2016年中考数学分类汇编：二次函数压轴题(含答案)

2016年中考数学分类汇编：二次函数压轴题(含答案)

【题1】（2016•成都第28题）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

【题2】（2016•泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

2

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

【题2】（2016•东营第25题）

3

4

参：（1）yx （2）P（ （3）k=1 2

-1OB图1A31xAy51，422x

31，2）或P（）

yyMNCTxOB图2（备用图）xO图3二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题

【题4】（2016•益阳第21题）如图，顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物

线于点D，求证：△OCD≌△OAB；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，

求出P点的坐标．

5

【题5】（2016•哈尔滨第27题）如图，二次函数y＝ax

2

＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x

3

＝－ ，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y

2 轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD． （1）求该二次函数的解析式；

（2）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，将△BPF沿边PF翻折，得到△B′PF，使△B′PF与△DPF1

重叠部分的面积是△BDP的面积的 ，若点B′在OD

4 上方，求线段PD的长度;

（3）在（2）的条件下，过B′作B′H⊥PF于H，点Q在OD下方的抛物线上，连接AQ与B′H交于点M，点

y y y G在线段AM上，使∠HPN+∠DAQ =135°，延长PG交AD于N．若AN+ B′M=5,求点Q的坐标． 2D A D A D A C C C O x

O x B B O x B 6

参：（1）yx3x

2（２）∵A（1,4）C（0,2）∴y（-4,4）∴BD2∴PB=

【题6】（2016•临沂第26图，在平面直角坐标系中，y=—2x+10与x轴、y轴相交

1010AC2x2，∴B（-2，-2）∵D

，

由条件得P´是PD的中点，四边形BFB´P是菱形，

∵P在yx上，∴P

（-1,1）∴PD=32

题）如直线于A、

B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC.

（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的

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速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【题7】（2016•天津第25题）

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三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题

x【题8】（2016•重庆第26题）如图1，二次函数y122-2x1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0,1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。

（1）求直线AB和直线BC的解析式；

（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD//x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F，当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+

22BH的值最小，求点H的坐标和GH+

22BH的最

小值；

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（3）如图2，直线AB上有一点K（3,4），将二次函数

y12x-2x12沿直线BC平移，平移的距离是t(t≥0)，平移后

抛物线上点A，点C的对应点分别为点A/，点C/；当△A/C/K是直角三角形时，求t的值。

【题9】（2016•苏州第28题）如图，直线l:y3x3与x轴、

yAMOEC图1PDFNxGyByBKAOC图2x轴分别相交于A、B两点，抛物线yax22axa4(a0)经过

点B．

(1)求该地物线的函数表达式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM．设点M的横坐标为m，△ABM

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的面积为S．求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； (3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M.

①写出点M的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l，当直线l与直线AM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l与线段BM交于点C．设点B、M到直线l的距离分别为

d1、d，当dd最大时，求直线l旋转的角度（即∠BAC

212的度数）．

四、与直角三角形性质有关的综合题

【题10】（2016•枣庄第25题）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.

⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和

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抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；

⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

第25题图

【题11】（2016•甘肃平凉第28题）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式； （2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之

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停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

五、与相似三角形性质有关的综合题

【题12】（2016•湖州第23题）

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【题13】（2016•长沙第26题）如图，直线l：y=－x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°.

(1) 求△AOB的周长；

(2) 设AQ=t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标； (3) 当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记作∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件： ① 6a+3b+2c=0;

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2② 当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于m，求二

次项系数a的值.

六、与圆的性质有关的综合题

【题14】（2016•巴中第31题）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于

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直线y=x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

七、与阅读理解有关的综合题

【题15】（2016•长沙第25题）若抛物线L：y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L与顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”.

(1) 若直线y=mx+1与抛物线y=x2－2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；

(2) 若某“路线”L的顶点在反比例函数y6的图像上，x它的“带线” l的解析式为y=2x－4，求此“路线”L的解析式；

22 (3) 当常数k满足1≤k≤2时，求抛物线L: y=ax+(3k2－2k+1)x+ k的“带线” l与x轴，y轴所围成的三角形面

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积的取值范围.

【题16】（2016•丽水第23题）如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；

（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．

八、与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题

【题17】（2016•广州第24题）

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已知抛物线y＝mx＋(1－2m)x＋1－3m与x轴相交于不同的两点

2A、B, （1）求m的取值范围 （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标； （3）当1＜m≤84时，由（2）求出的点P和点A、B构成的△ABP的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的m值；若没有，请说明理由. 【题18】（2016•株洲第26题）已知二次函数

yx2(2k1)xk2k(k0)

1(1)当k2时，求这个二次函数的顶点坐标；

(2)求证：关于x的一元次方程x2(2k1)xk2k=0有两个不相等的实数根；

(3)如图，该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：

111OA2AB2AQ2

Cy

QOPABx 18

【题19】（2016•杭州第22题）已知函数

y1ax2bx,y2axbab0.在同一平面直角坐标系中.

12 （1）若函数y的图像过点（-1,0），函数y的

图像过点（1,2），求a，b的值. (2)若函数y的图像经过y的顶点.①求证：

32ab0；②当1x时，比较y,y的大小. 22112

【题20】（2016•泰州第26题）已知两个二次函数y1x2bxc和y2x2m.对于函数y，当x=2时，

1该函数取最小值. （1） 求b的值；

（2） 若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同

的公共点，求这两个公共点间的距离； （3） 若函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），

过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图像共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1（1）b= —4（2）2√5或4（3）当a大于1时，最大值是4

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