2020年上海交通大学强基计划试题数学试题 含答案

1.函数f(x)的定义域为(0,1)，若c(0,)，则函数g(x)f(xc)f(xc)的定义域

为

。

12

（1）方程没有正数解；（2）方程有无穷多个解；（3）方程有一2.已知方程2xsinx1，则下列判断：

个正数解；（4）方程的实根小于1，其中判断错误的有

。

3.小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有个。4.已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB,BC上，满足ADBE则AE和CD的夹角为

。

a

，连接AE,CD，3

5.ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(5,2)，则角A的平分线所在的直线方程

为

。

6.从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个，有种不同的取法。

7.已知yax2bxc过A(3,4),B(5,4)，则2ab

。

8.过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线m交抛物线于A、B两点，若A、B横坐标之和为5，

则直线m的条数为

。

9.用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为

。

10.若三条直线x2y20,x2,xky0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（

A.只有唯一值

B.有两个不同值

C.有三个不同值

D.无穷多个值

）。

11.非零实数a,b,c，若

bcacab

,,成等差数列，则下列不等式一定成立的是（abc

B.b

）。

A.bac

ac2

C.bac

2

D.a2b2c2

12.若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合，下列集合：（1）R；（2）Q；（3）CRQ；（4）x|xm2n,m,nZ中，封闭集合的个数为

。

13.方程x(x1)1y2的正整数解有

。

14.若a,b0，且满足

111a

，则ababb

。15.若四面体的各个顶点到平面距离都相同，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面

的个数为

。

16.设m(a)是函数f(x)xa在区间1,1上的最大值，则m(a)的最小值为

2

。17.立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有对。

18.空间三条直线a,b,c两两异面，则与三条直线都相交的直线有

条。19.用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长的最小值为。20.矩形ABCD的边AB2，过B、D作直线AC的垂线，垂足分别为E、F，且E、F分别为AC

。

的三等分点，沿着AC将矩形翻折，使得二面角BACD成直角，则BD长度为

21.平面上给定5个点，任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过

5点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有

个。

22.实数a,b满足(ab)

59

nn

1,(ab)1，则ab

60

60

。

n1

23.甲、乙、丙三人的职业分别是A,B,C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则

甲乙丙的职业分别为（A.ABC

B.CAB

）。

C.CBA

D.BCA

24.函数y

4sinxcosx33,x(,)的最小值是

sinxcosx44

。

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2020年上海交通大学强基计划试题解析

1.【答案】cx1c

0xc1cx1c1

【解析】由题意知，因为c0,，所以cx1c。

20xc1cx1c

2.【答案】（1）

。【解析】2xsinx1转化为函数f(x)2x与g(x)sinx1的交点问题，所以错误的是（1）

3.【答案】686

【解析】由题意可知9994.【答案】60

【解析】方法一：ABECADBAEACD因为BAECAE60ACDCAE60即COE60

方法二：如图作DFAE,CDF即为所求角

1000994980

1686

3557

a2a17CDAEa2aa

9323

2DF2BF272a2a7a

a,BFDF,CFa

aAE399993

28a27a249a2



DF2CD2CF2819811CDFcosCDF

2DFCD2327a7a293

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5.【答案】y7x17

【解析】由题意可知BAC90，角平分线所在直线倾斜角为k0AB

43643tanABO4

3

1

4

tantan(45ABO)

37143

角A的平分线所在的直线方程为y7(x3)47x176.【答案】11

【解析】设取出的球中有x,y,z个红球，黑球，白球，且x{0,1,2},y{0,1,2,3}，

z{0,1,2,3,4,5}，xyz6

（1）当x0时，yz6，则有(1,5),(2,4),(3,3)，3种；（2）当x1时，yz5，则有(0,5),(1,4),(2,3),(3,2)，4种；（3）当x2时，yz4，则有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1)，4种；共34411种。7.【答案】0

【解析】f(3)4,f(5)4，A、B关于对称轴对称所以

b2a352

2ab0。8.【答案】见解析

【解析】设直线xtypy22px

22

2，联立得py2ptyp0



xtp

2x1x2t(y1y2)p5t2

5p

2p

（1）当p5时，直线条数为0条；（2）当p5时，直线条数为1条；

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（3）当0p5时，直线条数为2条。9.【答案】3,4,6

【解析】设需要x个正n边形，铺满内角和等于360

(n2)1804则x360x2Nn3,4,6

nn2

10.【答案】2,1,0

【解析】三条直线将平面分成6个部分，有两种情况：（1）两条平行与第三条相交；

（2）三条直线相交于一点，则k2,1,011.【答案】C

【解析】由题意可知

2acbcab

2a2c2b2(a2+c2)2b2acb2ac，所以A可能成bac

立，由基本不等式可得b2ac

ac4

2

ac，所以一定成立

Bb

2

由2acabbc

222222

211111111或b2a2c2a2b2c2c2b2a2

即a2b2c2或c2b2a2，所以D可能成立故选C12.【答案】2

【解析】显然，（1）、（2）满足题意对于（3）3CRQ，23CRQ，但23=2CRQ，故（3）不是封闭集合3对于（4）32122252{x|xm2n,m,nZ}，故（4）不是封闭集合

1471442综上，封闭集合个数为2。13.【答案】0

【解析】由题意可知x(x1)y2y2x2x11yx

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由x(x1)y2y21(y1)(y1)x(x1)y1x

所以xyx1，y无正整数，所以方程x(x1)1y2的正整数解有0个。

14.【答案】

152

2

111aa【解析】由a2b2ab10ababbb

因为a,b0，所以15.【答案】7

【解析】与四个表面分别平行的面有4个，与两条对棱分别平行的平面有3个，共7个。16.【答案】

a15b2

1

2

【解析】（1）当a0时，m(a)1a1（2）当a1时，m(a)a1

（3）当0a1时，m(a)max{1a,a)

1

2

综上m(a)的最小值为17.【答案】174

12

【解析】找异面直线需要构造三棱锥，每个三棱锥有3组异面直线所以C86C46C4706658，58317418.【答案】无数条

【解析】如图所示，直线a,b,c两两异面，在c上任取一点A，过A作

4

4

4

ABa，构造平面ABCD，则直线b与平面相ABCD交于点E，连接AE

交a于F，即直线AF与三条异面直线a,b,c都相交，由于A任意性，所以有无数条。

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19.【答案】32【解析】如图所示，六边形周边最小值为6

2322

20.【答案】

153

【解析】设AFEFECx则cosBAE

2x23x

323x

153

所以BD21.【答案】310

2BE2x2

【解析】（1）设5个点为a,b,c,d,e，其中b,c,d,e四个点共有C46条连线，a点可向这6条线

2

作6条垂线，一共5630条，此时垂线的交点个数至多为C30435个。

（2）点a可以向b,c,d,e这四个点的6条连线作垂线，有C615个点，所以共51575个

2

2

（3）点c,d,e向点a,b作垂线，可作3条，这三条互相平行，没有交点，此时有C33，共

2

C52C3230个；

（4）五个点中任意三个构成一个三角形，三角形三条高相交于一点（三条垂线只有一个交点），此时有C5C3C520个

综上这些垂线的交点个数至多有435753020310个。22.【答案】0

2

2

3

ab1ab1a0a1

【解析】由题意得：或或

ab1ab1b1b01,(n1,3,559)nn

ab所以

1,(n2,4,660)

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则

a

n1

60

n

bn0

23.【答案】A

【解析】由题意得乙的职业是B，乙比C大，丙的年龄和B不同，B比甲小，甲、乙、丙三人的职业分别是A，B，C24.【答案】22【解析】令tsinxcosx,x

3

,t2sinx(0,1]

444

且4sinxcosx32(t21)32t21

2t21112时取等号，所以函数的最小值为22y2t22当且仅当2tt

ttt2

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