2016年中考数学分类汇编:二次函数压轴题(含答案)
【题1】(2016•成都第28题)
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧.
(1)求a的值及点A,B的坐标;
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;
(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.
【题2】(2016•泰安第28题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B. (1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
2
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行与y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.
【题2】(2016•东营第25题)
3
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参:(1)yx (2)P( (3)k=1 2
-1OB图1A31xAy51,422x
31,2)或P()
yyMNCTxOB图2(备用图)xO图3二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题
【题4】(2016•益阳第21题)如图,顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物
线于点D,求证:△OCD≌△OAB;
(3)在x轴上找一点P,使得△PCD的周长最小,
求出P点的坐标.
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【题5】(2016•哈尔滨第27题)如图,二次函数y=ax
2
+bx(a≠0)的图象经过点A(1,4),对称轴是直线x
3
=- ,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y
2 轴上取一点C(0,2),直线AC交抛物线于点B,连结OA,OB,OD,BD. (1)求该二次函数的解析式;
(2)设点F是BD的中点,点P是线段DO上的动点,将△BPF沿边PF翻折,得到△B′PF,使△B′PF与△DPF1
重叠部分的面积是△BDP的面积的 ,若点B′在OD
4 上方,求线段PD的长度;
(3)在(2)的条件下,过B′作B′H⊥PF于H,点Q在OD下方的抛物线上,连接AQ与B′H交于点M,点
y y y G在线段AM上,使∠HPN+∠DAQ =135°,延长PG交AD于N.若AN+ B′M=5,求点Q的坐标. 2D A D A D A C C C O x
O x B B O x B 6
参:(1)yx3x
2(2)∵A(1,4)C(0,2)∴y(-4,4)∴BD2∴PB=
【题6】(2016•临沂第26图,在平面直角坐标系中,y=—2x+10与x轴、y轴相交
1010AC2x2,∴B(-2,-2)∵D
,
由条件得P´是PD的中点,四边形BFB´P是菱形,
∵P在yx上,∴P
(-1,1)∴PD=32
题)如直线于A、
B两点.点C的坐标是(8,4),连接AC、BC.
(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的
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速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
【题7】(2016•天津第25题)
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三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题
x【题8】(2016•重庆第26题)如图1,二次函数y122-2x1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。
(1)求直线AB和直线BC的解析式;
(2)点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD//x轴,射线PD与抛物线交于点G,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥BC于点F,当PF与PE的乘积最大时,在线段AB上找一点H(不与点A,点B重合),使GH+
22BH的值最小,求点H的坐标和GH+
22BH的最
小值;
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(3)如图2,直线AB上有一点K(3,4),将二次函数
y12x-2x12沿直线BC平移,平移的距离是t(t≥0),平移后
抛物线上点A,点C的对应点分别为点A/,点C/;当△A/C/K是直角三角形时,求t的值。
【题9】(2016•苏州第28题)如图,直线l:y3x3与x轴、
yAMOEC图1PDFNxGyByBKAOC图2x轴分别相交于A、B两点,抛物线yax22axa4(a0)经过
点B.
(1)求该地物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM.设点M的横坐标为m,△ABM
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的面积为S.求S与m的函数表达式,并求出S的最大值; (3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M.
①写出点M的坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l,当直线l与直线AM重合时停止旋转.在旋转过程中,直线l与线段BM交于点C.设点B、M到直线l的距离分别为
d1、d,当dd最大时,求直线l旋转的角度(即∠BAC
212的度数).
四、与直角三角形性质有关的综合题
【题10】(2016•枣庄第25题)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B.
⑴若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和
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抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求点M的坐标;
⑶设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
第25题图
【题11】(2016•甘肃平凉第28题)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(3,0),B(0,3)两点. (1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式; (2)如图①,动点E从O点出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从A点出发,沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时另一点也随之
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停止运动,连接EF,设运动时间为t秒,当t为何值时,△AEF为直角三角形?
(3)如图②,取一根橡皮筋,两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
五、与相似三角形性质有关的综合题
【题12】(2016•湖州第23题)
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【题13】(2016•长沙第26题)如图,直线l:y=-x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P,Q是直线l上的两个动点,且点P在第二象限,点Q在第四象限,∠POQ=135°.
(1) 求△AOB的周长;
(2) 设AQ=t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标; (3) 当动点P,Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时,记作∠AOQ=m,若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件: ① 6a+3b+2c=0;
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2② 当m≤x≤m+2时,函数y的最大值等于m,求二
次项系数a的值.
六、与圆的性质有关的综合题
【题14】(2016•巴中第31题)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2+4mx﹣5m(m<0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E,与x轴相交于点D,点P在直线y=x上(不与原点重合),连接PD,过点P作PF⊥PD交y轴于点F,连接DF.
(1)如图①所示,若抛物线顶点的纵坐标为6,求抛物线的解析式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)如图②所示,小红在探究点P的位置发现:当点P与点E重合时,∠PDF的大小为定值,进而猜想:对于
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直线y=x上任意一点P(不与原点重合),∠PDF的大小为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由.
七、与阅读理解有关的综合题
【题15】(2016•长沙第25题)若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L与顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系,此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.
(1) 若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(2) 若某“路线”L的顶点在反比例函数y6的图像上,x它的“带线” l的解析式为y=2x-4,求此“路线”L的解析式;
22 (3) 当常数k满足1≤k≤2时,求抛物线L: y=ax+(3k2-2k+1)x+ k的“带线” l与x轴,y轴所围成的三角形面
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积的取值范围.
【题16】(2016•丽水第23题)如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离;
(2)因实际需要,在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;
(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2≤k≤2.5时,求m的取值范围.
八、与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题
【题17】(2016•广州第24题)
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已知抛物线y=mx+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点
2A、B, (1)求m的取值范围 (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标; (3)当1<m≤84时,由(2)求出的点P和点A、B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相对应的m值;若没有,请说明理由. 【题18】(2016•株洲第26题)已知二次函数
yx2(2k1)xk2k(k0)
1(1)当k2时,求这个二次函数的顶点坐标;
(2)求证:关于x的一元次方程x2(2k1)xk2k=0有两个不相等的实数根;
(3)如图,该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,P是y轴负半轴上一点,且OP=1,直线AP交BC于点Q,求证:
111OA2AB2AQ2
Cy
QOPABx 18
【题19】(2016•杭州第22题)已知函数
y1ax2bx,y2axbab0.在同一平面直角坐标系中.
12 (1)若函数y的图像过点(-1,0),函数y的
图像过点(1,2),求a,b的值. (2)若函数y的图像经过y的顶点.①求证:
32ab0;②当1x时,比较y,y的大小. 22112
【题20】(2016•泰州第26题)已知两个二次函数y1x2bxc和y2x2m.对于函数y,当x=2时,
1该函数取最小值. (1) 求b的值;
(2) 若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同
的公共点,求这两个公共点间的距离; (3) 若函数y1、y2的图像都经过点(1,-2),
过点(0,a-3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图像共有4个不同的交点,这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4,且x1 19 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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