高一英才数学第二讲三角函数线与三角恒等式.doc

2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）

三角函数线与同角三角比关系

一、基础复习练习

θ

1．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角的集合为__________．

3

2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．

3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________． 4、若扇形所在的圆的半径是R，且扇形的周长为一定值c(c>0),当圆心角α为多少弧度时，扇形的面积最大？

二、任意角三角比

1.任意角三角比的定义：设角是一个任意角，将角置于平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，的始边与x轴的正半轴重合，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）,有 点P到原点的距离 ：|OP|r则我们规定：

x2y2

sinyxy；cos；tan,k,kZ；rrx2

xrrcot,k（kZ）；sec,k,kZ；csc,k（kZ）.yx2y注意：三角比有意义的角α的取值范围。

2.三角比的符号：（为了方便记忆，可以归纳为一个图） 即：一全二正弦,三切四余弦

1

3.三角比的取值范围：1sin1;例1.

1cos1;tan;cot;

sin2120等于（ ）

13332 B. 2 C. 2 D. 2

A.

例2、已知α∈R，是 .

ksincostancot(kZ)，化简：的结果组成的集合2|sin||cos||tan||tan|π

例3．点P从(－1,0)出发，沿圆心在原点的单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．

3

4，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（ ） 53434A.  B.  C. D. 4334练习. 已知sin

例4．设角属于第二象限，且cos2cos2，则

角属于（ ） 2A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

练习．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．

ααα

①tan ②sin ③cos ④cos2α

222

例5、已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝

2

y，求cosα，tanα的值． 4

练习．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．

2

例6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．

3π3π

例7．（1）已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．

44

2

（2）已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝，且cosα<0，则k的

5

值为________．

练习．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；

(2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ的值． 三、三角函数线

1、有向线段：如果线段MN的方向与坐标轴的正方向一致，就规定 这条线段是正的，否则，就规定它是负的．如图62—1中的MN＝5， NM＝一5，PQ＝3，QP＝一3．

2、三角比的几何表示——三角函数线，

图62-1

如图62-2，设任意角的顶点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)．过P作x轴的垂线，垂足为M；过A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴(为什么?)．设它与角的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二，三象限时)相交于点T.

3

图62-2 显然，线段OMx，线段MP=y。 于是，根据正弦、余弦函数的定义有

sinyyMP。 rxcosxOM

r 这两条与单位圆有关的有向线段MP，OM分别叫角的正弦线、余弦线．

类似地，我们把AT看作有向线段，根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有 tanyMPAT xOM 称有向线段AT为的正切线，AT在x轴上方为正，在x轴下方为负．

当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上，余弦线变成一个点，正切线不存在．

我们把这三条与单位圆有关的线段MP、OM、AT通称为角α三角函数线。 3、应用 例8、（1）设为锐角，证明：sintan。

（2）设θ∈(0,π/2),比较cotθ，

2-θ，cosθ的大小。

（3）设为锐角，证明：sincos1。

例9、（1）若sinθ+cosθ >1，则θ在第几象限？

（2）若sinθ+cosθ<-1，则θ在第几象限？ （3）若-14

1sin2例10、若0，试判断cos(sinα)∙ sin(cosα)的符号。

2cos1cossin

例11、角α的终边上的点P与点A（a.b）关于x轴对称（ab≠0）,角β的终边上的点Q与A点关于直线y=x对称，求sinα∙secβ+tanα∙cotβ+secα∙cscβ的值。

练习1、设θ是第二象限角，试比较sin

练习2．(2015年浦东新区高三一模)设函数f(x)（1）设x0,y0且xy2,cos2,tan2的大小。

sinx（0x）. x22，试比较f(xy)与f(x)的大小；

（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.

①对任意x(0,2]都有cosxf(x)1成立；

x2x4x6x8x10②对任意x0,都有f(x)1成立； 3!5!7!9!11!32③若关于x的不等式f(x)k在(0,]有解，则k的取值范围是(,).

2

5

四、任意角的三角比转化为0~2的三角比来求

1、解决问题的关键：因为角的六个三角比只与的终边有关，所以当两个角的终边的位置相同时，这两个角的同名三角比是相等的。

2、 解决问题----诱导公式一：

sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k)tan， cot(2k)cot。

其中kZ,[0,2)。 3． 应用

例12、判断下列角的正弦，余弦、正切和余切值的符号。（1）495°；（2）

8。 3sin)；②cos(2200)；③tan(-10)；④练习. 给出下列各函数值：①sin(1000为负的有（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

例13、根据下列条件确定θ是第几象限的角：

（1）sinθ<0且tanθ>0；（2）sinθ·cosθ>0。

7cos10. 其中符号17tan96

练 1 根据下列条件确定θ是第几象限的角：（1）cosθcotθ<0；（2）

练 2 已知θ是第三象限角，（1）若sectan<0且cosθ·cotθ>0。 sin20，试确定

的终边位置； 2（2）若cos2θ≥0，试确定2θ的终边位置。 例14、求下列各三角比：（1）sin1470°；（2）cos(

五、同角三角比的关系

1．回忆六个三角比的定义．设P是角终边上一点，rOP(指以下各式都有意义的)。

1525)；（3）tan。 43x2y2，那么

sinyxyxry,cos,tan,cot,sec,csc。 rrxyxx2、同角三角比的三种关系八个关系式．

(1)倒数关系：sincsc1,cossec1,tancot1。 (2)商的关系：tan(3)平方关系：

sincos,cot。 cossintanα sinα 1 cosα cotα cscα sin2cos21,1tan2sec2,1cot2csc2。

这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。 可以用右图表示出来。

3．各关系式成立的条件．

secα 22 (1)上述八个关系式中，只有sincos1是绝对恒等式，其余七个关系式只当

的取值使关系式的两边都有意义时才能成立．使三角比有意义的的取值在上节已经学过， 对七个关系式中的每一个等式，分别只有一个条件．如关系式tansin从等式左边看tan有cos7

k2(kZ)；从等式右边看

sin有cos0，就是k(kZ)所以这个关系式的限cos2制条件只一个：k2(kZ)今后用到这八个关系式时，所需的条件都不再另加说明．

(2)各个关系式中出现的三角比不同，但是角都是同角，所以称为同角三角比关系式．

(3）由定义给出的六个三角比是相互的，同角三角比的八个关系式反映了它们之间的内在联系和规律．这八个关系式中，三个倒数关系及tansin,sin2cos21是最基本的，其余三个可以由cos这五个公式推导出来．

（4）同角三角比的基本关系式是三角恒等变形的重要公式之一，应该熟练掌握和运用．

4、应用一：知道角的一个三角比，求角的其他三角比． 例15、已知cos45，且α在第四象限，求角α的其他三角比的值。

例16 、已知tan512，求sin,cos和cot。

练习、已知cot2，求sin,cos。

例17、已知角α的终边不在坐标轴上，sinm，求tan,csc的值。

例18、已知sinα+cosα=

22，求下列各式的值。 （1）sinαcosα； （2）sinα-cosα； 练习1、已知sinα+cosα=

22，求下列各式的值。（1）tanα+cotα； （2）secα+cscα； （3）sin3α+cos3α； （4）sin4α+cos4α。

练习2：下列命题中的,的取值能使有关三角比有意义，对正确的命题在圆括号画“√”“╳”

(1)csc()1sin() （ ）

对错误的画8

（2）如果α在第二象限，则cos1sec。 （ ） （3）tan2cot21 （ ）

（4）sin()tan()cos() （ ） （5）tansincoscotcossin （ ） （6）cos22sin221 （ ）

（7）sec22tan221 （ ） （8）(seccot)(csccot)1 （ ）

2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）课后作业

一． 选择题。

1．已知角α的终边过点P ，则下列各式中正确的是（ ）

A

B

C

D

2．下列各式中正确的是（ ） A B C

D

3．下列命题中正确的是（ ）

A 角α与2kπ+α（k∈Z）是相等的角 B 钝角是第二象限角

C 小于90°的角是锐角 D 钝角的补角是第一象限角4．把－1485°化成2kπ+α（ k∈Z）的形式是（ ）

A

B

C

D

5．已知圆的半每径为1，弧长为3.2的圆弧所对的圆心角α的弧度数是（ ） 9

A 3.2 B 3.2π C 6.4 D 6.4π 6．点P

是角α终边上的一点，且

，则b的值是（ ）

A 3 B －３ C ±3 D 5 7．在△ABC中，若最大的一个角的正弦值是

，则△ABC是（ ）

A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 8．若α是第四象限角，则

是（ ）

A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 9．已知

，则θ是（ ）

A 第一象限角 B 第一或第二象限角 C 第三象限角 D 第二或第三象限角

二．填空题。 1． 与

终边相同的最小正角是_______________；与－75°终边相同的角的集合是

___________________________。 2． －15°=_____________弧度；

=____________度。

3． 时钟的分针走了1小时10分，它所转过的角度是_____________度，是__________弧度。 4． 填入不等号：（1）

；（2）

；（3）

；

（5）

5． 角α的终边经过点P （2）

。

，则（1）

。

，则当

时，x的取值范围是

；

6． 函数 的图象过点 ____________________。

10

7． 已知α与50°的终边相同，且 8． 函数 9． 10

是角θ终边上的一点，且

，则α是__________________。

的定义域是_______________________________。

。 。

三．解答题。

1． 已知角α的终边落在第一和第三象限的角平分线上，求α的六个三角函数值。

2． 一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长和扇形的面积。

老师讲义

2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）

三角函数线与同角三角比关系

一、基础复习练习

θ

1．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角的集合为__________．

3

答案：{56°，176°，296°}

2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 答案：1或4；解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，则

R＝62R＋α·12，解得α＝1或α＝4.

α＝22R·

3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________． 100112100答案：π cm2解析：S＝|α|r2＝×π×100＝π(cm2)．

32233

4、若扇形所在的圆的半径是R，且扇形的周长为一定值c(c>0),当圆心角α为多少弧度时，扇形的面积最大？

c2R12c2c2c2解析：2R+αR=c,,SR(R),

R241616当且仅当R=c/4时“=”成立，即α=2时“=”成立。

11

二、任意角三角比

1.任意角三角比的定义：设角是一个任意角，将角置于平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，的始边与x轴的正半轴重合，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）,有 点P到原点的距离 ：|OP|r则我们规定：

x2y2

sinyxy；cos；tan,k,kZ；rrx2

xrrcot,k（kZ）；sec,k,kZ；csc,k（kZ）.yx2y注意：三角比有意义的角α的取值范围。

2.三角比的符号：（为了方便记忆，可以归纳为一个图） 即：一全二正弦,三切四余弦

3.三角比的取值范围：1sin1;例1.

1cos1;tan;cot;

sin2120等于（ B ）

13332 B. 2 C. 2 D. 2

A.

例2、已知α∈R，是 .

答案：{-2，0，4}。

ksincostancot(kZ)，化简：的结果组成的集合2|sin||cos||tan||tan|π

例3．点P从(－1,0)出发，沿圆心在原点的单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．

3

π

解析：由于点P从(－1,0)出发，顺时针方向运动弧长到达Q点，如图，因此Q点

3

2π2π1313

的坐标为(cos，sin)，即Q(－，)．答案：(－，)

332222

4，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（ A ） 53434A.  B.  C. D. 4334练习. 已知sin

12

例4．设角属于第二象限，且cos2cos2，则

角属于（ ） 2A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2k答案：C；解析：

2k,(kZ),k242k,(kZ),2

当k2n,(nZ)时，2在第一象限；当k2n1,(nZ)时，2在第三象限；

22而

练习．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．

ααα

①tan ②sin ③cos ④cos2α

222

αα

解析：α为第四象限角，则为第二、四象限角，因此tan<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可

22

负．答案：①

例5、已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝

解：因为sinα＝

2

y＝4

y(－3)2＋y2

，所以y2＝5，

2

y，求cosα，tanα的值． 4

coscoscos02，2在第三象限；

615，tanα＝－； 43615

当y＝－5时，cosα＝－，tanα＝. 43

练习．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．

2

解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝；

222

当a<0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝.答案： 22

例6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．

当y＝5时，cosα＝－

解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝(－6a)2＋(－8a)2＝10|a|，

yx－8a＋6a－a11

∴sinα－cosα＝－＝＝＝±.答案：± rr10|a|5|a|55

3π3π

例7．（1）已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．

44

3πcos

43π3π7π7π

解析：由sin>0，cos<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝.答案：

443π44

sin4

2

（2）已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝，且cosα<0，则k的值为

5

________．

解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx， ∴r＝∴r＝－x2＋(kx)2＝

1＋k2|x|.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，

ykxk2

1＋k2x，且k<0.∴sinα＝＝＝－，又sinα＝.

r5－1＋k2x1＋k2

13

∴－k

1＋k2

＝2

，∴k＝－2.答案：－2 5

练习、(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；

(2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ的值．

解：(1)根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|，

342

①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－，cosα＝，所以2sinα＋cosα＝－＋＝－.

55555－3t34t4

②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝＝，cosα＝＝－，

5－5t5－5t

2

所以2sinα＋cosα＝－＝. 555

(2)设P(a，3a)(a≠0)是角β终边y＝3x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝

3

＝－；若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，

2－2a此时sinβ＝

三、三角函数线

1、 有向线段：如果线段MN的方向与坐标轴的正方向一致，就规定这条线段是正的，否则，就规定

它是负的．如图62—1中的MN＝5，NM＝一5，PQ＝3，QP＝一3．

3a3＝. 2a2

3a

图62-1

2、三角比的几何表示——三角函数线，

如图62-2，设任意角的顶点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)．过P作x轴的垂线，垂足为M；过A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴(为什么?)．设它与角的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二，三象限时)相交于点T.

图62-2

14

显然，线段OMx，线段MP=y。 于是，根据正弦、余弦函数的定义有

sinyyMP。 rxcosxOM

r 这两条与单位圆有关的有向线段MP，OM分别叫角的正弦线、余弦线．

类似地，我们把AT看作有向线段，根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有 tanyMPAT xOM 称有向线段AT为的正切线，AT在x轴上方为正，在x轴下方为负．

当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上，余弦线变成一个点，正切线不存在．

我们把这三条与单位圆有关的线段MP、OM、AT通称为角α三角函数线。 3、应用 例8、（1）设为锐角，证明：sintan。

（2）设θ∈(0,π/2),比较cotθ，

2-θ，cosθ的大小。

（3）设为锐角，证明：sincos1。

证明（1）如图62-3中，设单位圆与角的终边交于P，与x轴交于A。过P作PM⊥OA，与M，过

sinMP,AP,ATtan，A作AT//y轴与OP交于T，利用三角函数线：又MPAPAT，

即sintan。



图62-3

（2）令β=cotθ=tan(

2-θ，则β∈（0，

2），

2-θ)=tanβ，cosθ=sin(

2-θ)=sinβ， -θ由（1）：sinβ<β2（3）如图62-3利用三角函数线，OMcos,MPsin,又在三角形POM中OMMPOP。 例9、（1）若sinθ+cosθ >1，则θ在第几象限？

（2）若sinθ+cosθ<-1，则θ在第几象限？ （3）若-115

（4）若sinθ+cosθ=±1，则θ终边在哪？ 解：（1）结合三角函数线，知θ在第一象限。 （2）结合三角函数线，知θ在第三象限。 （3）结合三角函数线，知θ在第二、四象限。 （4）θ在坐标轴上。▋

设问：倒过来是否成立？（成立）

1sin2例10、若0，试判断cos(sinα)∙ sin(cosα)的符号。

2cos1cossin解析：

sin|cos|0sincos0⇒α∈QII或α∈QIV；

|sin|cos若α∈QII，00, sin(cosα)<0⇒cos(sinα)∙ sin(cosα)<0; 若α∈QIV，-π/2<-10, sin(cosα)>0⇒cos(sinα)∙ sin(cosα)>0;

例11、角α的终边上的点P与点A（a.b）关于x轴对称（ab≠0）,角β的终边上的点Q与A点关于直线y=x对称，求sinα∙secβ+tanα∙cotβ+secα∙cscβ的值。 解析：P(a,-b),Q(b,a).设ra2b2，则

bbbbrrsin,sec,tan,cot,sec,csc。

rraaaa练习、设θ是第二象限角，试比较sin解析：θ是第二象限角2k⇒k2,cos2,tan2的大小。

22k(kZ)，

42k2(kZ)

为第一象限角，2n2n(kZ)cossintan;

4222222532n(kZ)sincostan; 当k=2n+1时⇒为第三象限角，2n4222222sinx练习．(2015年浦东新区高三一模)设函数f(x)（0x）.

x2（1）设x0,y0且xy，试比较f(xy)与f(x)的大小；

2当k=2n时⇒

（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.

①对任意x(0,

2]都有cosxf(x)1成立；

16

2②对任意x0,3都有f(x)1xx4x6x8x103!5!7!9!11!成立； ③若关于x的不等式f(x)k在(0,2]有解，则k的取值范围是(2,).

解：（1）方法一（作商比较）：

显然f(x)0，f(xy)0，

于是

f(xy)sin(xy)xxsinxcosyxf(x)xysinxcosxsinyxsinxysinx. ………1分

因为0cosy1xsinx00xsinxcosyxsinx.……………………………2分

又0sinyy0xtanx0xcosxsinx0xcosxsinyysinx.……3分 所以0xsinxcosyxcosxsinyxsinxysinx. 即f(xy)f(x)1f(xy)f(x).…………………………………………4分

方法二（作差比较）：

因为

0cosy1xsinx0xsinx(cosy1)0.…………………………………1分

又0sinyy0xtanx0xcosxsinxxcosxsinyysinx0.……2分 f(xy)f(x)xsin(xy)(xy)sinx(xy)x

xsinx(cosy1)(xcosxsinyysinx)(xy)x0.

即f(xy)f(x).………………………………………………………………4分

（2）结论①正确，因0x2.0sinxxtanx1xsinx1cosx.

cosxf(x)1.………………………………6分

: 设g(x)1x2x4x6x8x10结论②错误，举反例3!5!7!9!11!.（利用计算器）f(0.5)g(0.5)3.30931357610140等………………………………8分

（f(0.6)g(0.6)3.49376616310130， f(1)g(1)1.598273910100，

f(0.7)g(0.7)0,f(0.8)f(0.8)0,f(0.9)g(0.9)0均可）.

结论③正确，由f(xy)f(x)知f(x)sinxx在区间(0,2]上是减函数.

所以f(x)f(22)f(x)，又f(x)1，

所以f(x)sinx2x的值域为[,1).

要使不等式f(x)k在(0,22]有解，只要k即可.………………………10分

四、任意角的三角比转化为0~2的三角比来求

17

1、解决问题的关键：因为角的六个三角比只与的终边有关，所以当两个角的终边的位置相同时，这两个角的同名三角比是相等的。

3、 解决问题----诱导公式一：

sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k)tan， cot(2k)cot。

其中kZ,[0,2)。 4． 应用

例12、判断下列角的正弦，余弦、正切和余切值的符号。（1）495°；（2）解：（1）495°=360°+135°，此角为第二象限的角。 ∴sin495°>0，cos495°<0，tan495°<0，cot495°<0。 （2）∴sin(8。 384，此角为第三象限的角。 4338888)<0，cos()<0，tan()>0，cot()>0。▋ 3333★本题可结合三角函数线解决，以巩固三角函数线与函数符号之间的联系。

sin)；②cos(2200)；③tan(-10)；④练习. 给出下列各函数值：①sin(1000为负的有（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④ 00000sin(1000)sin800cos(2200)cos(40)cos400 答案：C ；

7cos10. 其中符号17tan9sin(10) tantan(31；077cossin1010,sin70,tan1701717109tantan99

例13、根据下列条件确定θ是第几象限的角：（1）sinθ<0且tanθ>0；（2）sinθ·cosθ>0。

解：（1）因为sinθ<0，所以θ的终边在x轴的下方（第三象限的角、第四象限的角或终边在y轴负半轴上）；

又因为tanθ>0，所以θ是第一象限的角或第三象限的角， 于是θ是第三象限的角。

（2）因为sinθ·cosθ>0，所以有sinθ>0且cosθ>0或sinθ<0且cosθ<0。 由sinθ>0且cosθ>0，可知角θ是第一象限的角；

18

由sinθ<0且cosθ<0，可知角θ是第三象限的角。 于是θ是第一象限的角或第三象限的角。▋

练 1 根据下列条件确定θ是第几象限的角：（1）cosθcotθ<0；（2）

tan<0且cosθ·cotθ>0。 sin解：（1）因为cosθ和cotθ异号，所以θ是第三或第四象限的角。 （2）

tancotθ>0，所以cosθ与cotθ同号，0，所以tanθ与sinθ异号，所以θ在第二、三象限。cosθ·

sin所以θ在第一、二象限，所以θ是第二象限的角。▋ 练 2 已知θ是第三象限角，（1）若sec20，试确定

2的终边位置； （2）若cos2θ≥0，试确定2θ的终边位置。 解：∵θ是第三象限角，∴θ∈(2kπ-π，2kπ-2)（k∈Z），

∴

2∈(kπ-2，kπ-4)（k∈Z），

（1）当k为偶数时，设k=2n，则2∈(2nπ-2，2nπ-4)（n∈Z），

此时2在第四象限，sec2>0；

当k为奇数时，设k=2n+1，则2∈(2nπ+2，2nπ+34)（n∈Z），

此时2在第二象限，sec2<0；

所以2在第二象限且2∈(2nπ+32，2nπ+4)（n∈Z）。

（2）（略，由学生完成）。▋

例14、求下列各三角比：（1）sin1470°；（2）cos(154)；（3）tan253。 解：（1）sin1470°=sin(4×360°+30°)=sin30°=0.5； （2）cos(154)=cos(4-4π)=cos24=2；

（3）tan253=tan(8π+3)=tan3=3。▋

五、同角三角比的关系

1．回忆六个三角比的定义．设P是角终边上一点，rOPx2y2，那么

(指以下各式都有意义的)。

19

sinyxyxry,cos,tan,cot,sec,csc。 rrxyxx2、同角三角比的三种关系八个关系式．

(1)倒数关系：sincsc1,cossec1,tancot1。 (2)商的关系：tan(3)平方关系：

sincos,cot。 cossintanα sinα 1 cosα cotα cscα sin2cos21,1tan2sec2,1cot2csc2。

这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。 可以用右图表示出来。

3．各关系式成立的条件．

secα 22 (1)上述八个关系式中，只有sincos1是绝对恒等式，其余七个关系式只当

的取值使关系式的两边都有意义时才能成立．使三角比有意义的的取值在上节已经学过， 对七个关系式中的每一个等式，分别只有一个条件．如关系式tansin从等式左边看tan有cosk2(kZ)；从等式右边看

sin有cos0，就是k(kZ)所以这个关系式的限cos2制条件只一个：k2(kZ)今后用到这八个关系式时，所需的条件都不再另加说明．

(2)各个关系式中出现的三角比不同，但是角都是同角，所以称为同角三角比关系式．

(3）由定义给出的六个三角比是相互的，同角三角比的八个关系式反映了它们之间的内在联系和规律．这八个关系式中，三个倒数关系及tansin,sin2cos21是最基本的，其余三个可以由cos这五个公式推导出来．

（4）同角三角比的基本关系式是三角恒等变形的重要公式之一，应该熟练掌握和运用．

4、应用一：知道角的一个三角比，求角的其他三角比． 例15、已知cos4，且α在第四象限，求角α的其他三角比的值。 5分析：学习了已知角的一个三角比及所在的象限，求其他五个三角比的值，需要

22利用公式求sincos1，求sin．据代数运算意义，sin两个互为相反数的平方根，再由条件在第四象限，确定sin只取一个负根．

22解：由sincos1可得sin1cos，因为α在第四象限，所以sinα<0,于是有

2342sin1cos1，

552 20

3tansincos34,

5cot1tan43,sec1cos,

csc1sin53.例16 、已知tan512，求sin,cos和cot。 分析：仅知道角的一个三角比这个条件，因此它求得的每一个三角比都有符号相反的两个值．解：cot1tan125. 1tan2sec21,cos11122cos21tan215213， 12因为tan5120，所以α在第一象限或在第三象限。 ① 当α在第一象限时，有sin0且cos0，

所以cos12513,sin1cos213. ② ②当α在第三象限时，有sin0且cos0，

所以cos1213,sin1cos2513.

练习、已知cot2，求sin,cos。

分析：仅知道角的一个三角比这个条件，因此它求得的每一个三角比都有符号相反的两个值．解：1cot2csc21sin2,

sin21111cot21225， 因为cot20，所以α在第二象限或在第四象限 ①当α在第二象限时，有sin55,cossincot255. ②当α在第四象限时，有sin0且cos0， 所以sin55,cos1sin2255。 例17、已知角α的终边不在坐标轴上，sinm，求tan,csc的值。

21

分析：根据角α的一个三角比，去求它的其他三角比时，如果知道它所在的象限，则其他三角比可以惟一确定；如果它所在的象限不确定，则应根据它的终边的所有可能的情况分别求出其他的三角比。

一般地，若已知sinα，先求cosα；已知cosα，先求sinα；已知tanα，先求secα；已知cotα，先求cscα．即先用平方关系，然后由商数关系和倒数关系就很容易求出其余三角比的值．注意根号前正负号的选取．

sin2cos21解：cos21sin21m2

sinm（1） 当α

为第一象限或第四象限角时，得

cos1m2。

sinm1m211。 tan,csccossinm1m2（2） 当α

为第二象限或第三象限角时，得

cos1m2。

sinm1m211。 tan,csc2cossinm1m例18、已知sinα+cosα=

2，求下列各式的值。 2（1）sinαcosα； （2）sinα-cosα； 解：（1）(sinα+cosα)2=

111，即1+2sinαcosα=，可得sinαcosα=。 22463，∴sinα-cosα=。

22（2）∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=

练习1、已知sinα+cosα=

2，求下列各式的值。（1）tanα+cotα； 2（2）secα+cscα； （3）sin3α+cos3α； 解：（1）tanα+cotα=（2）secα+cscα=

1=-4。

sincos（4）sin4α+cos4α。

cossin=22。

sincos52。 8（3）sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α+cos2α-sinαcosα)=（4）sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=

7。▋ 8练习2：下列命题中的,的取值能使有关三角比有意义，对正确的命题在圆括号画“√” 对错误的画

22

“╳”

(1)csc()1sin() （ ）

（2）如果α在第二象限，则cos1sec。 （ ） （3）tan2cot21 （ ）

（4）sin()tan()cos() （ ） （5）tansincoscotcossin （ ） （6）cos2sin2221 （ ）

（7）sec22tan221 （ ） （8）(seccot)(csccot)1 （ ）

解：√╳╳√╳√√√

5、应用二：化简三角比式．

例19 已知tan2，（1）求

sin3cos2sin4cos的值；

2）求sin28sincos6cos2（3sin24cos2的值； （3）sin23sincos4cos22的值。

解：（1）

sin3costan2sin4cos32tan452

（2）sin28sincos6cos2tan28tan3sin24cos263tan2474。 （3）sin23sincos4cos22sin23sincos4cos2sin2cos22=tan23tan4tan21285 说明：（3）我们采用了“无中生有”法。 例20 化简sin3(1cot)cos3(1tan)。

23

xx例22 当2700x1800，化简(1tan)2(1tan)222。

例23、已知sin1a1a,cos3a11a，若θ是第二象限角，则实数a= 1/9 . 解析：Qsin1a1a01a1II1a1 cos3a11a01a1331a23a211a11a19a210a10a9ora1(舍).

例24、若sincosm,tancotn，则m和n就满足的关系式是( B ).

A.m2=n B.m221 C. m222nn D. nm2 答案：B；解析：tancotnsincos1n

24

sincosm12sincosm21练习、已知sincos2m2. n1且，则sincos . 842答案：

3. 21，求sinycos2x的最大值. 3例25、已知sinxcosy12cosx[1,1]sinx133答案：

1114sinycos2x(sinx)22129siny2sinx当且仅当3

siny1

例26、设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sinα、cosα是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根？若存在，请求出实数m；若不存在，请说明理由。

3msincos0m04m0` 解析：2m11sincos0m823m2m19m210sincos1m2orm(舍去)

44169当m=2时△=9m2-16m-8=-4<0,故这样的m不存在。

练习、设α∈(0,2π)，而sinα、cosα是关于x的方程x2-kx+k+1=0的两个根，求k和α值.

sincos13or解析：k2-2k-3=0⇒k=3(舍去)或k=-1, sincos0α

2(0,2)

6、应用三．证明三角恒等式． 例9、证明下列恒等式

(1)sin4sin2cos2cos21;cos2cos2(2)sin2sin2; 22cotcotcosx1sinx(3).1sinxcosx分析：在证明三角恒等式时，都是按由繁到简的原则，利用化简的方法达到证明的目的，其第(1)题因为左

25

边较繁，所以对左边化简得到右边，同时又告诉我们化简的另一标准是结果尽量化成积的形式．第(2)题是当求证式两边都比较繁时，就分别从两边化简得到同样的积的结果，从而“左右”．

（2）利用“求差法”证明：由于要使分子、分母共同参与运算，因此利用“求差法”即“左一右=o”的方法来证明．在分式情况下，这个方法往往易算、有效．本题还有其他证明方法，可组织学生讨论，并鼓励学生提出见解． 解：略。

例10 证明：cos(2sectan)(sec2tan)2cos3tan。

=2cos3tan=右边

2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）课后作业

一． 选择题。

1．已知角α的终边过点P ，则下列各式中正确的是（ ）

A

B

C

D

2．下列各式中正确的是（ ） A B C

D

3．下列命题中正确的是（ ）

A 角α与2kπ+α（k∈Z）是相等的角 B 钝角是第二象限角

C 小于90°的角是锐角 D 钝角的补角是第一象限角 4．把－1485°化成2kπ+α（ k∈Z）的形式是（ ）

A

B

C

D

26

5．已知圆的半每径为1，弧长为3.2的圆弧所对的圆心角α的弧度数是（ ） A 3.2 B 3.2π C 6.4 D 6.4π 6．点P

是角α终边上的一点，且

，则b的值是（ ）

A 3 B －３ C ±3 D 5 7．在△ABC中，若最大的一个角的正弦值是

，则△ABC是（ ）

A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 8．若α是第四象限角，则

是（ ）

A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 9．已知

，则θ是（ ）

A 第一象限角 B 第一或第二象限角 C 第三象限角 D 第二或第三象限角

二．填空题。 1． 与

终边相同的最小正角是_______________；与－75°终边相同的角的集合是

___________________________。 2． －15°=_____________弧度；

=____________度。

3． 时钟的分针走了1小时10分，它所转过的角度是_____________度，是__________弧度。 4． 填入不等号：（1）

；（2）

；（3）

；

（5）

5． 角α的终边经过点P （2）

。

，则（1）

。

；

27

6． 函数 的图象过点 ____________________。 7． 已知α与50°的终边相同，且 8． 函数 9． 10

是角θ终边上的一点，且

，则当 时，x的取值范围是

，则α是__________________。

的定义域是_______________________________。

。 。

三．解答题。

1． 已知角α的终边落在第一和第三象限的角平分线上，求α的六个三角函数值。

2． 一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长和扇形的面积。

2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）课后作业答案

一． 选择题。

1 B 2 C 3 B 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 D 10 A 二． 填空题。 1．

2．

3．

4． 5．

6． 7．

8． 9．0 10．

28

三． 解答题。

1．（1）当 的终边落在第一象限的角平分线时：

（2）当 的终边落在第三象限的角平分经时：

2．设半径为 ，则 ，所以

。

29