二阶奇异非线性常微分方程正ω-周期解的存在性

第１　９卷第４期　甘肃科学学报　Ｖ０Ｉ．１９　ＮＯ．４　２００７年１　２月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ＧａＲＳＨ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　Ｄｅｃ．２００７　二阶奇异非线性常微分方程　正ＣＯ一周期解的存在性　杨　和　（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州　７３００７０）　摘　要：　用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理研究了变系数二阶奇异非线性常微分方程　（￡）＋口（￡）“（￡）：　ｆ（ｔ，“（￡）），在更一般的条件下获得了该微分方程的正６０一周期解的存在性和多重性结果．　关键词：　正周期解；Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理；存在性；多重性　中图分类号：　ｏ　ｌ７５．８　文献标识码：　Ａ　文章编号：１００４—０３６６（２００７）０４—０００４—０４　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｆｏｒ　Ｓｅｃｏｎｄ－Ｏｒｄｅｒ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＹＡＮＧ　Ｈｅ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００７０。Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ａ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒ—　ｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　（￡）＋ａ（￡）Ｕ（￡）一ｆ（ｔ，Ｕ（￡））ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　ｃｏｎｅ　ｍａｐ，ｓｏｍｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　近年来，由于其广泛的应用背景，二阶奇异周期　ｆ边值问题正解的存在性问题受到人们的广泛关注，　【“Ｕ（０）一Ｕ（∞），Ｕ　（０）一Ｕ　（∞）　（ｆ）＋口　厂　：　￡　）），￡∈［０，０，３　（２）　其中文献［１，２］研究了常系数二阶奇异周期边值问　正解的存在性和多重性．其中ａ（ｔ），ｆ（ｔ，Ｕ）满足　题，在允许ｆ（ｔ，“）在Ｕ一０处奇异的条件下获得了　条件：　正解的存在性和多重性结果．文献［３，４］用Ｋｒａｓ—　（Ｈ　）ａ（￡）：Ｅｏ，∞］一（０，＋ｏ。）连续；　ｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理研究了变系数二阶周期边值问题：　（Ｈ　）ｆ（ｔ，“）：［－０，　×（０，＋ｏ。）一［０，＋ｏ。）连续．　ｆ“　（￡）＋口（￡）“（￡）一ｆ（ｔ，“（￡）），ｔｆｆ　Ｅ０，１］　…　注：若ｌｉａｒｆ（ｔ，“（￡））＝＋ｏ。，对ｔ∈Ｊ一致成　｛“（０）一“（１），“，（０）一“，（】）　立，则称ｆ（ｔ，“）在“一０处奇异，为了叙述方便，我们　正解的存在性和多重性．其中厂（ｔ，Ｕ）在Ｕ一０处奇　引入如下记号：　异且在“一十。ｃ附近满足超线性条件，即　Ｊ一［－０，∞］，Ｍ—ｍａｘａ（￡），　，∈Ｊ　ｌｉｍ　一十。。．　“一＋∞　“　ｌ，ｖ／一ｎｌａＸａ（ｆ），　一￣／Ｍ，　，∈Ｊ　我们试图在．厂（ｆ，“）满足更一般的条件，即允许　一ｌｉｍ　ｐ　ｍ　，　ｆ（ｔ，“）在Ｕ＝０处奇异，但不要求＿厂满足超线性条件　’＋∞　ｆ∈Ｊ　的前提下，用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理研究如下周　一ｌｉｍ　ｉｎｆ　ｍｉｎ　，　期边值问题：　收稿日期：２００６—１２—１８　基金项目：｝ｌ肃省ｆｉ然科　：越金项¨（３ＺＳ０１２－Ｂ２５　０１　６）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１９卷　杨　和；二阶奇异非线性常微分方程正　一周期解的存在性　ｂ　一ｌｉｍ　ｉｎｆ　ｍｉｎ　ｕ一＋∞ｔ∈』　．　是一个待定的正数．　显然ｆ　（ｔ，“（￡））连续，易见“是ＰＢＶＰ（２）的　解的充要条件为“是Ａ的不动点．　取０＜ｒ＜Ｒ＜＋。。，记　１　预备知识　为了研究问题（２），先考虑问题（２）对应的线性　周期边值问题：　２。一｛“∈Ｃ（Ｊ）…“ｌ１ｌ＜ｒ｝，　ｎ　一｛“∈Ｃ（１）Ｉ　ｌｌ“ｌｌ＜Ｒ｝，　则　｛ｌ　　十（Ｏ）　一　（叫），　（Ｏ）一　（㈦　叫）　㈣　关于问题（３），则有如下解的存在唯一性定理及估计　式：　引理１嘲　设口（￡）满足（Ｈｔ），ｏ＜Ｍ＜（　），则　对Ｖｈ∈Ｃ（Ｊ），线性周期边值问题（３）存在唯一解　“一Ｐ＾，且Ｐ：Ｃ（Ｊ）一Ｃ（Ｊ）为线性全连续算子，且当　ｈ≥Ｏ时，Ｐ＾满足估计式：　≤Ｐ＾≤　ｌ　ｌｌｌ，　（４）　其中丁：Ｃ（Ｊ）一Ｃ（Ｙ）为积分算子：　（　）（￡）一ｒ　Ｇ（￡，ｓ）＾（ｓ）ｄ　，　（５）　Ｊ　０　其中Ｇ（ｔ，ｓ）是线性周期边值问题　（￡）＋Ｍｕ（ｔ）一０，“（Ｏ）一“（叫），“　（Ｏ）一“　（叫）　的Ｇｒｅｅｎ函数，Ｇ（ｔ，　）的表达式为　Ｇ　ｌ　ｒ（叫＋一　），Ｏ≤￡≤　≤叫　ｔ　≤叫　其中ｒ（￡）∈Ｃ　（　）由下式确定：　ｒ（￡）一———　—　）一　，ｔ∈Ｊ　，∈　２卢ｓｉｎ　容易验证：　８叫　ＣＯＳ　１　’　（６）　ｏｎ．　叫。ｍ　ｊＪ　．　０　Ｇ（　一ｉ　１』　Ｖｄ．　（７）　在Ｃ（１）中，定义范数为ＩＩ“ｌｌ—ｍａｘｌ“（￡）ｌ，设　Ｃ　（　）为Ｃ（１）中的非负函数锥，取Ｃ　（Ｊ）的子锥　Ｋ一｛“∈Ｃ＋（　）ｌ“｝（￡）≥　ｌｌ“ｌｌ，ｔ∈Ｊ｝，　其中　一　ｃ。ｓ　，定义算子　Ａ：Ｃ　（Ｊ）－－，．－Ｃ　（　）　如下：　Ａｕ—ｐ（　厂　（ｆ，“）），　（８）　这里　厂　（￡，“（　））一』厂　州　‘　’≥　ｌ，（　，　），“（　）（『　０∈１２ｌ，２１ｌ　Ｃ１２２．　引理２　Ａ（Ｋ（－Ｉ（１２ｚ＼ｎｔ））ｃ　Ｋ，且　Ａ：（Ｋ（－Ｉ（ｎｚ＼ｎｔ）一Ｋ　为全连续算子．　证明　对Ｖ“∈（Ｋ（－Ｉ　１２　＼ｎ１），由式（４）及式　（８），有　ｌｌＡ　≤　））ｄｓ，　２邶ｓｉｎ　从而有　（Ａｕ）（￡）一Ｐ（ｆ　（￡，“（∞一．　）））≥一　一　Ｔ（ｆ　（￡，“（￡）））≥　２　ｒｌ　　ｆ　（ｓ，　（ｓ））ｄｓ≥　Ｊ　０　ｃ。ｓ　。。２　ｌｋ２ｅ＿ｌ　ｌ所以Ａｕ∈Ｋ，即Ａ（Ｋ　ｎ（ｎ　＼ｎ１））ｃＫ，又由Ａ连　续，易证Ａ：Ｋ　ｎ（ｎ　＼ｎ　）一Ｋ为全连续算子．　我们对Ａ应用如下锥映射的Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不　动点定理讨论问题（２）的解的存在性．　定理Ｂ【　］　设Ｘ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｋ为Ｘ中的　闭凸锥，ｎ　，ｎ　为Ｘ中的开区域，０∈ｎ　，ｎ　ｃｎ　，　Ａ：Ｋｎ（１２　＼１２　）一Ｋ为全连续映射，若下列条件之　一成立：　（ｉ）　ｌ　ｌＡ“ｌｌ≤ｌｌ“ｌｌ，Ｖ“∈Ｋ　ｎ　ａｎ　，　ｌ　ｌＡ“ｌｌ≥ｌｌ“ｌｌ，Ｖ“∈Ｋ　ｎ　ａｎ。；　（ｉｉ）　ｌ　ｌＡ“ｌｌ≥ｌｌ“ｌｌ，Ｖ“∈Ｋ（－Ｉ　ｎ　，　ｌ　ｌＡ“ｌｌ≤　ｌｌ“ｌｌ，Ｖ“∈Ｋ（－Ｉ　ａｎ　，　则Ａ在Ｋ（－Ｉ（ｇ２　＼ｎ　）中必有不动点．　２主要结果及证明　定理１　设（Ｈ　），（Ｈ２）成立，０＜”ｌ，Ｍ＜　（暑）。　＞一　，　＜Ⅲ删ＰＢＶＰ（２）　，　Ｃ０Ｓ　—＝一　维普资讯 http://www.cqvip.com ６　甘肃科学学报　２００７年第１期　少有一个正解．　因为　一　证明　因为ｆｏ＞—　ｃｏ　１３　—　，由ｆｏ的定义知；　一　Ｕ。∈Ｋ，故Ｖ　ｔ∈Ｊ，Ｕ。（ｆ）≥　『　ＩＵ。『Ｉ≥　＞０，　因此Ｕ。为问题（２）的正解．　存在ｒ。＞０，当０＜ｚ≤ｒ。时，有　≥　ｍ∞　我们还可以用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理证明　多个正解的存在性：　定理２设（Ｈ　），（Ｈ。）成立，若　ｚ，　取ｒ∈（Ｏ，ｒ１），．；【一ｒ，贝Ｕ当Ｕ∈ａｎ　［－Ｉ　Ｋ时，对　Ｖ　５∈Ｊ，因为“（５）≤『　ＩＵ『Ｉ＝ｒ＜ｒ。，故　ｆ（ｓ￣Ｕ㈦）≥　）≥　∞　Ｍ２　——酬“『Ｉ＝Ｍ　ＩＩ“『ｆ’　∞　又因为　“（５）≥　『　ＩＵ『Ｉ一　＝毅，　所以　厂　（　，“（　））一ｆ（ｓ，“（　）），　由引理ｌ有　（Ａｕ）（ｆ）一Ｐ（ｆ　（￡，“（ｆ）））一　Ｐ（ｆ（ｔ，“（￡）））≥Ｔ（ｆ（ｔ，“（ｆ）））≥　．　Ｍ『Ｉ“『Ｉ　ｌ　Ｇ（ｔ，　）ｄｓ一『　Ｉｚｔ『Ｉ，　所以　『Ｉ　Ａｕ『Ｉ≥『　ＩＵ『ｆ．　（９）　又因为　＜ｍ，由　的定义知，存在Ｒ０＞０，　当ｚ≥Ｒ。时，有厂（ｒ，ｚ）≤眦，取Ｒ＞啪ｘ（！　，ｒ。）　则Ｒ＞ｒ。＞ｒ一．；【，当Ｕ∈　ｚ　ｎ　Ｋ时，对Ｖ　５∈Ｊ　，有“（　）≥　Ｉｆ　Ｕ『Ｉ一　＞Ｒ。，故　ｆ（ｓ，“（５））≤ｍｕ（５）≤ｍ『Ｉ　ｕ『ｆ．　又因为“（　）≥　＞毅，所以厂（ｓ，“（　））一　ｆ（ｓ，“（ｓ）），由引理１知　（Ａｕ）（ｆ）一Ｐ（ｆ。（ｆ，“（ｆ）））一　Ｐ（ｆ（ｔ，“（ｆ）））≤　『Ｉ　Ｔ（厂（ｆ，“（　）））『Ｉ≤　『　Ｉｆ　Ｇ（　）ｄ　一　『ｆ’　所以　『Ｉ　Ａｕ『Ｉ≤『Ｉ“『ｆ．　（１ｏ）　由式（９）及式（１Ｏ）知，Ａ在Ｋ　ｎ（ｎ。＼ｎ・）上满　足定理Ｂ的条件（ｉｉ），由定理Ｂ知Ａ在Ｋ　ｎ　（ｇ２　＼ｔ２　）中存在不动点“。…ＩＩ必为问题（２）的解，又　Ｍ＜（、詈）Ｃ　，　‘，　ｆｏ＞　，　—”“　，　ｍ　ｃｏＳ　Ｌ’：一　且存在Ｐ＞０使　ｍａｘ｛ｆ（ｔ，ｚ）ｆ　ｔ∈Ｊ，劬≤ｚ≤Ｐ）＜ｍｐ，　（１１）　其中　＝　ｃ。ｓ譬，则ＰＢＭＰ（２）至少有２个正解．　证明　由定理１的证明知，当　ｆｏ＞　—ＣＯＳ　时，有式（９）成立，又因为　’　ｃｏＳ　＝一　由　的定义知，存在Ｒ。＞０，当ｚ≥Ｒ。时，有　∽　ｍ　ｃｏｓ　‘。　取Ｒ＞ｍａｘ（鲁，ｒ），．；【一ｒ，则Ｒ＞Ｉ，记　１＂２２一｛Ｕ∈Ｃ（Ｊ）ｌ『Ｉ　Ｕ『Ｉ＜Ｒ），　则当Ｕ∈　。ｎ　Ｋ时，对Ｖ　∈Ｊ，有　“（ｓ）≥　『Ｉ　Ｕ『Ｉ一　＞Ｒ。，　故　ｆ（ｓ，ｕ　）≥　）≥　ＣＯＳ　酬　一Ｍ　ＩＩ　，　，ｎ　ＣＯｓ　又因为　“（ｓ）≥　＞毅，　所以　、（　，“（　））一．厂（Ｓ，Ｕ（　）），　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１９卷　杨　和：二阶奇异非线性常微分方程正　一周期解的存在性　与式（９）证明类似可以证明　其中ｎ（￡），ｆ（ｔ，　）满足条件（Ｈ。）与（Ｈｚ），在讨论问　ｌ　ｌＡ“ｌｌ≥ｌｌ　Ｕ　ｌ１．　（１２）　题（２）时，要求Ｍ—ｍａｘｎ（￡）满足０＜Ｍ＜ｆ　１。，　取　一（Ｕ∈Ｃ（．厂）Ｉ　ｌ　ｌＵ　ｌｌ＜Ｐ），则当０＜　ｔＥ　Ｊ　、Ｃ　，　对问题（１４）则不需要此条件，此时Ｇ（ｔ，ｓ）对应的　ｒ＜Ｐ＜Ｒ时，有０∈０１，０１　ｎ　０。，０。ｃ　０２其中０　ｒ（￡）为　如定理１的证明中所定义，下证　ＩＩ　Ａ“ｌｌ＜Ｉ　ｌＵ　ＩＩ．　（１３）　：当Ｕ∈　。ｎ　Ｋ，对Ｖ　ｓ∈Ｊ，有　ｒ（￡）＝——：：　：——＿、—＿　，∈　ｔ∈Ｊ　　２　ｓｉｎ＾　劬一　Ｕ　ｌｌ≤Ｕ　ｌｌ≤Ｐ，　故由式（１１），有　ｒ（￡）恒正，据此可知问题（１４）对应的引理１成立，故　ｆ（ｓ，　（ｓ））＜ｍｐ—ｍ　Ｉ　ＩＭ　ＩＩ，ｓ∈Ｊ　对问题（１４）可建立与问题（２）类似的正周期解的存　又因为　在性与多重性结果．　“（ｓ）≥劬＞　一毅，　参考文献　所以　Ｚｈｏｎｇｘｉｎ　Ｚｈａｎｇ，Ｊｕｎｙｕ　Ｗａｎｇ．Ｏｎ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　厂’（ｓ，“（ｓ））一ｆ（ｓ，“（ｓ）），　］ｌ＝Ｊ　　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉ］　ｏｎｓ　ｔＯ　Ｐｅｒｉ］　ｏｄｉｃ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌ］　ｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｆｏｒ　］　］　因此接引理１，有　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｏｒｄｅｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　（Ａｕ）（￡）一Ｐ（ｆ。（￡，“（￡）））＝Ｐ（ｆ，“（￡））≤　Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐ１．２００３，２８１　ｔ　２５—２７．　ＩＩ　Ｔ（ｆ（ｔ，“（￡）））ＩＩ＜　Ｄａｑｉｎｇ　Ｊｉａｎｇ，Ｊｉｆｅｎｇ　Ｃｈｕ，Ｄｏｎａｌ　０　Ｒｅｇａｎ，Ｒａｖｉ・Ｐ．Ａｇａｒｗａ１．　Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｐｏｓｉｔｅｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔＯ　Ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｒｅｐｕｌｓｉｖｅ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｆｏｒｃｅｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ａ—　ＴｆＩ　ＩｌｒＧ（３　０　　）ｄ一　Ｉ１，　ｈａ１．Ａｐｐ１．２００３，２８６：５６３—５７６．　故　Ｌｉｎ　Ｘｉａｏｎｉｎｇ，Ｌｉ　Ｘｉａｏｙｕｅ，Ｊｉａｎｇ　Ｄａｑｉｎｇ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔＯ　ＩＩ　Ａ“ｌｌ＜ｌ　ｌＵ　ｌｌ，　Ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ　Ｓｅｍｉｐｏｓｉｔｏｎｅ　Ｐｅｒｉｄｏｉｃ　Ｂｏｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｒｅｐｕｌｓｉｖｅ　Ｗｅａｋ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｆｏｒｃｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　即式（１３）成立，于是Ａ在Ｋ　ｎ（　＼０－）上满足定理　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．２００６，５１　ｌ　５０７—５１４．　Ｂ的条件（ｉｉ），在Ｋ　ｎ（０：＼　）上满足定理Ｂ的条　Ｄａｑｉｎｇ　Ｊｉａｎｇ，Ｊｉｆｅｎｇ　Ｃｈｕ，Ｍｅｉｒｏｎｇ　Ｚｈａｎｇ．Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｏｓｉ—　ｔｉｖｅ　ｏＳｌｕｔｉｏｎｓ　ｔＯ　Ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ　Ｒｅｐｕｌｓｉｖｅ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　件（ｉ），故由定理Ｂ知，Ａ在Ｋ　ｎ（　＼０。）与Ｋ　ｎ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．２００５，２１　Ｉ　ｌ　２８２－３０２．　（０：＼　）中分别存在不动点Ｕ。和Ｕ　，由式（１３）知，　李永祥．二阶非线性常微分方程的正周期解［Ｊ］．数学学报，　Ｕｌ，Ｕ２　ａ　０　３，因此Ｉ　１Ｕｌ　Ｉ１＜　＜Ｉ　１Ｕ２　Ｉ１，故“１，Ｕ２为　２００２，４５（３）：４８２—４８８．　Ａ的２个不同的不动点，此２个不动点为问题（２）的　郭大钧．非线性泛函分析［Ｊ］．济南；山东科学技术出版社，　１９８５．　２个正解．　罔作茂，刘旭．非线性微分方程边值问题解的存在性［Ｊ］．甘肃　注对问题（１）的处理方法也适合于如下形式的边　科学学报，２００５，１７（２）：１４－１６．　值问题：　徐嘉．一类非线性二阶常微分方程ｍ＋１点边值问题的可解性　ｆ一“　（￡）＋（￡（￡）“（￡）一ｆ（ｔ，“（￡）），ｔ∈［Ｏ，　］　［Ｊ］．甘肃科学学报，２００６，１８（１）：ＩＩ－１３．　Ｉ“（Ｏ）＝“（ｃ　），“　（Ｏ）＝“　（ｃ　）　（１４）　作者简介：　杨和，（１９８２一）男．甘肃省武威人。西北师范大学数学与信息科学学院２００５级在读硕士研究生，主要研究方向为非线性　泛函分析．　］