高一数学对数函数1

基础知识：

1． 对数函数的定义：

函数 ylogax(a0且a1)叫做对数函数(logarithmic function), 定义域是 (0,) 2. 对数函数的性质为 a1 0a1 x1x1图 ylogax 象 x1 (1,0)ylogax （1）定义域：(0,) （2）值域：R （3）过点(1,0)，即当性 x1时，y0 质 （4）在（4）在（0，(0,)+∞）上是增上是减函函数 数 3. 对数函数的图象与指数函数的图象 关于直线yx对称。

x画对数函数ylogax(a0,a1)的图象，可以通过作ya(a0,a1)关于直线

yx的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方

便的。所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。

x4.指数函数ya(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)称为互为反函数。

指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。

5．一般地，如果函数yf(x)存在反函数，那么它的反函数，记作yf思考：互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系？ 原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域。

1(x)

例1：求下列函数的定义域

（1）ylog0.2(4x);； （2）ylogax1 (a0,a1).；

2（3）ylog(2x1)(x2x3)

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（4）ylog2(4x3)

[分析]：此题主要利用对数函数ylogax的定义域(0,)求解。 （1）由4x0得x4，

∴函数的ylog0.2(4x)定义域是(,4)； （2）由x10得x1， ∴函数yloga

的定义域是xx1

x1(a0,a1).

2x10（3）2x11得

x22x301x1或1x3 2∴函数ylog(2x1)(x22x3)的定义域是(,1)U(1,3) （4）由log2(4x3)0 得4x31

∴x1，函数ylog2(4x3)的定义域是[1,) 例2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小： （1）log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1； （3）log75，log67； （4）log23，log45，于是log23.4log23.4； （2）对数函数ylog0.5x在(0,)上是减函数， 于是log0.51.8log0.52.7； （3）．∵log67log661， log75log771，

123 2【解】（1）对数函数ylog2x在(0,)上是增函数， log67log75； 3（4）∵log23log49，log48

2而log45log48log49 3∴log45log23（1）

2点评: 本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1 或0），间接比较上述两个对数的大小。

41(a0且a1)，求a的取值范围 5 （2）已知log(2a3)(14a)2，求a的取值范围；

例3若loga【解】（1）当a1时ylogax在(0,)上是单调增函数，loga4logaa 53eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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a4a1 logaa 5当0a1时ylogax在(0,)上是单调减函数，loga0a440a 55综上所述：a的取值范围为(0,)U(1,) （2）当2a31，即a1时 由14a(2a3)， 解得：

222a22 ∴1a22 3当02a31，即a1时

22由014a(2a3)， 解得： a22 ，此时无解。

综上所述：a的取值范围为(1,22)

点评:本题的关键是利用对数函数的单调性解不等式，一定要注意对数函数定义域。

追踪训练一

1.求函数ylog2(2x1)的定义域，并画出函数的图象。 2. 比较下列各组数中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）（3）

log0.31.8loga5.10.9，

log0.32.7； ，

loga5.9.

（4）1.1，log1.10.9，log0.70.8 3.解下列方程： （1）33x527 （2）22x12

（3）log5(3x)log5(2x1) （4）lgx1lg(x1) 4．解不等式：

（1）log5(3x)log5(2x1) （2）lg(x1)1 答案：1．略

2．（1）log23.4log28.5

（2）log0.31.8log0.32.7

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（3）当a1时，loga5.1loga5.9， 当oa1时， loga5.1loga5.9

（4）1.10.9log0.70.8log1.10.9

21 （2）x(2log23) 32（3）x1 （4）x2

3．（1）x4．（1）(0,1) （2）(1,11)

课堂练习

1．函数ylog5x(2x3)的定义域为（ ）A．(,5) B．(,4) C．(4,5) D．(,4) U(4,5) 2．已知a2>b>a>1，则m=logab，n=logba，p= logbA．mb的大小关系是 （ ） a3．已知0a1，b1，ab1，则下列不等式成立的是 （ ）

1 b11B．logablogbloga bb11C．logablogalogb bb11 D． logblogalogab

bbA．logblogabloga1b4．设函数ylg(x1)lg(x2)的定义域为M，函数ylg(x3x2)的定义域为N，则M，N的关系是 （ ） A．MN B．NM C．MN D．MIN

25．已知f(x)|logax|，其中0a1，则下列不等式成立的是 (

11(A)f()f(2)f()

4311(B)f(2)f()f()

3411(C)f()f()f(2)

4311(D)f()f(2)f()

34)

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6．函数y=log1(2x1)的定义域是

37．函数y＝log 2(32－4x)的定义域是 ，值域是 . 8．若loga1(a0且a1)，求a的取值范围。

29．求函数yloga(xx)(a0,a1)的定义域和值域。

23

10．． 若函数ylg(xmx1)的定义域为实数集R，求实数m的取值范围。

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