2013年高考理科数学(山东卷)

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. （1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为

（A）2+i （B）2-i （C）5+i （D）5-i （2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是

（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 （3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+

1 ,则f(-1)= x9 ,底面积是边长为 4 （A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 （4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为

3的正

三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 （A）

5 （B） （C） （D） 12346（5）将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移则的一个可能取值为 （A）

8 个单位后，得到一个偶函数的图像，

3 （B） （C）0 （D）  4442xy20（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：x2y10，所表示的区域上一动点，

3xy80则直线OM斜率的最小值为

（A）2 （B）1 （C） 11 （D）  32（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的

（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为

（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为

（A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0 （10）用0，1，„，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A）243 （B）252 （C）261 （D）279

x212

y21的右焦点的连线交C1（11）抛物线C1：y= x(p＞0)的焦点与双曲线C2： 32p于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=

（A）

332343 （B） （C） （D） 16833（12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当

212xy取得最大值时，的最大值为

xyzz9 （D）3 4（A）0 （B）1 （C）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

（13）执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的n的值为

(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为

（15）已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3,|AC|2,若 APABAC,且APBC,则实数的值为

（16）定义“正对数”：lnxb0,0x1，现有四个命题：

lnx,x1①若a0,b0，则ln(a)blna ②若a0,b0，则ln(ab)lnalnb ③若a0,b0，则ln()lnalnb

④若a0,b0，则ln(ab)lnalnbln2 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.

ab（17）（本小题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= （Ⅰ）求a，c的值； （Ⅱ）求sin（A-B）的值.

（18）（本小题满分12分）

如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。 （Ⅰ）求证：AB//GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 .

（19）（本小题满分12分 ）

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是立.

（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率

（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为

3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.

（20）（本小题满分12分）

7. 912外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独23设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 （1） 求数列｛an｝的通项公式； （2） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+

an1 = λ（λ为常数），令cn=b2n， n2（n∈N•）.求数列｛cn｝的前n项和Rn.

（21）（本小题满分13分） 设函数f(x)xc(e2.71828是自然对数的底数，cR). e2x（1）求f(x)的单调区间，最大值；

（2）讨论关于x的方程|lnx|f(x)根的个数.

（22）（本小题满分13分）

x2y23椭圆C：221（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且

ab2垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明这个定值.

11为定值，并求出kk1kk2参

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.

（1）D （2）C （3）A （4） B （5）B （6）C （7）B （8） D （9）A （10）B （11）D （12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 （13） 3 (14)

17 （15） （16）①③④ 312三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分） 解答：（1）由cosB=

714与余弦定理得，a2c24ac，又a+c=6，解得ac3 99（2）又a=3,b=2，sinB42221与正弦定理可得，sinA,cosA， 933102 27所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

（18）（本小题满分12分）

解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB 同理：EF//AB，所以EF//CD，EF平面EFQ， 所以CD//平面EFQ，又CD平面PCD,所以 CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.

(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为

n1(0,2,1)，平面EFG的一个法向量为n2(0,1,2)，可得cos角D-GH-E的余弦值为44,所以二面55 588422212222121，p2C3()，p3C4()() 273332733227（19）本小题满分12分 解答：（1）p1C3()3233（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0 相应的概率依次为：,144167,,，所以EX= 92727279（20）（本小题满分12分）

解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，a11,d2

所以an2n1

an12nb1 = λ可得，，T+ = λ两式相减可得，当n2时，n-11nn22n2n143n1 bnn1，所以当0时，cn=b2n=n1，错位相减法可得，Rn=24994n1（2）由Tn+

1n153n1当0时，cn=b2n=n1，可得Rn= n1994n24n1（21）（本小题满分13分）

解答：（1）f'(x)12x1'，令得，， f(x)0x2xe2当x(,),f'(x)0,函数单调递增；

1211所以当x时，函数取得最的最大值 x(，),f'(x)0,函数单调递减；221fmax(x)c

2e1（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到c，然后递减到c，而函数|lnx|是

2e（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。

故令f(1)=0得，c所以当c当c1， e21时，方程有两个根； e21时，方程有一两个根； 2e1当c2时，方程有无两个根.

e（22）（本小题满分13分）

c32b21,a2b2c2，解得a24,b21 解答：（1）由已知得，，aa2x2y21 所以椭圆方程为：4PF1PMPF2PMPF1PMPF2PM=,=,设P(x0,y0)其中（2）由题意可知：|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|2232x04，将向量坐标代入并化简得：m（4x016)3x012x0，因为x04，

所以m333x0，而x0(2,2)，所以m(,) 422（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：

y0y0x11x0x，代入中得： ,k2y0y1，所以k0，而k14y0kk1kk24x3x3x3x03114(0)8为定值. kk1kk2x0x0