２００９年第１２期 （总第１２３期） 现代企业文化 ＭＯＤＥＲＮ ＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥ ＣＵＬＴＵＢＥ ＮＯ．１２．２００９ （ＣｕｍｕｌａｔｉｖｅｔｙＮＯ．１２３） 谈有理函数不定积分的技巧 刘 杰 安徽六安２３７０１０） （六安高级技工学校， 摘要：有理函数积分过程主要是对被积函数首先进行分解， 本文对有理函数的分解给予几种解题技巧。 关键词：有理函数；积分；有理假分式；有理真分式 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４－１１４５（２００９）１２－０１９３—０２ 解：设 ｒ（ ＝ ｉｘ ２＋ ３ｘ ＋２ ＝而Ａ ＋Ｒ ）则 ｌｉｍ丝±堑± ：３ ｒ （ｘ－２）（ｘ－３） Ｒ（ ＝，（ 一丽３＝ －２ｘ ＋１６ 令 ＝ ＋ ＋ 若只（ ＝ａｏｘ”＋ｑ ＋…＋ ｘ＋ （口ｏ≠０）和 （ ＝６ｏ ＋６１ ＋ ＋ 。ｘ＋ｂ．（ｂｏ≠０）分别为ｎ次多项式和ｍ次多项式，则称函数 ａｏ￣ Ｃｎ＋ ａ ａＸｎ ｑ＋则Ｂ＝ －２ｘ ＋１６＝７ｃ＝磐丽－２ｘ＋１６＝一ｌ２， 而￣．．＋ａｎ为有理数。又在 （ 和Ｑ啊（铊间在无公 Ｄ：ｌｉｍ＝兰兰± ：５ ｒ— （ｘ－１Ｘ 一２、 因子条件下，当ｎ＜ｍ时，称这有理函数是有理真分式；当 呻寸， 称这有理函数是有理假分式。有理假分式，我们利用多项式的除 Ｐｇ１）Ｊ ｆ（ｘ）＝而３＋五７一 １２＋ ５ 法，总可以把它化成一个多项式和一个有理真分式之和的形式， 故：．Ｊｘ￣＋３ｘ＋２ ｄｘ即麦％＝ ＋ ！暑，其中ｗ（ｚ）为—个多项式， 埘＞ｋ。 由于我们对多项式的积分可以运用积分公式和积分性质直接 积分已经掌握，所以对有理函数的积分只要再会对有理真分式的 故： （ｘ－１）２（ｘ￣２）＇（ｘ－３）ｄｘ＝ＪＪ击叫 叫兰出＋丽 Ｊ 出一Ｊ ｆ熹 ＝一 ＋７ｌＩｌ １１ ｌｎ ２１＋ｓｔｎ ３１＋ｃ 技巧２：化分母有重根的有理函数为无重根的有理函数， 积分就可以了。如何求有理真分式积分，首先要将有理真分式化 再积分。ｋｅｌ－ｈ 成最简分式之和的形式，化有理真分式为最简分式，通常采用待 如：ｊ 可 ｒｘ￣＋２ｘ２＋３ｘ＋４ ； 定系数的方法。例如： ３ｘ－ｌ－（ ｌ 那么 ｘ２＋ｌ 丽（ｘ－其中Ｑ（ ＝ ’－３ｘ ＋ ＋ ，Ａｌ、Ａ’、 解：厂（ ＝ ｘ￣ ＋２ ｘ：＋ ３ｘ＋而４ ￣１）３。＋ 为待定常数，将等式两端同乘以 一１），，得 ＋ｌ＝４＋ —１）＋４ —１）ｚ 整理得 ＋１＝ ＋（ —２Ａ）ｘ＋（４ ＋ ）。由于这是恒等式，两 ｌ （ ＝ 高 ＝一一 ＋ｘＡ＋－Ｉ Ｂ＋一ｘ一则 Ｃ＋ｌ则 ３ ｌ Ａ：＋ ＝ｌ ｌｉＩｎ ± ± 三±兰：一５ ｒ （ｘ一２Ｘｘ＋Ｉ） 端ｘ的同次项系数应相等，从而有｛ —２ ＝０解此方程得Ａ３＝１， 口： 兰± ±堡！兰：堑 ｒ ２（ｘ—ＩＸｘ＋１） ２４＝２，于是原分式可分解为 兰± ：—三一＋＿—三一＋— ， 一１）２ Ｘ—Ｉ ３ ＋ —Ｉ＠一 ｃ：ｌ 因此， ± ± 苎± ： （ｘ—ｌＸｘ一２） ３ 这种方法显然有用，但系数的计算速度较慢，下面介绍一个新的 方法，即反复运用下面的定理，把有理真分式化成最简分式，使 得有理函数积分更加便利。 … ＝ ５ ＝ ［＿ ｘ－１＋ ＋ ］ 为此，我们引用如下定理：厂（ ： 项式，Ｐ（口）≠０，Ｑ（口）≠ｏ，ｎ为自然数，则厂（ Ｐ（ 和Ｑ（ 都是多 ＋．Ｒ（ ，其中 一ｉ ＝一丽５Ｘ－－＋ ３（ｘ—ｌ￣ｘ一２）３（ｘ一１Ｘｘ＋１） ＋ 聃 卜而Ａ 注： （１） （ ＝ Ｐ ）一ＡＱ（ｘ） 可以用多项式的除法得到； （２） ＝一— （ １） 十一Ｉ（ １一一— ｘ一 ６——一：ｌ２ 一十一 １Ｌ— 。一 ｘ＋１）Ｊ 所 ，（ ＝－５』志＋ ３ Ｊ ｘ－１一 』当＋ １ｊ ｄｒ— １ｊ ｄｒ ３＝ Ａ可以用下式求得，即Ａ＝ｌｉｒａｆ（ｘＸｘ一 ，我们用洛必达法则可以 求得。 ． ． Ｉ例如：厂（ ＝ ＝ ＋尺（ 则 ＝ｌｉ ａｒ ｘ－ｌ＝ Ｉｌ 一堑＋翌ｌ】ｃｌ６ ３ ｌｎｌ Ｉ一 ６ ‘ 。 ‘ ３ ‘ ＋ｃ 技巧３：应用变量替换降次，再积分。 ＝ 例如：Ｊ 解：令 则，（ｆ）＝ １＝丽１＝ １一 １ 技巧１：如果有理函数的分母有两个以上的一次因式，那么先 求出重数大的最简分式，再积分。 懒：』 即厂（功＝ １ 一 ｌ ＝ Ｉ ｉ一 １ 一 １ １９３— ２００９年第１２期 （总第１２３期） 现代企业文化 ＭＯＤＥＲＮＦ２＿ＣｒＥＲＰＲＩｂ￣ＣＵＬＴＵＲＥ ＮＯ．１２，２００９ （Ｃｕｍｕｌｇｉｆ￣＇ｅｔｙＮＯ．１２３） 计算机基础实验教学改革的实践与探讨 王敏，魏霖静 （甘肃农业大学信息科学技术学院，甘肃兰州７３００７０） 目前大学计算机基础实验教学存在着一些的不足与局限性 学面临新的挑战。文章从教师的角度出发分析大学计算机基础 为了提高计算机实验教学水平和教学质量。本文将从教师的角 实践教学中当前存在的问题，总结了已有的实践经验，并对提 度分析计算机实验教学中存在的—些问题，并提出一些建议。 摘要：随着时代的不断变化发展。大学计算机基础实验教 高计算机实验教学水平和质量的综合措施提出建议。 大学计算机基础实验教学中存在的突出问题 关键词：计算机技术；教学改革；教学水平 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４－１ １４５（２００９）１２－０１９４－０２ 我校自２００７级学生开始，按照教育部相关文件要求。把 《计算机文化基石｝Ｉｃ》课程改为《信息与计算机应用基硎嚏》，并经 过组织全体教师对教学内容进行了深入研究，编写了适合我校 的实验教材，制作了相应实验课件和实验学习网。随着教学工 随着计算机技术及其应用的飞速发展和时代对大学专业人 作的深入开展，发现存在以下问题： 才的计算机应用能力的要求，社会对人才素质的要求越来越高， １．与《计算机文化基础》相比。新实验课程进行了全面调 因此，计算机基础实验教学改革的研究具有非常重要的意义【ｌ】。 整，实验内容涉及面广，增加和强化了信息检索、网络应用基 实验教学不仅能帮助学生深刻理解和验证本学科的基本知识， 础、多媒体技术应用等方面的内容，许多知识点就是计算机专 还能提高学生分析和解决实际问题的能力，培养学生的观察、 业的一门课程，概念多，内容杂，如何深入浅出开展教学，使 判断以及实际操作能力，是培养学生实践能力和创新能力的重 学生掌握基本有实效的应用是目前愈来愈值得思考的问题。 要手段，为学生在今后从事各项工作打下初步的基础［２１。 ２．实验教学形式过于单一。在实验教学过程中没有考虑各 所以Ｊｒ — ．．： ｆ鱼Ｊ — Ｊ一 ｆ 鱼一 Ｊ一 ｒ— ＿ 一 技巧６：用定理化一次因式的最简分式，然后用多项式除法 再积分。 ｒ 去 一 ｈ ～ｘ＋ｃ 南例如：Ｊ＂（ｘ－ＩＸｘ：＋１）ｚ‘ ｔ：￣：Ｆ５４：先变量替换，然后作多项式的除法，再积分。 解：厂（ ； 丽１＝ 一 （ ＝ 刍 ∽ 一 解：令ｘｌ＝ｔ 则 南土。： ：专＋十 十专＋ 专＝寿＋而２＋而 ｉ而１ 所以』 出＝』寿＋：』 ＋ｆ志 由多项式除法。—ｘ＊ ＋２ ｘ￣－３＝ ＋ ＋３ｘ＋３ ｘｓ＋ ｘｚ ＋３ｘ＋３＝ ＋ｌ＋ ２ｘ＋ ２ １）＂－ｔ２（ｎ－１（ｘ－）￣＋！兰二！！：：：＋ｃ ＋—因此，尺（曲＝一 ｘ＋ｌ一瓣ｘ＋ｌ 所以，厂∞＝ １一 ｘ ＋ｌ 一 ｘ珂＋ｌ ｔｔ￣ｉ５：分母为４次的多项式降为二次的多项式，再积分。 例如：』 ‘６ｃ 故．ｆ． 一ｄｘ一ｔ＂ｘ＋ｌ可 １ Ｊ ｄｘ一１。 一 Ｊ ４ ＋解：厂（】。 南 ＝Ｉ了 了ｉ 一 ｌ １ｌｎ（“·）ａ～“ １ ｌｎ（ ＋１）一 一Ｈ 南一 ａ～ ＋ｃ １ 南＋ｃ 所以』南如 １南ｔ１ ｄ ｘ 参考文献 【１］陈胜敏．化有理函数为最简分式的新方法Ｄ】．教学与研 究，１９９８，（１Ｏ）． ２ ｊ Ｌ ２ ｊ＝ 一 一·ｌ－兰 １９４一 ＋１）＋ｃ
