过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC， ∴∠AKC＝∠APC；

（3）∠AKC＝∠APC

理由：如图3，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD，

∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK， 过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC， ∴∠AKC＝∠APC．