用Matlab求解一阶微分线性方程组的例子

设有一个线性方程组如下：

8x4y116y2y1  (1)

y5y3y122它的初值条件为：x=0时，y1=1、y2=3。 上式可化为：

4y116y2y1 f(x) (2)

y5y3y122式中：

f(x)8x (3) 0(2)式中的第一部分是一个线性齐次方程组，它的系数矩阵为：

416 A (4)

53可以求出该矩阵的特征方程的根和对应的特征向量，这里使用Matlab的eig函数来计算，有特征根为：

lambda=eig(A) lambda = -12.4582 5.4582

即特征根1=-12.4582、2=5.4582。

再根据两个特征根来求对应的特征向量，用Matlab中的eigs函数： [h1 lambda1]=eigs(A,1,lambda(1)) h1 = -0.8841 0.4674 lambda1 = -12.4582

[h2 lambda2]=eigs(A,1,lambda(2)) h2 = -0.8608 -0.50 lambda2 = 5.4582

即1对应的特征向量h1=[-0.8841 0.4674]；2对应的特征向量h2=[-0.8608 -0.50]。函数eig、eigs的实验具体见《精通MATLAB5.3版》（北京航空航天大学出版社）5.3.1“特征值和特征向量的求取”（p103）。

这样就可以得出齐次方程组(2)的基本解向量和基本解组： 一共有n（在这里n=2）个解向量为：

xy1c1h1(1)e1 

1xy2c1h1(2)exy1c2h2(1)e2 (5) 2xy2c2h2(2)e(5)式就是齐次方程组的一个基本解组。 则齐次方程组的通解为这些基本解组的加和：

xxy1c1h1(1)e1c2h2(1)e2  (6) 1x2xy2c1h1(2)ec2h2(2)e非齐次方程组的通解为齐次方程组通解加上一组特解，即x=0时，y1=1、y2=3：

xxy1c1h1(1)e1c2h2(1)e21  (7) 1x2xy2c1h1(2)ec2h2(2)e3为了得出c1、c2的确切值，需要再有一组特解代入(7)式中。如果是在边界条件下求解，则可以做到，然而只在知道初值条件下无法使用这个办法。

将(6)式中的c1、c2未知数忽略，可以列出该式的基本解矩阵：

h1(1)e1x Y(x)h(2)e1x1(8)式的逆矩阵为：

h2(1)e2x (8) 2xh2(2)e1xh(2)e112 Y(x)2xh1(1)h2(2)h1(2)h2(1)h1(2)eh2(1)e1x (9) 2xh1(1)e则：

8xh2(2)e1xc11 Y(x)f(x)2xh1(1)h2(2)h1(2)h2(1)8xh1(2)ec21-x-12x1ch1(1)h2(2)12h1(2)h2(1)12 (10) 12Y(x)Y1(x)f(x)dxH-1x-12x1h(2)h(2)h(2)h(2)c212212122式中：

H方程组的通解为：

y(x)Y(x)cY(x)Y1(x)f(x)dx (11)

8

h1(1)h2(2)h1(2)h2(1)c为任意常向量[c1 c2]T。

将(8)、(10)式代入(11)中，得到(1)式的解为：

1x12x11x2xych(1)eh(1)eHh(1)h(2)h(2)h(1)1111221222121x12x11x2xh1(2)h2(2)2y2c2h1(2)eh2(2)eHh1(1)h2(2)212

(12)

把已知的初始条件（x=0时，y1=1、y2=3）代入(12)中，就求出常数c1、c2的值： c10.6613

c273.7093