河曲县高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

河曲县高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 抛物线y=x2的焦点坐标为（ ） A．（0，

）

B．（

，0）

C．（0，4） D．（0，2）

2． 已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A．15π B．

C．

π

D．6π

C．

+x）=（ ） D．

3． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ） A．0

B．

D．1

4． 已知tanx=，则sin2（A．

B．

C．

5． 在等比数列{an}中，已知a1=9，q=﹣，an=，则n=（ ） A．4

B．5

C．6

2D．7

1,x6． 记集合A=(x,y)x+y?1和集合B=(x,y)x+y３{2}{0,y?0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，

若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（ ） A．

1112 B． C． D．

3p2ppp【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

7． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（ ） A．{5，8} A．30° A．

B．B．{7，9}

C．{0，1，3}

D．{2，4，6} ，则∠C=（ ） C．45°

D．

D．135°

8． 在△ABC中，已知

B．150° C．

9． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ） 10．cos80cos130sin100sin130等于（ ） A．3311 B． C． D． 2222第 1 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

11．如果双曲线经过点P（2，A．x2﹣

=1 B．

﹣

），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（ ） =1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

12．已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+A．

B．

C．

D．

）等于（ ）

二、填空题

13．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值． 14．计算：

1

×5﹣= ．

15．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ． 16．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是 ．

17．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程

=0.7x+

，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修

费用约为 万元．

18．抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4，则点M的横坐标x= ．

三、解答题

19．已知曲线f(x)ex平行．

（1）讨论yf(x)的单调性；

（2）若kf(s)tlnt在s(0,)，t(1,e]上恒成立，求实数的取值范围．

212（x0，a0）在x1处的切线与直线(e1)xy20160 ax第 2 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

20．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

234，，，且各轮考核通过与否相互。 345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点． （Ⅰ）证明：AC⊥D1E；

（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

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22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E． （Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC （Ⅱ）求AD•AE的值．

23．已知函数

．

（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

24．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为 （1）求|MF|+|NF|的值；

，

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（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．

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河曲县高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y， ∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D．

【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．

2． 【答案】A

【解析】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=R2=x2+（∴x=

2∴R=

2

）=（

2

﹣x）+（

2），

，EF=

∴球的表面积为15π． 故选：A．

【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．

3． 【答案】C 【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15° =cos（45°﹣15°） =cos30° =

．

故选：C．

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【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

4． 【答案】D

【解析】解：tanx=，则sin（

2

+x）===+

=+故选：D．

=+=，

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．

5． 【答案】B

【解析】解：由等比数列的性质可知，∴∴n=5 故选B

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础试题

6． 【答案】A

OAB及其内部，【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示D11由几何概型得点M落在区域Ω2内的概率为P=2=，故选A.

p2py1BOA1x

7． 【答案】B

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【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，

所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}， 所以（CUA）∩（CUB）={7，9} 故选B

8． 【答案】C

222

【解析】解：∵a+b=c+∴由余弦定理得：cosC=∴∠C=45°． 故选：C．

ba，即a2+b2﹣c2=

=

，

ab，

【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

9． 【答案】C

【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C

10．【答案】D 【解析】

a，半径为：

a，

试题分析：原式cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30 3． 2考点：余弦的两角和公式. 11．【答案】B

【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，

22

可设双曲线的方程为x﹣y=λ（λ≠0），

代入点P（2，λ=4﹣2=2，

），可得

22

可得双曲线的方程为x﹣y=2，

即为﹣=1．

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故选：B．

12．【答案】B

【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=， 则

=，又sin2α+cos2α=1，

解得sinα=，cosα=（负值舍去）． 则cos（α+故选B．

【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．

）=cos

cosα﹣sin

sinα=

×（﹣）=

．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．① 将①与拋物线x2＝2py联立得， x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2）， ∴kPQ＝

2p（－k－t）2－2p（k－t）22p（－k－t）－2p（k－t）

＝－2t，

即直线PQ的斜率为－2t.

x2x

（2）由y＝得y′＝，

2pp

2pt

∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝＝2t.

p其切线方程为y－2pt2＝2t（x－2pt）， 又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0， p

－）． 2p

∴－－2pt2＝2t（－2pt）．

2

11

解得t＝±，即t的值为±.

2214．【答案】 9 ．

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【解析】解：

1×5﹣=

×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，

∴

故答案为：9．

15．【答案】

【解析】解：ρ=∴点P的极坐标为故答案为：

16．【答案】 20 ．

1

×5﹣=9，

． =． ．

，tanθ=

=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=

．

26

【解析】解：（1+x）（x+）的展开式中，

x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；

26

又（x+）的展开式中，

通项公式为 Tr+1=•x12﹣3r，

令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意； 令12﹣3r=2，解得r=

3

，不合题意，舍去；

=20．

所以展开式中x的系数是

故答案为：20．

17．【答案】 7.5

【解析】解：∵由表格可知=9， =4， ∴这组数据的样本中心点是（9，4）， 根据样本中心点在线性回归直线∴4=0.7×9+

，

=0.7x+

上，

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∴=﹣2.3，

=0.7x﹣2.3，

∴这组数据对应的线性回归方程是∵x=14， ∴

=7.5，

故答案为：7.5

【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．

18．【答案】 3 ．

2

【解析】解：∵抛物线y=4x=2px， ∴p=2，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=4=x+=4， ∴x=3， 故答案为：3．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

三、解答题

19．【答案】（1）f(x)在(,)，(,)上单调递增，在(,0)，(0,)上单调递减；（2）[,). 【解析】

1e1e1e1e121e21，∴a1， a11e2x2122由f(x)ex，可得f'(x)e2，

xxx2试题解析：（1）由条件可得f'(1)e2

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e2x210,11由f'(x)0，可得解得x或x；

eex0,e2x210,11由f'(x)0，可得解得x0或0x．

eex0,1111所以f(x)在(,)，(,)上单调递增，在(,0)，(0,)上单调递减．

eeee（2）令g(t)tlnt，当s(0,)，t(1,e]时，f(s)0，g(t)tlnt0，

tlnt由kf(s)tlnt，可得k在x(0,)，t(1,e]时恒成立，

f(s)tlntg(t)即kf(s)，故只需求出f(s)的最小值和g(t)的最大值．

f(s)maxmax11由（1）可知，f(s)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增，

ee1故f(s)的最小值为f()2e，

e由g(t)tlnt可得g'(t)lnt10在区间(1,e]上恒成立， 所以g(t)在(1,e]上的最大值为g(e)elnee，

e1， 所以只需k2e21所以实数的取值范围是[,).

2考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的

范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.

20．【答案】（1）（2）X的分布列为数学期望为E(X)025

11124700100020003000-- 361053解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝

2342 3455第 12 页，共 16 页

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所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

2-------------4分 5（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

212312341，P(X1000)(1)，P(X2000)(1) 33346345102342P(X3000)------------------9分

3455P(X0)1所以，X的分布列为数学期望为E(X)021．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：连接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分 在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分 又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分 而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分

11124700100020003000---------------------12分 361053 （Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），∴

设平面AD1E的法向量为令z=1，则∴

∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为

…9分 ，则

…7分

…8分

，即

…5分

（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E． 设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则∵BP∥平面AD1E ∴

，即

，

，…12分

∴2（t﹣1）+1=0，解得

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∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．

22．【答案】

【解析】（1）证明：∵PA为圆O的切线， ∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角， ∴△PAB∽△PCA， ∴

，

∴AB•PC=PA•AC．…

（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，

2

∴PA=PB•PC，

∴PC=40，BC=30，

222

又∵∠CAB=90°，∴AC+AB=BC=900，

又由（1）知∴AC=12

，AB=6

， ，

连接EC，则∠CAE=∠EAB， ∴△ACE∽△ADB，∴∴

，

．

【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．

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23．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=

．

≥0在[1，+∞）上恒成立．

要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需结合a＞0可知，只需a易知，此时

，x∈[1，+∞）即可．

=1，所以只需a≥1即可．

=0得

．

（2）结合（1），令f′（x）=

当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0； 当

时，

，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上递减，在

上f′（x）＞0，

所以此时f（x）在当

时，

上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；

，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，

．

所以f（x）min=f（e）=

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．

24．【答案】

【解析】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+， ∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；

2

（2）p=2时，y=4x，

若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；

若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则

22

代入利用点差法，可得y1﹣y2=4（x1﹣x2）

∴kMN=，

∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3）， ∴B的横坐标为x=3﹣

，

222

直线MN代入y=4x，可得y﹣2ty+2t﹣12=0

△＞0可得0＜t＜12，

2

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∴x=3﹣∈（﹣3，3），

∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．

【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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