华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

《高等数学》（下册）测试题三

一、填空题

1．若函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a5． 2．设f(x)1xedy，则f(x)dx0xy1e1． 23．设S是立方体0x,y,z1的边界外侧，则曲面积分

sx5dydzy6dzdxz7dxdy 3 ．

4．设幂级数

n0n13na(x1)ax的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为nnnn12,4．

5．微分方程y3y4yx2e4x用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形

24x式为yxaxbxce．

二、选择题

sin2(x2y2),221．函数f(x,y)xy2,x2y20,x2y20,在点(0,0)处（ D ）．

（A）无定义； （B）无极限；

（C）有极限但不连续； （D）连续． 2．设zsec(xy1)，则

z（ B ）． x（A）sec(xy1)tan(xy1)； （B）ysec(xy1)tan(xy1)； （C）ytan(xy1)； （D）ytan(xy1)．

2222223．两个圆柱体xyR，xzR公共部分的体积V为（ B ）．

22 （A）2 （C）

R0dxR2x20R2x222 （B）Rxdy；8dx022RR22RR2x20R2x222R2x2dy；

R2x2dy．

RRdxRxRxdy；4dx （D）

kRx4．若an0，Snak1n，则数列Sn有界是级数收敛的（ A ）．

1

院 系 班级 姓 名 作业编号 （A）充分必要条件； （B）充分条件，但非必要条件； （C）必要条件，但非充分条件； （D）既非充分条件，又非必要条件．

d2y5．函数yCsinx（C为任意常数）是微分方程2sinx的（ C ）．

dx（A）通解； （B）特解； （C）是解，但既非通解也非特解； （D）不是解． 三、求曲面eexzyz4上点M0(ln2,ln2,1)处的切平面和法线方程．

1y1xxyyxzzzz,e,2e2e2,2,4ln2//1,1,2ln2 解：nezzzzM0切平面为xln2yln22ln2z1xy2zln20 法线为xln2yln2四、求通过直线 L:z1

2ln2xy0的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行

xyz20于直线L1:xyz．

解：设过直线L的平面束为xyz2xy0, 即1x1yz20,n1,1,1 第一个平面平行于直线L1:xyz，

即有ns11,1,11,1,1210,从而第一个平面为11 211x1yz20,x3y2z4,n1,3,2 123第二个平面要与第一个平面垂直，

也即n1n1,3,21,1,11332260,3 从而第二个平面为4x2yz20

五、求微分方程y4y3y0的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线

2x2y40相切．

解：直线2x2y40为yx2,k1，从而有定解条件y01,y02， 特征方程为r4r30,r3r10,r13,r21

22

院 系 班级 姓 名 作业编号 方程通解为yc1e3xc2ex，由定解的初值条件c1c22

y3c1e3xc2ex，由定解的初值条件3c1c21

从而c11515,c2，特解为ye3xex 2222六、设函数f(u)有二阶连续导数，而函数zf(exsiny)满足方程

2z2z2x ze22xy试求出函数f(u)．

2z2zxfuesiny,2fuexsinyfuexsiny 解：因为xx2z2zxfuecosy,2fuexcosyfuex(siny) yy2z2z2fue2xf(u)e2x,fuf(u)0 2xy特征方程为r10,r,r21,fuc1ec2e 112uu七、计算曲面积分

222(xycosyxcoszcos)dS， 其中是球体x2y2z22z与锥体zx2y2的公共部分的表面，

cos，cos，cos是其外法线方向的方向余弦．

222x2y21xyz2z22z2z,z10,z21,解：两表面的交线为

22z1zxy原式x2y22zdv，投影域为D:x2y21，

用柱坐标:02,0r1,rz11r2 2原式1drdrr00r111r222zdz2rrzz201211r2rdr

2rr211r2r11r20

rdr

223

院 系 班级 姓 名 作业编号

311t231t2dt22rr3r4dr

005321121t231t22r2r4r5

3450501111112721180221

10105455另解：用球坐标:02,0242cos4,02cos

原式4dd002cos02sin22cos2sind

2d004sin323cossind

252cos5cos723cos5dcos

5049tt89742ttdt165556582211221316t6t810101 2227 10八、试将函数f(x)x0etdt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并

2指出其收敛区间）． 解：f(x)nx0etdt2x01n2ntdt n=0n!1x2n1,x,

n!2n1n=0九、判断级数

n(0,0)的敛散性．

n1nun1n1nlimn 解：limnunn1n当01,1，级数收敛；当1,1，级数发散； 当1,1时级数收敛；当1,01时级数发散

4

院 系 班级 姓 名 作业编号 十、计算曲线积分

L(1xe2y)dx(x2e2y1)dy，其中L为(x2)2y24在第

一象限内逆时针方向的半圆弧．

解：再取L1:y0,x:04，围成半圆的正向边界 则 原式LL1(1xe2y)dx(x2e2y1)dy

L110dxdy1xdxxx212

20D044x2z22y1到平面：2x2yz50的最短距离． 十一、求曲面S：24解：问题即求d2x2yz412x2z22y1下的最小值 在约束242x2z22y1下的最小值点 可先求fx,y,z9d2x2yz5在约束24x2z22取Lx,y,z2x2yz5y1

242Lx42x2yz5x0,Ly42x2yz52y0,

zx2z22Lz22x2yz50,y1

2240时x2yz,4y21,y,xz1，

11211521151d1,,13,d1,,1

32332这也说明了0是不可能的，因为平面与曲面最小距离为

121。 3 5