一类奇异脉冲微分方程周期边值问题的多解性

MATHEMATICAAPPLICATA2009,22(3):559~565

一类奇异脉冲微分方程周期边值问题的多解性

陈祥平,赵增勤

1

2

(1.济宁学院数学系,山东曲阜273155;2.曲阜师范大学数学科学学院,山东曲阜273165)摘要:利用非线性Leray-Schauder二择一定理和锥拉伸与压缩不动点定理,讨论了一类奇异二阶脉冲微分方程在周期边值条件下多个正解的存在性.

关键词:Leray-Schauder二择一定理;周期正解;锥拉伸与压缩不动点定理;脉冲方程中图分类号:O175.8 AMS(2000)主题分类:34B18;34B37文献标识码:A 文章编号:1001-9847(2009)03-0559-07

1.引言及预备知识

有关奇异二阶微分方程:ucc+f(t,u)=0的正解存在性,已经有了许多丰富的结果,其中非线性项f(t,u)关于第一变元t奇异的结论较多,而关于第二变元u奇异的结论相对较少.最近文[5-7]分别利用非线性Leray-Schauder二择一定理和上下解方法研究了第二变元奇异时解的存在性.本文将利用非线性Leray-Schauder二择一定理和锥拉伸与压缩不动点定理,讨论一类奇异脉冲微分方程在周期边值条件下的多解性,本文的结果与文[5-7]比较,除方程形式及边值条件不同外,比文[5,7]非线性项f(t,u)的条件更弱,还增加了一个可以取负值的项e(t),比文[6]增加了脉冲项的影响且讨论了多解的情况.

考虑如下二阶奇异脉冲微分方程的边值问题:

-ucc+Mu=f(t,u)+e(t),

-$uc|t=tk=Ik(u(tk)),

+

[1-7]

a[t[b,tXtk,k=1,2,,,p,

(1)

t=t+

u(a)=u(b),uc(a)=uc(b).

记J=[a,b],R=(0,+]),a+k

-k

-k

+k

k

=uc(t)-uc(t),uc(t)与uc(t)分别表示uc(t)在tk处的左、右极限.设f(t,u)BJ@RyR+连续,Ik(u)BR+yR+连续,允许f(t,u)关于u在0奇异,e(t)IC[a,b].令

PCc(J,R)={uIC(J,R),uc(t)IC(tk,tk+1),uc(tk)=uc(t-k),uc(t+k)v,k=1,2,,,p}.取+u+PCc=max{+u+,+uc+},则PCc(J,R)是一个Banach空间,这里+u+=sup|u(t)|,tIJ

2+uc+=sup|uc(t)|.一个函数u(t)IPCc(J,R)HC(Jc,R)称为方程(1)的解,是指它满足方tIJ

程(1)的各项条件,若解u(t)在J上恒正,则称为正解.

对<(t)IL[a,b]:若<(t)\\0,a.e.tI[a,b]且在[a,b]的正测度集上恒为正,则记<(t)

*收稿日期:2008-09-17

1

基金项目:国家自然科学基金(10871116),山东省自然科学基金(Y2006A04)

作者简介:陈祥平,女,汉,山东人,副教授,研究方向:非线性泛函分析.

560

应 用 数 学

*

2009

:0;若<(t)的本性上确界和本性下确界存在,用<,<*分别表示<(t)的本性上下确界.

引理1[8] 设K是一个赋范空间X的凸集,8是K中的开集,TB󰀁8yK是紧映射,且HI8.则下面两个结论中至少有一个是成立的:

(i)T在󰀁8中至少有一个不动点;

(ii)vxI58和0[9]

设E是实Banach空间,P是E中的锥,81,82是E中的开集,HI81,81<82,

ABPH(82\\81)yP全连续,如果满足下列条件:

(i)+Au+[+u+,PuIPH581;+Au+\\+u+,PuIPH582(即范数锥拉伸);

或(ii)+Au+[+u+,PuIPH582;+Au+\\+u+,PuIPH581(即范数锥压缩).那么A在PH(82\\81)中必有不动点.

引理3 积分方程:

u(t)=

G(t,s)[f(s,u(s))+e(s)]ds+Q

ab

k=1

EG(t,t)I

k

p

k

(u(tk)),tII(2)

的解u必是方程(1)的解,其中

G(t,s)=

x

-x

coshm((b-a)/2-t+s),a[s[t[b,

2msinhm(b-a)/2coshm((b-a)/2+t-s),a[t[s[b.2msinhm(b-a)/2

x

-x

(3)

m=

M,coshx=e+e,sinhx=e-e.

22

证 令f(t,u)+e(t)=h(t,u),对(2)式两边分别求导数:

1uc(t)=

2sinhm(b-a)/2

#sinhmtacoshm{

tabt

Q-coshmtsinhm

Q+coshmtsinhm

Q

m2sinhm(b-a)/2

t

b-a+sh(s,u(s))ds2

b-a+sh(s,u(s))ds+sinhmt2

b-a-sh(s,u(s))ds+2}

pk=1

Q

t

b

coshm

k

b-a-sh(s,u(s))ds2

(4)

EGc(t,t

)Ik(u(tk)),

ucc(t)=

t

b-ab-a#coshmtacoshm+sh(s,u(s))ds-sinhmtasinhm+sh(s,u(s))ds

22{

Q

t

t

Q

+coshmt

Q

b

bb-a-sb-a-s

coshmh(s,u(s))ds+sinhmttsinhmh(s,u(s))ds

22}

Q

-h(t,u(t))+其中

k=1

EGcc(t,t

p

k

)Ik(u(tk)),(5)

Gc(t,tk)=-sinhm((b-a)/2-t+tk),a[tk[t[b,

2sinhm(b-a)/2sinhm((b-a)/2+t-tk),a[t[tk[b,

2sinhm(b-a)/2第3期陈祥平等:一类奇异脉冲微分方程周期边值问题的多解性

561

Gcc(t,tk)=

2

mcoshm((b-a)/2-t+tk),a[tk[t[b,

2sinhm(b-a)/2

mcoshm((b-a)/2+t-tk)

,a[t[tk[b.

2sinhm(b-a)/2

-ucc(t)+Mu=h(t,u),

显然有-Gcc(t,tk)+mG(t,tk)=0.由(2),(4),(5)及上式得u(a)=u(b)=uc(a)=

Q

uc(b)=

Qsinhm

ba

b

coshmb+a-sh(s,u(s))ds+a2

b+a-sh(s,u(s))ds+2

t=t

k

k=1

E

p

coshm((b+a)/2-tk)Ik(u(tk)),2sinhm(b-a)/2sinhm((b+a)/2-tk)Ik(u(tk)),

2sinhm(b-a)/2

k=1

E

p

-$uc|

即u是方程(1)的解.

=Ik(u(tk)),k=1,2,,,p,

另外,由双曲余弦函数的非负性及单调递增性可得到G(t,s)>0,且

A=

令R=

1coshm(b-a)/2[G(t,s)[=B,

2msinhm(b-a)/22msinhm(b-a)/2

1,则RB=A.

coshm(b-a)/2

K={uIX:u(t)\\0,minu(t)\\R+u+},tIJ

记X=PCc(J,R)并定义

则K是X中的锥.设F(t,u)BJ@Ry[0,+])是一个连续函数,定义算子

(Tu)(t)=

QG(t,s)F(s,u(s))ds+

a

b

b

k=1

EG(t,t)I

k

p

k

(u(tk)),tIJ,

这里uIX,tIJ,G(t,s)由(3)给出.

引理4 算子TBXyK,且T是全连续的.

证 因为G(t,u),F(t,u),Ik(u)都是连续非负的,PuIX,

0[Tu=[B

b

b

QG(t,s)F(s,u(s))ds+

a

k=1

k=1

EG(t,t)I

k

p

k

(u(tk))

F(s,u(s))ds+Qa

p

k

k=1

EI

kp

p

k

(u(tk)),

于是+Tu+[B

F(s,u(s))ds+EI(u(t)).又QTu\\A

QF(s,u(s))ds+EI(u(t))

a

ba

k

k

k=1

p

=RB

QF(s,u(s))ds+

a

b

k=1

EI

k

(u(tk))\\R+Tu+.

所以TuIK.易证T是全连续的.

实Banach空间、锥的概念和讨论见文[9-10].

2.主要结果及证明

在本文中,给出以下假设:

(H1)对每个常数L>0,都存在一个连续函数应 用 数 学2009

(H2)存在连续非负函数g(u),h(u),l(u),k(t),使

f(t,u)[k(t){g(u)+h(u)},(H3)存在一个常数r>0,使得

K*

这里K(t)=

ba

k=1

EI

p

k

(u)[l(u),(t,u)IJ@(0,+]).

这里g(u)>0非增,h(u)/g(u)和l(u)非减,uI(0,+]).

g(Rr)1+h(r)g(r)

ba

*+C+Bl(r)G(t,s)k(s)ds,C(t)=

QQG(t,s)e(s)ds.

定理1 设(H1)-(H3)满足,则方程(1)至少存在一个正周期解u,且0<+u+证 由(H3)知:vn0IZ+使得

K*g(Rr)1+

h(r)g(r)

*+C+Bl(r)+1n0

(6)

记N0={n0,n0+1,,},则取nIN0时(6)式均成立.

PnIN0考虑下面方程:

2m-ucc+Mu=fn(t,u)+e(t)+,n

-$uc|t=tk=Ik(u(tk)),

a[t[b,tXtk,k=1,2,,,p,

(7)

u(a)=u(b),uc(a)=uc(b),

其中

f(t,u),u>

fn(t,u)=

1ft,n,u[

1,n1.n

首先证明对每个nIN0,方程(7)存在正解unIPCc(J,R)且0<+un+m2

-ucc+Mu=K(fn(t,u)+e(t))+,

n-$uc|t=tk=KIk(u(tk)),u(a)=u(b),uc(a)=uc(b),

这里KI(0,1).考察积分方程:

u=KTnu+1,

n

由Tn的定义及引理3易证积分方程(9)的解一定是方程(8)的解.

关于方程(9)有如下结论:对PKI(0,1),方程(9)的任意解u一定满足+u+Xr.事实上,假设对PKI(0,1),方程(9)的任意解u有+u+=r.

由(H1)知:u(t)-1\\R+u(t)-1+,u(t)>1,因此有

nnn

11u(t)\\R+u(t)-1++1\\R+u(t)+-+1=Rr-+1\\Rr,tIJ.

nnnnnnu(t)=K(9)

a[t[b,tXtk,k=1,2,,,p,

(8)

其中Tn的定义是在算子T的定义中将F(s,u(s))换成fn(t,u)+e(t),因此Tn也是全连续的.

Qa

b

G(t,s)[fn(s,u(s))+e(s)]ds+

k=1

EG(t,t)I

k

p

k(u(tk))+1n

第3期陈祥平等:一类奇异脉冲微分方程周期边值问题的多解性

563

1n

(10)

[

Q

b

G(t,s)[f(s,u(s))+e(s)]ds+a

k=1

EG(t,t)I

k

p

k

(u(tk))+

h(r)*

K*+C+Bl(r)+1,PtIJ.g(r)n

h(r)*

因此r=+u(t)+[g(Rr)1+K*+C+Bl(r)+1.此与(6)式矛盾.

g(r)n

[g(Rr)1+

由引理1可知,对PnIN0方程(9)当K=1时至少存在一个解un(t),故un(t)实际上是方程(8)当K=1时的解,亦即方程(7)的解.与(10)式的证法相似可证得+un+0.

下面证明{un(t)}在J上一致有下界,即存在常数D>0,使得mintIJun(t)\\D.由(H1)知对常数r>0,存在一个相应连续函数un(t)=

Q

\\G(t,s)[<(s)+e(s)]ds+EG(t,t)I(u(t))+Q

\\G(t,s)(<(s)+e(s))ds\\<+C=BD>0.Q

ab

b

G(t,s)[fn(s,un(s))+e(s)]ds+

p

r

k=1

EG(t,t

k

k

p

k

)Ik(un(tk))+1n

k

ab

n

k=1*

1n

a

r*

这里<(t)=

G(t,s)<(s)ds.下证vHQ

a

r

b

\\0,PnIN0,有

(11)

+unc(t)+[H.

令

M1=maxmaxf(t,u),M2=max|Gtc(t,s)|,tIJuI[D,r]t,sIJ

M3=

+unc(t)+=maxtIJ

t

t

b

p

e(s)ds

Q

a

,M4=umaxI[D,r]

n

k=1

EI

k

(u).

QGc(t,s)[f(s,u(s))+e(s)]ds+

a

k=1

EGc(t,t

t

p

k

)Ik(un(tk))

[M1M2+M2M3+M2M4=BH.

由+un+unM(t)=

Q

b

G(t,s)[f(s,unM(s))+e(s)]ds+a

b

k=1

EG(t,t

p

p

k

)Ik(unM(tk))+

1.nM

令My+],而f(t,u)在J@[D,r]上是一致连续的,可得

u(t)=

G(t,s)[f(s,u(s))+e(s)]ds+

Q

a

k=1

EG(t,t)I

k

k

(u(tk)).

因此u(t)是方程(1)的正解,且+u+[r.

定理2 设(H1)-(H3)满足,同时下面两个条件成立:(H4)存在连续非负函数g1(u),h1(u),l1(u),k1(t),使f(t,u)\\k1(t){g1(u)+h1(u)},

k=1EI

p

k

(u)\\l1(u),(t,u)IJ@(0,+]),

5

应 用 数 学2009

1

这里g1(u)>0非增,h(u),l1(u)非减,uI(0,+]).

g1(u)

(H5)存在一个常数R>r,使得

R[K1*g1(R)1+

b

b

h1(RR)g1(RR)

+C*+Al1(RR),

这里K1(t)=

G(t,s)k(s)ds,C(t)=G(t,u)e(s)ds.

QQ

a

1

a

则方程(1)除了定理1中正的周期解外还存在另一个周期解u󰀂,且r<+u󰀂+证 记81=Kr,82=KR是X中的开球.定义算子T1BKH(82\\81)yK如上述算子T的定义,只须将F(t,u)换成f(t,u)+e(t)即可.对PuIKH(82\\81),由K的定义有

0PuIKH581,则+u+=r,类似(10)式的证明及T1的定义可得+T1u+[+u+.

PuIKH582,则+u+=R,由K的定义RR[u(t)[R,利用条件(H4)-(H5)有

(T1u)(t)=

QG(t,s)[f(s,u(s))+e(s)]ds+

h(u(s))\\G(t,s)g(u(s))1+Qg(u(s))

aba

1

11

b

k=1

EG(t,t)I

k

p

k

(u(tk))

k1(s)ds+C(t)+Al1(u(t))

\\g1(R)1+

h1(RR)K1*+C*+Al1(RR)

g1(RR)

\\R=+u+,PtIJ,

于是PuIKH582,+T1u+\\+u+.

由引理2可得T1存在一个不动点u󰀂IKH(82\\81),且r<+󰀂u+3.应用举例

考虑如下方程:

-ucc+Mu=Lb(t)(u-A+uB)+e(t),-$uc|t=tk=Cku,

u(a)=u(b),uc(a)=uc(b),

其中A>0,0[B<1,L>0,b(t)IC[a,b],b(t)>0,tIJ,M>0,e(t)IC[a,b]且e*\\0,Ck>0,B

a[t[b,tXtk,k=1,2,,,p,

(12)

E

pk=1

Ck<1,B=

-A

coshm(b-a)/2.令f(t,u)=Lb(t)(u-A+uB)+e(t),对2msinhm(b-a)/2

B

-A

常数L>0,当P(t,u)I[a,b]@(0,L]时,

f(t,u)=Lb(t)(u

+u)+e(t)\\Lb(t)L

+e*\\Lb(t)L

-A

B=E

pk=1

Ck,则g(u)>0非增,

h(u)A+B

=u,l(u)非减,uI(0,+]).因此g(u)

p

*

AA

(H2)成立.考虑函数W(x)=因B

(x-B

k[(1-BEk=1Ck)x-C]Rxk=1Cx-C)RxE=,xI(0,+]).*A+B*A+BK(1+x)K(1+x)

*

AA

p

Epk=1

Ck<1,当B<1时W(x)在xy+]时极限为+],于是对PL>0,vr>0,使第3期陈祥平等:一类奇异脉冲微分方程周期边值问题的多解性

565

W(r)=

其中K(t)=

[(1-B

K

E*p

k=1

*AA

Ck)r-C]Rr

>L,+B(1+rA)

Q

b

G(t,s)b(s)ds,C(t)=a

Q

a

b

*

G(t,s)e(s)ds,K*,C分别是K(t),C(t)的本性上确

界.这说明(H3)成立.

条件(H1)-(H3)满足,由定理1知方程(12)对每个L>0都存在相应的一个正解uL.

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MultiplePositiveSolutionstoPeriodicBoundaryValueProblemsof

SingularImpulsiveDifferentialEquations

CHENXiang-ping1,ZHAOZeng-qin2

(1.DepartmentofMathematics,JiningUniversity,Qufu273155,China;2.Departmentof

MathematicsSciences,QufuNormalUniversity,Qufu273165,China)

Abstract:Thispaperobtainstheexistenceofmultiplepositivesolutionsforperiodicboundaryvalueproblemsofsecond-ordernonlinearimpulsivesingularequations.Theargu-mentisbasedonthenonlinearalternativeprincipleofLeray-SchaudertypeandonKrasnose-lskiifixedpointtheoremoncompressionandexpansionofcone.

Keywords:Leray-Schauderalternativeprinciple;Periodicpositivesolution;Theoremoncompressionandexpansionofcone;Impulsiveequation