2022年江西赣州南康市八上期末数学试卷

2022年江西赣州南康市八上期末数学试卷

1. 要使分式 𝑥+3 有意义，则 𝑥 的取值应满足 (  )

2. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是 (  ) A.

B.

北京大学

A． 𝑥≥3

B． 𝑥<−3

C． 𝑥≠−3

D． 𝑥≠3

1

清华大学 C.

D.

中国人民大学

3. 一个缺角的三角形 𝐴𝐵𝐶 残片如图所示，量得 ∠𝐴=60∘，∠𝐵=75∘，则这个三角形残缺前的 ∠𝐶 的度数为 (  )

浙江大学

4. 小秋做对了下列计算题中的一道题，你认为他做对的是 (  )

5. 如图，已知 𝐴𝐵=𝐴𝐷，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶 的是 (  )

A． 𝑎6÷𝑎3=𝑎2 C． (2𝑎5)2=4𝑎25

B． 2𝑎3+𝑎2=2𝑎5 D． (−4)0−(2)

1−1

A． 45∘ B． 60∘ C． 75∘ D． 90∘

=−1

6. 如图，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 于 𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶 于 𝐹，若 𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐷 平分 ∠𝐵𝐴𝐶，则下列结论：① 𝐷𝐸=𝐷𝐹；② 𝐵𝐸=𝐶𝐹；③ ∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐶=180∘；④ 𝐴𝐵+𝐴𝐶=2𝐴𝐸．正确的个数是 (  ) A． 𝐶𝐵=𝐶𝐷 C． ∠𝐵=∠𝐷=90∘

B． ∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴 D． ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶

7. 因式分解：𝑥2−4= ．

8. 若分式

9. 一个多边形的每一个外角都等于 30∘，则这个多边形的边数是 ．

10. 已知 10𝑎=2，10𝑏=3，则 102𝑎+3𝑏= ．

11. 如图，已知 ∠𝐴𝑂𝐵=30∘，点 𝑃 在 ∠𝐴𝑂𝐵 的内部，点 𝐶，𝐷 分别是点 𝑃 关于 𝑂𝐴，𝑂𝐵 的对

称点，连接 𝐶𝐷 交 𝑂𝐴，𝑂𝐵 分别于点 𝐸，𝐹，若 △𝑃𝐸𝐹 的周长的为 10，则线段 𝑂𝑃= ．

𝑥−22𝑥+1

A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个

的值为零，则 𝑥 的值等于 ．

12. 已知：如图 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵=50∘，∠𝐶=90∘，在射线 𝐵𝐴 上找一点 𝐷，使 △𝐴𝐶𝐷 为等腰三角

形，则 ∠𝐴𝐶𝐷 的度数为 ．

13. 解答下列问题．

(1) 计算：(𝑥−1)(𝑥+3)−𝑥(𝑥−2)．

(2) 如图，已知 ∠𝐵𝐴𝐶=60∘，𝐷 是 𝐵𝐶 边上一点，𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=80∘，求 ∠𝐵 的度数．

14. 先化简，再求值：𝑎−1÷𝑎2−1+2−𝑎，其中 𝑎=4．

15. 解分式方程：𝑥−2−𝑥2−4=1．

16. 如图，𝐷 是 𝐴𝐵 上一点，𝐷𝐹 交 𝐴𝐶 于点 𝐸，𝐷𝐸=𝐹𝐸，𝐹𝐶∥𝐴𝐵，求证：𝐴𝐷=𝐶𝐹．

𝑥

62

2𝑎−4

1

17. 如图，在直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶 的三个顶点的坐标分别为 𝐴(1,5)，𝐵(1,−2)，𝐶(4,0)．

(1) 请在图中画出 △𝐴𝐵𝐶 关于 𝑦 轴对称的 △𝐴ʹ𝐵ʹ𝐶ʹ． (2) 求 △𝐴𝐵𝐶 的面积．

(3) 请仅用无刻度的直尺，在 𝑦 轴上画出点 𝑃，使 𝑃𝐴+𝑃𝐶 的值最小．

18. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电

混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为 80 元；若完全用电做动力行驶，则费用为 30 元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多 0.5 元，求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？

19. 阅读下面材料：

一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：𝑎+𝑏+𝑐，𝑎𝑏𝑐，𝑎2+𝑏2，⋯．

含有两个字母 𝑎，𝑏 的对称式的基本形式是 𝑎+𝑏 和 𝑎𝑏，像 𝑎2+𝑏2，(𝑎+2)(𝑏+2) 等对称式都可以用 𝑎+𝑏，𝑎𝑏 表示，例如：𝑎2+𝑏2=(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏． 请根据以上材料解决下列问题： (1) 下列四个式子：

① 𝑎2𝑏2； ② 𝑎2−𝑏2； ③ 𝑎+𝑏； ④ 𝑎2𝑏+𝑎𝑏2．

其中属于对称式的是 ．（填序号）

(2) 已知 (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛．若 𝑚=2，𝑛=−4，求对称式 + 的值．

𝑎

𝑏𝑏

𝑎

1

1

20. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐸 为边 𝐵𝐶 上的点，且 𝐴𝐵=𝐴𝐸，𝐷 为线段 𝐵𝐸 的中点，

过点 𝐸 作 𝐸𝐹⊥𝐴𝐸，过点 𝐴 作 𝐴𝐹∥𝐵𝐶，且 𝐴𝐹，𝐸𝐹 相交于点 𝐹．

(1) 求证：∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐷． (2) 求证：𝐴𝐶=𝐸𝐹．

21. 如图，已知边长为 10 cm 的等边 △𝐴𝐵𝐶，点 𝐷 在边 𝐴𝐶 上，且 𝐷𝐶=4 cm．如果点 𝑀 以

3 cm/s 的速度运动．

(1) 如果点 𝑀 在线段 𝐶𝐵 上由点 𝐶 向点 𝐵 运动，点 𝑁 在线段 𝐵𝐴 上由点 𝐵 向点 𝐴 运动，

它们同时出发，若点 𝑁 的运动速度与点 𝑀 的运动速度相等． ①经过 2 秒后，△𝐵𝑀𝑁 和 △𝐶𝐷𝑀 是否全等？请说明理由． ②当两点的运动时间为多少时，△𝐵𝑀𝑁 是一个直角三角形？

(2) 若点 𝑁 的运动速度与点 𝑀 的运动速度不相等，点 𝑁 从点 𝐵 出发，点 𝑀 以原来的运动

速度从点 𝐶 同时出发，都顺时针沿 △𝐴𝐵𝐶 三边运动，经过 25 秒点 𝑀 与点 𝑁 第一次相遇，则点 𝑁 的运动速度是 cm/s．（直接写出答案）

答案

1. 【答案】C

【解析】由题意得：𝑥+3≠0， 解得：𝑥≠−3， 故选C．

2. 【答案】B

3. 【答案】A

【解析】 ∵∠𝐴=60∘，∠𝐵=75∘，

∴∠𝐶=180∘−∠𝐴−∠𝐵=180∘−60∘−75∘=45∘， 故选A．

4. 【答案】D

5. 【答案】B

6. 【答案】D

【解析】如图所示，

∵𝐴𝐷 平分 ∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 于 𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶， 又 ∵𝐷𝐸=𝐷𝐹， ∴ 结论①正确；

在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， {

𝐷𝐸=𝐷𝐹,

𝐵𝐷=𝐶𝐷,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐹， ∴ 结论②正确； ∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐶．

又 ∵∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐸=180∘， ∴∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐶=180∘， ∴ 结论③正确；

在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中， {

𝐷𝐸=𝐷𝐹,

𝐴𝐷=𝐴𝐷,

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐹．

又 ∵𝐵𝐸=𝐶𝐹，𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐵𝐸， ∴𝐴𝐵+𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐴𝐹=2𝐴𝐸，

∴ 结论④正确．

综合所述四个作案都正确． 故选D．

7. 【答案】 (𝑥+2)(𝑥−2)

8. 【答案】 2

【解析】根据题意，𝑥−2=0，且 2𝑥+1≠0， ∴𝑥=2．

9. 【答案】 12

【解析】 ∵360∘÷30∘=12， ∴ 这个多边形为十二边形．

10. 【答案】 108

【解析】 ∵10𝑎=2，10𝑏=3，

∴102𝑎+3𝑏=(10𝑎)2⋅(10𝑏)3=22×33=108．

11. 【答案】 10

【解析】连接 𝑂𝐷，𝑂𝐶，

∵∠𝐴𝑂𝐵=30∘；点 𝐷，𝐶 分别是点 𝑃 关于直线 𝑂𝐴，𝑂𝐵 的对称点， ∴∠𝐷𝑂𝐶=60∘，𝐷𝑂=𝑂𝑃=𝑂𝐶，𝑃𝐹=𝐷𝐹，𝑃𝐸=𝐶𝐸， ∴△𝐷𝑂𝐶 是等边三角形， ∵△𝑃𝐸𝐹 的周长为 10， ∴𝑂𝑃=10． 故答案为：10．

12. 【答案】 70∘ 或 40∘ 或 20∘

【解析】如图，有三种情形： ①当 𝐴𝐶=𝐴𝐷 时，∠𝐴𝐶𝐷=70∘． ②当 𝐶𝐷ʹ=𝐴𝐷ʹ 时，∠𝐴𝐶𝐷ʹ=40∘．

③当 𝐴𝐶=𝐴𝐷ʺ 时，∠𝐴𝐶𝐷ʺ=20∘．

13. 【答案】

原式=𝑥2+2𝑥−3−(𝑥2−2𝑥)(1) =𝑥2+2𝑥−3−𝑥2+2𝑥

=4𝑥−3.

(2) ∵∠𝐴𝐷𝐵=80∘， 又 ∵𝐴𝐷=𝐶𝐷， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶=40∘，

∴∠𝐵=180∘−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶=180∘−60∘−40∘=80∘．

原式=

2

⋅

(𝑎+1)(𝑎−1)1

𝑎−12(𝑎−2)+

2−𝑎14. 【答案】

=

𝑎+11𝑎−2−

=𝑎

𝑎−2

𝑎−2.

当 𝑎=4 时， 4

原式=4−2

=2.

𝑥+22−6𝑥−𝑥15. 【答案】方程两边同时乘以 (𝑥2−4) 得，∴𝑥(𝑥−1)∴𝑥=0 或 𝑥−1∴𝑥1=0,𝑥2𝑥2−4≠0．

∴𝑥=0 和 𝑥=1 都是原方程的解．

16. 【答案】 ∵𝐹𝐶∥𝐴𝐵，

∴∠𝐴=∠𝐹𝐶𝐸，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹， 在 △𝐴𝐷𝐸 与 △𝐶𝐹𝐸 中，

=𝑥2−4.=0.=0.当 𝑥=0 或 𝑥=1 时，=0.

=1.

∠𝐴=∠𝐹𝐶𝐸, ∴{∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹,

𝐷𝐸=𝐸𝐹, ∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐸(AAS)， ∴𝐴𝐷=𝐶𝐹．

17. 【答案】

(1) 如图所示，△𝐴ʹ𝐵ʹ𝐶ʹ 即为所求． (2) 𝑆△𝐴𝐵𝐶=×7×3=10.5．

21

(3) 如图，点 𝑃 为所作．

18. 【答案】设汽车行驶中每千米用电费用是 𝑥 元，则每千米用油费用为 (𝑥+0.5) 元，

根据题意可得：𝑥+0.5=

80

30𝑥

.解得：𝑥=0.3,经检验得：𝑥=0.3 是原方程的解，

答：汽车行驶中每千米用电费用是 0.3 元． 甲、乙两地的距离是：30÷0.3=100（千米）．

19. 【答案】

(1) ①③④

(2) (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑥2+(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛， ∴𝑎+𝑏=𝑚=2，𝑎𝑏=𝑛=−4， ∴𝑎+𝑏= 【解析】

(1) 对于①，𝑎2𝑏2=𝑏2𝑎2，故①是对称式； 对于②，𝑎2−𝑏2≠𝑏2−𝑎2，故②不是对称式； 对于③，+=+，故③是对称式；

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

1

1

1

1

𝑏

𝑎

𝑎2+𝑏2𝑎𝑏

(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏

𝑎𝑏

22−2×(−4)

−4

===−3．

对于④，𝑎2𝑏+𝑎𝑏2=𝑏2𝑎+𝑏𝑎2，故④是对称式．

20. 【答案】

(1) ∵𝐴𝐵=𝐴𝐸，𝐷 为线段 𝐵𝐸 的中点， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐶+∠𝐷𝐴𝐶=90∘， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90∘， ∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=90∘，

∴∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐷．

(2) ∵𝐴𝐹∥𝐵𝐶， ∴∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐸， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐸𝐵，

∴∠𝐵=∠𝐹𝐴𝐸，且 ∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐸， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐹(ASA)， ∴𝐴𝐶=𝐸𝐹．

21. 【答案】

(1) ① △𝐵𝑀𝑁≌△𝐶𝐷𝑀．

∵𝑉𝑁=𝑉𝑀=3 厘米/秒，且 𝑡=2 秒， ∴𝐶𝑀=2×3=6(cm)， 𝐵𝑁=2×3=6(cm)，

𝐵𝑀=𝐵𝐶−𝐶𝑀=10−6=4(cm)， ∴𝐵𝑁=𝐶𝑀， ∵𝐶𝐷=4(cm)， ∴𝐵𝑀=𝐶𝐷， ∵∠𝐵=∠𝐶=60∘， ∴△𝐵𝑀𝑁≌△𝐶𝐷𝑀(SAS)．

②设运动时间为 𝑡 秒，△𝐵𝑀𝑁 是直角三角形有两种情况： I．当 ∠𝑁𝑀𝐵=90∘ 时， ∵∠𝐵=60∘，

∴∠𝐵𝑁𝑀=90∘−∠𝐵=90∘−60∘=30∘． ∴𝐵𝑁=2𝐵𝑀， ∴3𝑡=2×(10−3𝑡)， ∴𝑡=

209

秒；

II．当 ∠𝐵𝑁𝑀=90∘ 时， ∵∠𝐵=60∘，

∴∠𝐵𝑀𝑁=90∘−∠𝐵=90∘−60∘=30∘． ∴𝐵𝑀=2𝐵𝑁， ∴10−3𝑡=2×3𝑡， ∴𝑡=

109

（秒）．

20

∴ 当 𝑡=

秒或 𝑡=9

109

秒时，△𝐵𝑀𝑁 是直角三角形．

(2) 3.8 或 2.6

【解析】

(2) 分两种情况讨论：

①若点 𝑀 运动速度快，则 3×25−10=25𝑉𝑁，解得 𝑉𝑁=2.6 cm/s； ②若点 𝑁 运动速度快，则 25𝑉𝑁−20=3×25，解得 𝑉𝑁=3.8 cm/s．