胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案

1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。

解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成； 受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程

扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。 给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值 参考输入即为给定值。

反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。

2 请说明自动控制系统的基本组成部分。

解： 作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成： ① 被控对象： 所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；

② 执行部件： 根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常

用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。

③ 给定元件： 给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；

④ 比较元件： 把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值

进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。

⑤ 测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量

是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；

⑥ 放大元件： 将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被

控对象。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。

⑦ 校正元件： 亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反

馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。

3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？

解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；

开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；

闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。 4 请说明自动控制系统的基本性能要求。

解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。

（2）准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。 （3）快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。

2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中f为黏性摩擦系数，k为弹簧系数，系统的输入量为力p(t)，系统的输出量为质量m的位移x(t)。试列出系统的

图2-1 习题2-1 质量－弹簧－摩擦系统示意图

输入输出微分方程。

解：显然，系统的摩擦力为fdx(t)，弹簧力为kx(t)，根据牛顿第二运动定律有 dtdx(t)d2x(t)p(t)fkx(t)m

dtdt2移项整理，得系统的微分方程为

d2x(t)dx(t)mfkx(t)p(t) 2dtdt

2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分

方程。

解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得

k[yd2y1dy22(t)y1(t)]M1dt2k1y1f1dtF

整理得

Md2y1dy11dt2fdt(k1k2)y1(t)Fk2y2(t)

2-3 求下列函数的拉氏变换。 （1）f(t)3(1sint) （2）f(t)teat （3）f(t)cos(3t4)

解：（1）L[f(t)]L[3(1sint)]

3(L[1]L[sint])3(11ss21) 3(s2s1)s(s21)（2）f(t)teat

L[t]1s2 L[f(t)]L[teat]1(sa)2

（3）f(t)cos(3t24)2[sin(3t)cos(3t)] L[f(t)]22[sin(3t)cos(3t)]

图2-2 习题2-2 机械系统示意图

2(L[sin(3t)]L[cos(3t)])223s(22) 2s9s92s32s29

2-4 求下列函数的拉氏反变换 （1）F(s)s1

(s2)(s5)s6 s2(s3)（2）F(s)2s25s1（3）F(s)

s(s21)解：（1）F(s)s112

(s2)(s5)s2s5L1[F(s)]L1[12] s2s512]2L1[]s2s5 2e5tL1[e2t（2）F(s)s6211

s2(s3)s2ss3L1[F(s)]L1[211] s2ss311111]L[]L[]2sss3 2t1e3t2L1[2s25s11s52（3）F(s)

s(s21)ss11s5L1[F(s)]L1[2]

ss11s5L1[]L1[2]ss1 1cost5sint

2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容C上的电压为uc(t)，电容C1上的电压为uc1(t)，以此类推）。

+uc(t)C－+uc1(t)C1－+uR1(t)－R1R1uiR2uouiR+uc2(t)－C2RuouiC+uc1(t)－C－uc2(t)+R2uo(a)(b)

(c)

图2-3 习题2-5 无源网络示意图

解：（a）设电容C上电压为uc(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

uc(t)ui(t)uo(t)Cduc(t)uc(t)uo(t)

dtR1R2整理得输入输出关系的微分方程为

Cduo(t)du(t)u(t)11()uo(t)Cii dtR1R2dtR1（b）设电容C1、C2上电压为uc1(t),uc2(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

uc1(t)ui(t)uo(t)ui(t)uc2(t)uo(t)uc2(t)du(t)C2c2

RRdtdu(t)uo(t)uc2(t)RC1c1dt整理得输入输出关系的微分方程为

d2uo(t)duo(t)uo(t)d2ui(t)dui(t)ui(t)RC1C2(2CC)RCC2C 12121dt2dtRdt2dtR（c）设电阻R2上电压为uR2(t)，两电容上电压为uc1(t),uc2(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

uc1(t)ui(t)uR2(t) （1） uc2(t)uo(t)uR2(t) （2）

Cduc1(t)du(t)u(t)Cc2R2 （3） dtdtR2ui(t)uo(t)du(t)Cc2 （4）

R1dt（2）代入（4）并整理得

duR2(t)duo(t)ui(t)uo(t) （5） dtdtR1C（1）、（2）代入（3）并整理得

Cdui(t)du(t)du(t)u(t)Co2CR2R2 dtdtdtR2两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为

d2uo(t)duo(t)uo(t)d2ui(t)11dui(t)ui(t) R2C(1)RC2dt2R1CdtR1Cdt2R1CdtR1C

2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。

+Uc(s)－C+Uc1(s)－C1R1+Uc1(s)－－Uc2(s)+R1Ui(s)R2Uo(s)RUi(s)+Uc2(s)－C2RUo(s)Ui(s)C+UR2(s)－CR2Uo(s)(a)(b)(c) 图2-4 习题2-6示意图 解：（a）由图得

CsUC(s)UC(s)Uo(s) （1） R1R2UC(s)Ui(s)Uo(s) （2）

（2）代入（1），整理得传递函数为

U(s)Cs1oUR1R1R2CsR2i(s)Cs1

1R1R2CsR1R2R1R2（b）由图得

UC1(s)Ui(s)Uo(s) Ui(s)UC2(s)RUo(s)UC2(s)RC2sUC2(s) RC1sUC1(s)Uo(s)UC2(s)

整理得传递函数为

RC1U1so(s)RC2s2R2C1C2s22RC1s1U)1R2C i(sRC1sRC2s1C2s2Rs(2C1C2)1RC2s2（c）由图得

UC1(s)Ui(s)UR2(s) UC2(s)Uo(s)UR2(s) CsUC1(s)CsUC2(s)UR2(s)R 2Ui(s)Uo(s)RCsUC2(s) 1整理得传递函数为

1）

2）

1） 2）

3） 4）

（（（（（（Uo(s)R1R2C2s2R1Cs 22211Ui(s)CsR1R2Cs(R12R2)Cs1R1R2R1R2CsCs1R2

图2-5 习题2-7 无源网络示意图

2-7 求图2-5中无源网络的传递函数。 解：由图得

U1(s)U2(s)1(Cs)U2(s)

R1R2Ls整理得

1R1U2(s)R2Ls U1(s)Cs11R1CLs2(R1R2CL)sR1R2R1R2Ls

2-8 试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。 解：（a）

⑴求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图：

图2-6 习题2-8 系统结构图示意图

① 令N(s)0，利用反馈运算简化如图2-8a所示

R(S)－G11G1H1G21G2H2H3图2-8a C(S)

②串联等效如图2-8b所示

R(S)－G1G21G1H11G2H2C(S)H3 图2-8b

③根据反馈运算可得传递函数

G1G2C(s)G1G21G1H11G2H2

G2R(s)1G1(1GH)(1GH)GGH1122123H31G1H11G2H2G1G2

1G1H1G2H2G1H1G2H2G1G2H3⑵求传递函数C(s)/N(s)，按下列步骤简化结构图：

①令R(s)0，重画系统结构图如图2-8c所示

H2N(S)H1－－H3G1+++C(S)G2 图2-8c

② 将H3输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示

N(S)-H1+G1+G21G2H2C(S)H3/H1 图2-9d

③G1和H1串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示

-1/G1H1N(S)+H3/H1-G1H1G21G2H2C(S) 图2-8e

④串并联合并如图2-8f所示

N(S)11G1H1+G1G2H11G2H2H3/H1图2-8f C(S) ⑤根据反馈和串联运算，得传递函数

G1G2H1C(s)11G2H2(1)

GGHHN(s)G1H1112131G2H2H1G1H11G1G2H1 G1H11G2H2G1G2H3G2G1G2H11G2H2G1G2H3

（b）求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图： ①将H2的引出端前移如图2-8g所示

H2R(S)－H1G1－G21/G3C(S)－G3H3 图2-8g ②合并反馈、串联如图2-8h所示

H2/G3R(S)－H1 图2-8h G1－G2G31G3H3C(S)

③ 将H1的引出端前移如图2-8i所示

H2/G3R(S)－H1G1－G2G31G3H31G3H3G2G3C(S) 图2-8i ④ 合并反馈及串联如图2-8j所示

R(S)－G1G2G31G2H2G3H3C(S)1G3H3H1G2G3 图2-8j ⑤根据反馈运算得传递函数

G1G2G3C(s)1G2H2G3H3

G1G2G31G3H3R(s)1H11G2H2G3H3G2G3G1G2G3

1G1HG2H2G3H3G1H1G3H32-9 试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。

习题2-4 无源网络示意图

图2-7 习题2-9 系统结构图示意图

解：求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图： ① 将H1的引出端前移如图2-9a所示

H1－G1－G2－1/G4R(S)G3G4C(S)H2H3 图2-9a

② 合并反馈及串联如图2-9b所示

H1/G4－G1－R(S)G2G3G41G3G4H2C(S)H3 图2-9b ③ 合并反馈、串联如图2-9c所示

R(S)－G1G2G3G41G2G3H1G3G4H2C(S)H3 图2-9c

④根据反馈运算，得传递函数

G1G2G3G4C(s)G1G2G3G41G2G3H1G3G4H2

GGGGR(s)11234H31G2G3H1G3G4H2G1G2G3G4H31G2G3H1G3G4H22-10 根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求

系统传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。

解：（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10a所示。

-H1R(S)1G1N(S)1H2G21C(S)-H3 （1）令N(s)0，求系统传递函数C(s)/R(s)

由信号流图2-10a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为

p1G1G2

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

L1G1H1，L2G2H2，L3G1G2H3 L1与L2互不接触

L12G1H1G2H2

流图特征式

1(L1L2L3)L121G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

11

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

C(s)p11G1G2R(s)1G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2

（2）令R(s)0，求系统传递函数C(s)/N(s)

由信号流图2-10a可见，从源节点N(s)到阱节点C(s)之间，有两条前向通路，其增益为

p1G2，p2G1G2H1

有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

L1G2H2，L2G1G2H3

没有互不接触的回路，所以流图特征式为

1(L1L2)1G2H2G1G2H3

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

11，21

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

C(s)12G2G1G2H1pii R(s)i11G2H2G1G2H3（b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。

-H2R(S)1G11G21G31C(S)-H1-H3 图2-10b

求系统传递函数C(s)/R(s)

由信号流图2-10b可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为

p1G1G2G3

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

L1G1H1，L2G2H2，L3G3H3 L1与L3互不接触

L13G1G3H1H3

流图特征式为

1(L1L2L3)L131G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

11

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

C(s)p11G1G2G3 R(s)1G1H1G2H2G3H3G1G3H1H32-11 根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求

系统传递函数C(s)/R(s)。

解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-11a所示

-H1R(S)1G1G2G3G41C(S)-H2-H3 图2-11a 由信号流图2-11a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为

p1G1G2G3G4

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

L1G2G3H1，L2G3G4H2，L3G1G2G3G4H3

没有互不接触回路。因此，流图特征式

1(L1L2L3)1G2G3H1G3G4H2G1G2G3G4H3

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

11

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

C(s)p11G1G2G3G4 R(s)1G2G3H1G3G4H2G1G2G3G4H3

3-2 已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：

（1）k(t)0.0125e1.25t； （2）k(t)5t10sin(4t45)； （3）k(t)0.1(1et3)。 解：

（1）(s)L[k(t)]0.0125

s1.2510(sin4tcos4t)] 2（2）(s)L[k(t)]L[5t s52() s2s242s242 5(231422ss1)1616 2ss2(1)16111（3）(s)L[k(t)]0.1[ ]1ss10s(3s1)3

3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t)1012.5e1.2tsin(1.6t53.1)，试求系

统的超调量%，峰值时间tp和调节时间ts。 解：

h(t)1012.5e1.2tsin(1.6t53.1) ＝10[11.25e1.2tsin(1.6t53.1)]

由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。

由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为

h(t)1112entsin(n12t)

n1.2所以有 1121.25

211.6n0.6解上述方程组，得

n2所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下 超调量 %e峰值时间 tp12100%e0.61.25100%9.5%

n1220.81.96s

调节时间 ts

3.5n3.52.92 20.63-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)跃输入下的动态性能。 解题过程：

由题意可得系统得闭环传递函数为

0.4s1，试求系统在单位阶

s(s0.6)2G(s)0.4s1nsa (s)2221G(s)ss1as2dnsn其中a2,n1,dn2z0.5,z2.5。这是一个比例－微分控制二阶系统。

比例－微分控制二阶系统的单位阶跃响应为 h(t)1redntsin(n1d2t) 故显然有 r2z22dnnz1d22 3n1d21d2)arctan1.686 arctan(zdnd darctan1d2d31.047

此系统得动态性能指标为 峰值时间 tpdn12d2d3.155

dtp21n超调量 %r1e16.2%

1123ln(z22nnn)lnzln(1d2)225.134 调节时间 tsdn

3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为h(t)10.2e60t1.2e10t，试确定系统的阻

尼比和自然频率n。 解：

系统的单位脉冲响应为k(t)h(t)12e60t12e10t12(e10te60t) 系统的闭环传递函数为(s)L[k(t)]12(自然频率 n60024.5 阻尼比 

3-6 已知系统特征方程为3s410s35s2s20，试用劳斯稳定判据和赫尔维

茨稳定判据确定系统的稳定性。 解：

先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下

s4 3 5 2s3 10 147s2 2

10153s1 47s0 2701.429

2600•11600 )2s10s60s10s600显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在s右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。

再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则

2a1a2a0a310531470

a12a41022 2002

a31显然，此系统不稳定。

3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)K，试应2(s2)(s4)(s6s25)用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。 解：

由题得，特征方程是s412s369s2198s200K0 列劳斯表

s4 1 69 200+K s3 12 198 s2 52.5 200+K s1 7995-12K s0 200+K

由题意，令s1所在行为零得K666.25 由s2行得 52.5s2200666.250

解之得 s4.062i，所以振荡角频率为 4.062rad/s

3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)系统稳定时的K值范围。 解：

由题可知系统的特征方程为

D(s)s43s34s2(2K)s2K0

K(0.5s1)，试确定2s(s1)(0.5ss1)列劳斯表如下

s4 1 4 s3 3 2+K10-K 2K 3(10-K)(2+K)6K13s 10-K3s0 2K s2 由劳斯稳定判据可得

10K30[(10K)(2K)/3]6K0 (10K)/32K0

解上述方程组可得 0K1.705

3-9系统结构如图3-1所示，G(s)K，定义误差e(t)r(t)c(t)，

s(Ts1)(1) 若希望图a中，系统所有的特征根位于s平面上s2的左侧，且阻尼

比为0.5，求满足条件的K,T的取值范围。 (2) 求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。

(3) 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所

示，试求出合适的K0值。

(a) (b)

解：（1）闭环传递函数为(s)KTs2sKK/T

1Ks2sTT即nK111,2n,0.5n,K TTTTD(s)Ts2sK,令s's2，代入上式得，

D'(s)T(s'2)2s'2KTs'2(4T1)s'4T1/T20

列出劳斯表，

s2 T 4T+1T2 s1 1-4T s0 4T+1T2

T0,14T0,4T1/T200T1/4 或T0,14T0,4T1/T20无解

0T1/4,4K

(2) R(t)t，系统为I型系统 ∴ess1/K (3) G'(s)(K0s1)KKsKK20

s(Ts1)KTssKTs1KK01Ts2(1KK0)s E(s)R(s)C(s)R(s)[1G'(s)]222sTssKs(TssK)令esslimsE(s)lims0Ts1KK01KK00K01/K

s0Ts2sKKK0并没有改变系统的稳定性。

3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数： （1）G(s)100；

(0.1s1)(s5)50

s(0.1s1)(s5)（2）G(s)试求输入分别为r(t)2t和r(t)22tt2时，系统的稳态误差。 解： （1）G(s)10020

(0.1s1)(s5)(0.1s1)(0.2s1)由上式可知，该系统是0型系统，且K20。

11,,。根据线性0型系统在1(t),t,t2信号作用下的稳态误差分别为：

21K叠加原理有该系统在输入为r(t)2t时的稳态误差为ess22•，该系统在输入为r(t)22tt2时的稳态误差为ess22• （2） G(s)12• 1K5010

s(0.1s1)(s5)s(0.1s1)(0.2s1)由上式可知，该系统是型系统，且K10。

11根据线性叠加型系统在1(t),t,t2信号作用下的稳态误差分别为：0,,。K21原理有该系统在输入为r(t)2t时的稳态误差为ess22•0.2，该系统在输入

K1为r(t)22tt2时的稳态误差为ess2202

K

3-11已知闭环传递函数的一般形式为

bmsmbm1sm1b1sb0G(s) (s)nn11G(s)H(s)san1sa1sa0误差定义为e(t)r(t)c(t)。试证，

（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

(s)a0

snan1sn1a1sa0（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

(s)a1sa0 nn1san1sa1sa0（3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件 （4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系 解：（1）(s)a0 nn1san1sa1sa0 E(s)R(s)C(s)R(s)[1(s)]

snan1sn1a1s1 •n

ssan1sn1a1sa0sn1an1sn2a1 n n1san1sa1sa0 满足终值定理的条件，

snan1sn1a1s e()limsE(s)limn0 n1s0s0saa1sa0n1s 即证 （2）(s)a1sa0 nn1san1sa1sa0 E(s)R(s)C(s)R(s)[1(s)]

snan1sn1a2s21 2•n n1ssan1sa1sa0sn1an1sn2a2 n n1san1sa1sa0 满足终值定理的条件，

snasn1as e()lims0sE(s)limn12s0snan1n1sa0 1sa0 即证

(3) 对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为

(s)a2s2a1sa0snan1 n1sa1sa0同理可证

（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。 3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

（1）G(s)50(0.1s1)(2s1)；

（2）G(s)Ks(s24s200)； （3）G(s)10(2s1)(4s1)s2(s22s10)

试求位置误差系数Kp，速度误差系数Kv，加速度误差系数Ka。解：

（1） 此系统是一个0型系统，且K20。故查表可得KpK10，Ka0

（2） 根据误差系数的定义式可得

KKplims0G(s)H(s)lims0s(s24s200) KKvlims0s•G(s)H(s)lims0s•s(s24s200)K200

Klims0s2G(s)H(s)limKas0s2s(s24s200)0（3） 根据误差系数的定义式可得

Kv0，

10(2s1)(4s1)s0s0s2(s22s10)10(2s1)(4s1)Kvlims•G(s)H(s)lims•22

s0s0s(s2s10)10(2s1)(4s1)Kalims2G(s)H(s)lims2221s0s0s(s2s10)KplimG(s)H(s)lim

3-13设单位反馈系统的开环传递函数 G(s)K0•Km1•

Tfs1s(Tms1)i•Kf 输入信号为 r(t)(abt)•1(t)

其中K0, Km, Kf, i, Tf, Tm均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差ess<0, 其中00, 试求系统各参数满足的条件。 解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为

TfTms3(TfTm)s2sK0

式中，KK0KfKm/i,为系统的开环增益，各参数满足： K0, (TfTm)KTmTf0 即稳定条件为 0KTfTm TfTm由于本例是I型系统，其Kp, KvK,故在r(t)(abt)•1(t)作用下，其稳态误差

essbb 0 必有 K0K于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之

间的条件为

b0K0KfKm/iTfTmTfTm

3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)1Ts。试用动态误差系数法求出

当输入信号分别为r(t)t22时，系统的稳态误差。 解：

系统的误差传递函数为

e(s)E(s)1TsTs(Ts)2(Ts)3(Ts)4R(s)1G(s)1Ts

所以有E(s)e(s)•R(s)Ts•R(s)(Ts)2•R(s)(Ts)3•R(s)(Ts)4•R(s)对上式进行拉氏反变换可得

e(t)Tr(t)Tr(t)Tr(t)T4r(4)(t)•2••3••• （1）

当r(t)t22时，显然有

r(t)t r(t)1•••

r(t)r(4)(t)•••0T(tT)

将上述三式代入（1）式，可得e(t)T•tT2•1T3•0T4•0系统的稳态误差为esslime(t)limT(tT)

tt

3-15 假设可用传送函数

C(s)1描述温度计的特性，现在用温度计测量盛R(s)Ts1在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的98%的数值。如果给容器加热，使水温依10/min的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大? 解：

由题意，该一阶系统得调整时间ts1min，但ts4T，所以T0.25min。

系统输入为r(t)10t，可推得R(s)因此可得 C(s)10 s2110R(s)2 Ts1s(Ts1) c(t)10t10T10TetT

c(t)的稳态分量为css(t)10t10T

稳态误差为 ess(t)r(t)css(t)10T100.252.5 所以，稳态误差为2.5C

3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差E(s)在输入端定义，扰动输入

n(t)21(t).

(1) 试求K40时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。 (2) 若K20, 其结果又如何？

1(3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节，对其结果有何影响？

s1在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节，对其结果又有何影响？

s

图3-2 习题 3-16 示意图

解：令G1K1 ，G2，H2.5

0.05s1s5则C(s)G2N(s)G1G2E(s) 代入E(s)R(s)HC(s)

得 C(s)G2G1G2N(s)R(s)

1G1G2H1G1G2H令R(s)0，得扰动作用下的输出表达式： Cn(s)G2N(s)

1G1G2HG2HN(s)

1G1G2H此时的误差表达式为：En(s)R(s)HCn(s)若在s 右半平面上解析，则有 essnlimsEn(s)lims0G2HsN(s)

s01GGH12在扰动输入下的稳态输出为 Cn()limsCn(s)lims0G2sN(s)

s01GGH12代入N(s),G1,G2,H的表达式，可得

15 ,essn12.5K12.5K25（1） 当K40时，cn() ,essn10110125（2） 当K20时，cn(),essn

5151 cn() 可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。

（3） 若1s加在扰动之前，则 G1K1 G2 H2.5

s(0.05s1)s5 得 cn()0,essn0 若1s加在扰动之后，则 G11K G2 H2.5

(s5)0.05s1 cn() essn20.02(K40),0.04(K20) 2.5K50.05(K40),0.1(K20)

2.5K 可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。

3-17 设随动系统的微分方程为：

d3c(t)d2c(t)dc(t)TmTaTmKc(t)Kr(t) 32dtdtdt 其中，c(t)为系统输出量，r(t)为系统输入量，Tm为电动机机电时间常数，

Ta为电动机电磁时间常数，K为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论：

（1） Ta、Tm与K之间关系对系统稳定性的影响

（2） 当Ta0.01, Tm0.1, K500时，可否忽略Ta的影响？在什么影响下Ta的影响可以忽略？

解：（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程

TmTas3Tms2sK0

当 TmTa K均为正值时，且有 D2Tm(1TaK)0

即 0K1Ta 时 闭环系统稳定。

（2）由于Ta0.01，因此只有当0K100

闭环系统才稳定，显然，对于K500, 闭环不稳定。此时若略去Ta, 闭环特征方程为

Tms2sK0.1s2s5000

上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果 K100。如果K100，则略去Ta不会影响闭环稳定性。

对于本例，当K1Ta时，不能忽略Ta对稳定性的影响，否则可以忽略。 3-18 设计题

飞机的自动控制，是一个需要多变量反馈方式的例子。在该系统中，飞机的飞行姿态由三组翼面决定，分别是：升降舵，方向舵和副翼，如附图3-3(a)所示。飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。

这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控

图3-3（a） 飞机副翼模型图

制倾角，只要使副翼表面产生一个的变形，气压在这些表面上会产生一个扭

1矩，使飞机产生侧滚。飞机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为。

s测量实际的倾角，并与输入设定值进行比较，其差值被用来驱动液压操纵杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。

图3-3（b） 飞机控制倾角结构图

为简单化起见，这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关，其结构图如图3-3(b)所示，又假定K11，且角速率由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量%10%，调节时间(以2%的标准)ts9s，试选择合适的Ka和K2值。 解：

由于过阻尼响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，在本题中0,1欠阻尼

G(s)1KaKa2

ss1K2Kas(K2Ka1)sKa 2s(K2Ka1)sKa(s)因此，

2nKa 2nK2Ka1计算可得

nKaK2Ka1 2Ka又因，%e12100%，ts3.5n9

由题计算可得0.59，n0.659

故Ka0.4,K20.634

图4-1 习题4-1系统零极点分布图

4-1 已知系统开环零极点分布如图4-1所示，试绘制相应的根轨迹图。 解：

j0j0(b)j0(d)(e)图4-1a根轨迹图 j0(c)(a)j0(f)j0 （a）根轨迹的渐近线条数为nm0 （b）根轨迹的渐近线条数为nm0

（c）根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾斜角为160，2180，

3240

（d）根轨迹的渐近线条数为nm0 （e）根轨迹的渐近线条数为nm0

（f）根轨迹的渐近线条数为nm1，渐近线的倾斜角为180

4-2 已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为：

(1) G(s)K(s1)KG(s) (2)

s(s1)(s2)(s5)s2(s2)(s4)KK(s1)G(s) (4) 22s(s4)(s4s20)s(s1)(s4s16)(3) G(s)K0，画出各系统的根轨迹图。 解：（1）按下列步骤绘制根轨迹：

① 系统开环有限零点为z11；开环有限极点为p1,20,p32,p44 ②实轴上的根轨迹区间为,4,2,1

③根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为

160，2180，360

渐近线与实轴的交点为

apzii1i1nminm5

3闭环系统根轨迹如下图4-2a所示

j-4-2-10 图4-2a 闭环系统根轨迹图 （2）按下列步骤绘制根轨迹：

①系统没有开环有限零点；开环有限极点为p10,p21,p32,p45 ②实轴上的根轨迹区间为5,2,1,0

③根轨迹的渐近线条数为nm4，渐近线的倾角为

145，2135，3135，445

渐近线与实轴的交点为

a④分离点方程为

pzii1i1nminm2

11110 dd1d2d5解得分离点d14.06,d20.40 闭环系统根轨迹如下图4-2b所示

j-5-2-10 图4-2b

（3）按下列步骤绘制根轨迹：

①系统没有开环有限零点；开环有限极点为p10,p24,p3,42j4 ② 实轴上根轨迹区间为4,0

③ 根轨迹的渐近线条数为nm4，a2，a45,135,225,315 ④根轨迹的起始角：复数开环有限极点p3,42j4处，p390,p490 ⑤分离点方程为

11110 dd4d2j4d2j4解得分离点d12,d2,32j6

检查

d12时，K*

d2,32j6时，K*100

d1,d2,d3皆为闭环系统根轨迹的分离点。

⑥确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征方程为

D(s)s48s336s280sK*0

列写劳斯表

s4 1 36 K*s3 8 80 s2 26 K* 80268K*s 26s0 0 1当K*260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为

A(s)26s22600

解得根轨迹与虚轴交点为10。 根轨迹如下图4-2c所示：

j42-6-4-20-2-4 图4-2c

（4）按下列步骤绘制根轨迹：

①系统开环有限零点为z11；开环有限极点为p10，p21，

p3,4－2j23

②实轴上根轨迹区间为(,1],0,1

2③根轨迹的渐近线条数为nm3，a，a60,180,60

3④分离点方程为

11111 dd1d2j23d2j23d1解得分离点d12.26,d20.45

根轨迹如下图4-2d所示：

j-101 图4-2d

4-3 给定系统如图4-2所示，K0，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统

图4-2 习题4-3系统零极点分布图

阻尼特性的影响。

解：（1）作系统的根轨迹。开环传递函数为

G(s)F(s)K(s2)(s3)

s(s1)①开环极点为0和1，开环零点为2和3。 ②所以实轴上的根轨迹区间为[3,2]和[1,0]。 ③分离点方程

1111 dd1d2d3得分离点d12.366,d20.634 检查

d12.366时，K*s(s1)(s2)(s3)s(s1)(s2)(s3)s2.3660.0718

d20.634时，K*s0.63413.93

可得到根轨迹如下图4-3a所示

j-3-2-10 图4-3a

（2）分析增益对阻尼特性的影响。

从根轨迹图可以看出，对于任意K0，闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。

增益较小时（0K0.0718）系统过阻尼； 增益很大时（K13.93），系统过阻尼； 增益中等时（0.0718K13.93），系统欠阻尼。

4-4 给定控制系统如图4-3所示， K0，试用系统的根轨迹图确定，速度反

馈增益K为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于0.7。

解：（1）求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数

G(s)10/(s1)110

110k/(s1)ss(s110k)因为可变参数K不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程

s(s110k)10s2s10ks100

改写为

110ks0 2ss10即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为

G'(s)的系统的闭环特征方程。

Ks0,K10k

s2s10（2）根据G'(s)作出根轨迹图。

G'(s)有两个极点0.5j3.1225，一个零点0，所以负实轴是根轨迹，而且

其上有分离点。将闭环特征方程改写为

s2s10K

s由dK/ds0可以求得s10，其中s10在根轨迹上，对应增益为

K5.32460，故s10是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4a所示。

jζ＝0.70 图4-4a （3）求反馈增益k。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表0.7，则闭

环极点为根轨迹和该虚线的交点，由0.7可得arccos45.57。设

s1njn120.7nj0.51n

列出该点对应的辐角条件

argG'(s)args

(s10.5j3.1225)(s10.5j3.1225)arctan0.51n3.12250.51n3.12250.51arctanarctan0.70.7n0.50.7n0.5

180(2k1)经整理得

arctan0.51n3.12250.51n3.12250.51 arctan180(2k1)arctan0.7n0.50.7n0.50.7两边同取正切，整理得

21.0202n10.20200

解得，n3.1623。所以该闭环极点为s12.2136j2.2583。再由

s2s10Ks3.4272

s－2.2136j2.2583得速度反馈增益为kK/100.3427。

4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)K。要求系统的

s(s1)(0.5s1)闭环极点有一对共轭复数极点，其阻尼比为0.5。试确定开环增益K，并近似分析系统的时域性能。

解：根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。

0.5 j21-2-10-1-2 图4-5a

欲确定K，需先确定共轭复极点。设复极点为s1,2xjy 根据阻尼比的要求，应保证

yxtg(180arccos)1.732x

在图上作0.5的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标x0.3，由此求得纵坐标y0.52。在s0.3j0.52处检查相角条件

G(s)－173.6

不满足相角条件；修正x0.32，则y0.5，点s0.32j0.5处的相角为

177.4；再取x0.33，则y0.572，点s0.33j0.572处的相角为180。

因此共轭复极点s1,20.33j0.572。由模值条件求得

K1*K2s0.33j0.5720.513

运用综合除法求得另一闭环极点为s32.34。共轭复极点的实部与实极点的实部之比为0.14，因此可视共轭复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为

(s)0.436

s20.665s0.436并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能

ts3.5n10.6

%e/12100%16.3%

4-6 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

K(s22s4)G(s),K0 2s(s4)(s6)(s1.4s1)试画出系统的根轨迹图，并分析系统的稳定时K的取值范围。 解：由题得

开环极点：0,4,6和0.7j0.714 开环零点：1j1.7321

分离、会合点：从s平面的零点、极点分布可知在区间内(4,0)可能有分离、会合点。 记

A(s)s(s4)(s6)(s21.4s1)s511.4s439s343.6s224sB(s)s2s4由A'(s)B(s)A(s)B'(s)，可得

2

(5s445.6s3117s287.2s24)(s22s4)(s11.4s39s43.6s24s)(2s2)经整理后得到

32

3s630.8s5127.4s4338.4s3531.2s2348.8s960

用试探法或程序算得区间(4,0)内的一个根为2.3557，它就是实轴上的分离点。 根轨迹自复数极点的出射角：.88 根轨迹趋向复数零点的入射角：102.52 根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为

f(s)s511.4s439s3(43.6k)s2(242K)s4K0

4211.4(43.6K)4K0令sj，可得 43[39(242K)]0由第二式得K0.5419.5212，代入第一式，得 620.2492.92960 解得11.2115,22.15,33.7537 根据以上数据画根轨迹图，如图4-6a所示。

图4-6a 根轨迹图

再分析系统得稳定情况：根轨迹与虚轴第一个交点的频率为 11.2115， 利用幅值条件可以计算出对应的增益

s(s4)(s6)(s21.4s1)K|sj1.211515.56

s22s4同样可以算得与22.15和33.7537对应的增益K2.74,K3163.43 参看根轨迹图可知：系统稳定时K的取值范围为：K15.或.74K163.43 4-7 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

G(s)K

s(s1)(s2)K的变化范围是0，试画出系统的根轨迹图。 解：按下列步骤绘制根轨迹：

①系统没有开环有限零点；开环有限极点为p10,p21,p32 ②实轴上的根轨迹区间为,2,1,0

③根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为

160，2180，360

渐近线与实轴的交点为 a④分离点方程为 解得分离点d0.42

pzii1i1nminm1

1110 dd1d2闭环系统根轨迹如下图4-7a所示

j21-2-10-1-2 图4-7a

4-8 已知反馈控制系统的开环传递函数为：

G(s)K,H(s)1,K0,a0

s(sa)试画出K和a同时变化的根轨迹簇。

解：（1）列写闭环特征方程。闭环特征方程为s2asK0

（2）画a0，K从0到的根轨迹。a0时闭环特征方程为s2K0。

这相当于一个开环传递函数为

G1(s)H1(s)K 2s的系统。它的根轨迹是与虚轴重合的直线。见图4-8a中由圆圈构成的根轨迹。 （3）画K为常数，a从0到的根轨迹。给定K，则闭环特征方程为

as0 2sKas它相当于一个开环传递函数为G2(s)H2(s)2的系统，该系统的开环极点为

sK1jK，开环零点为0。图4-8a中不带圆圈的根轨迹是K1,4,9,16时的根轨迹。

j43210-1-2-3-4 1(sa)44-9 已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)2 s(s1)a的变化范围是[0, ]，试画出系统的闭环根轨迹。

解：系统闭环特征方程为

11 D(s)s3s2sa0

44即有11s3s2s41a40

K*等效开环传递函数为G1(s)

12s(s)2K*1a，变化范围为0, 4按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数：

1（1）等效系统无开环有限零点；开环有限极点为：p10,p2p3

2（2）实轴上的根轨迹区间为,0

1（3）根轨迹有3条渐近线，且a,a60,180,300

31K*(3s22s)d40 （4）根轨迹的分离点：由分离点方程G1(s)1dss2(s)4211 解得d1,d2

26（5）根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方程列写劳斯表如下：

1s3 1 4a s2 1

41as1 - 44当a1时，劳斯表的s1行元素全为零，辅助方程为A(s)s2解得s1,2j10 41 2绘制系统参数根轨迹如图4-9a所示

j121216012 图4-9a 4-10 已知反馈控制系统中，其开环传递函数为：

K(s22s4)G(s) 2s(s4)(s6)(s1.4s1)s4时的闭环根轨迹概略图； ss1.05(2) 绘制H(s)时的闭环根轨迹概略图；

s(1) 绘制H(s)(3) 比较开环零点变化对根轨迹形状的影响。 解：（1）开环传递函数

K(s22s4)G(s)H(s)2

s(s6)(s21.4s1)按下列步骤绘制根轨迹：

①系统开环有限零点为z1,21j1.732；开环有限极点为p1,20，p36，

p4,50.7j0.714

②实轴上的根轨迹区间为,6

③根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为

160，2180，360

渐近线与实轴的交点为

apzii1i1nminm1.8

闭环系统根轨迹如下图4-10a所示

j-60 图4-10a根轨迹图

（2）开环传递函数

K(s1.05)(s22s4)G(s)H(s)2

s(s4)(s6)(s21.4s1)按下列步骤绘制根轨迹：

①系统开环有限零点为z11.05，z2,31j1.732；开环有限极点为

p1,20，p34，p46，p5,60.7j0.714

②实轴上的根轨迹区间为,6 和4,1.05 ③根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为

160，2180，360

渐近线与实轴的交点为

apzii1i1nminm2.78

闭环系统根轨迹如下图4-10b所示

j-6-40 图4-10b根轨迹图 4-11 给定控制系统的开环传递函数为：

G(s)sa,a0

s(2sa)试作出以a为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分a取何值时闭环系统稳定。 解：（1）求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因为可变参数a不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程

2s2assa0

可改写为

1a(s1)0

s(2s1)则开环传递函数为

G'(s)a(s1)K(s1),Ka0

s(2s1)s(2s1)（2）根据G'(s)作系统的根轨迹。G'(s)中的增益为负值，所以要作系统的补根轨迹。开环极点为0.5和0，开环零点为1。按照补根轨迹的作图规则，实轴上的根轨迹区间为0.5,0和1,。在0.5,0 区间有会合点，在1,有分离点。为求分离、会合点，将闭环特征方程改写为

Ks(2s1)

(s1)由dK/ds0，得s24s10，解得s12.2247,s20.2247，分别对应的增益为K9.90和K0.1010，所以是分离、会合点。可以证明，不在

ja1(K1)a0a01a(K)12-10-1a(K) 图4-11a 实轴上的根轨迹是一个圆，圆心在1,0，半径为1.2227。以Ka为参变量的根轨迹如图4-11a所示，图中箭头表示a从0到的方向，也即K从0到

的方向。

（3）求a使闭环系统稳定的取值范围。首先求根轨迹与虚轴的交点。由闭环特征方程

2s2(1K)sK0

可知，K1时系统处于临界稳定状态，这相当于a1，所以使闭环系统稳定的范围为0a1。

4-12 实系参数多项式函数为：

A(s)s35s2(6a)sa

欲使A(s)0的根均为实数，试确定参数a的范围。 解：对A(s)0作等效变换得

1等效开环函数为

a(s1)0 32s5s6sG1(s)H1(s)a(s1)

s(s2)(s3)当a0时，需绘制常规根轨迹：

系统开环有限零点为z11；开环有限极点为p10，p22，p33 实轴上的根轨迹区间为3,2和1,0 根轨迹有2条渐近线，且

a2；a90,90

由分离点方程

1111 d1dd2d3在实轴区间3,2内用试探法求得d2.47。绘制根轨迹图，如图4-12a所示。

当a0时，需绘制零度根轨迹。实轴上，零度根轨迹区间为(-∞,-3]，[-2,-1]和[0,+∞]。作零度根轨迹图，如图4-12b所示。

当多项式有根2.47时，根据模值条件得

add2d30.419

d1根据常规根轨迹图，知当0a0.419时，多项式的根皆为实数；根据零度

根轨迹图，知当a0时，多项式的根亦全为实数。因此所求参数a的范围为

a0.419。

21-3-20-1-221-3-20-1-2-1-1 图4-12a 常规根轨迹 图4-12b 零度根轨迹

4-13 设系统开环传递函数为：

G(s)K

s(s1)(s10)(1) 大致画出系统的根轨迹图；

(2) 用文字说明当K0时，如何求系统单位阶跃响应的超调量%，峰值时间tp及调节时间ts。 解：（1）绘根轨迹图

1103.67;a60,180 3111分离点：由0，得d0.487

dd1d10渐近线：a相应的根轨迹增益Kd2.377

根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程s311s210sK0 列劳斯表

s3 1 10 s2 11 K 110-Ks 0 10s0 K 1

当K110时，劳斯表出现全零行，由辅助方程11s21100 得根轨迹与虚轴交点处为K110,3.16 根轨迹图如下图4-13a所示：

j321-100-1-2-3-1 图4-13a

（2）求动态性能指标

当0K2.377时，系统%0,tp0，闭环有两个实主导极点1和2，且

12，因此求得调节时间如下：

ts4.751, 12 13ln(1)2ts, 121当2.377K100时，闭环系统有一对共轭复极点，则

A3lnt%D tp,%100e1p,tsD1A1由于Ddn12,An,1n,ln()ln()

2D1因此

tp1A, %100e12%n12, ts=3.5

, 0.8 n

4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为：

G(s)K(s4)

s(s2)试画出系统根轨迹图，并求出系统具有最小阻尼比时的闭环极点和对应的增益K。

解：系统在实轴上的根轨迹区域为0,2和4, 在这两段区域内，均存在分离点。为了求出分离点，令

111 dd2d4求出

d14221.172d24226.828

因而复数根轨迹是以(4,j0)为圆心，22为半径的一个圆，如图4-14a所示

ζ＝0.707jβ-7-6-5-4-3-2-10 图4-14a

在图上，过原点作圆得切线，得最小阻尼比线。由根轨迹图知，对于等腰直角三角形，必有

45，故最小阻尼比cos0.707 响应的闭环极点s1,22j2

由根轨迹模值条件，可求出相应的增益为

K

2j2•2j222

2j244-15 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：

K* G(s)2s(s4)(s4s5)试按照步骤作出K*0时的根轨迹图。 解：开环极点：p10,p24,p3,42j 根轨迹在实轴上的区间0,4

根轨迹的渐近线nm4,a2,a45,135 分离点：

11110 dd4d2jd2j 即

112(d2)20 dd4d4d5整理得 d36d210.5d50

为了求取分离点方程的根，将上式表示为110.5(d0.476)0

d2(d6)K1*(d0.476)令等效开环传递函数为G1(d)

d2(d6)其中K1*10.5。若令K1*从0变到，其根轨迹如图4-15a所示。图中，渐近线

j2d1-2-10-1-21d2-6-5-4-3 图4-15a a2.78,a90；分离点d1'1.088,d2'2.627。 在图上，试探d2，检验模值条件 K1*22410.5

1.524故符合要求，故d2为分离点方程的一个根。利用综合除法，有

d36d210.5d5(d2)(d24d2.5)(d2)(d0.775)(d3.225)0

求得分离点d10.775,d22,d33.225 分离角为90 根轨迹的起始角

p180(311(pp))180arctanarctan1809090 3j22j1(j3)4p90

4根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为s48s321s220sK*0 列劳斯表

s4 1 21 K* s3 8 20 s2 18.5 K* 370-8K*s 0 18.5s0 K* 1

显然，当K*46.25时，根轨迹和虚轴相交，由辅助方程

18.5s246.250

求得交点处K*46.25,1.58

根据以上步骤，绘制系统根轨迹图4-15b

图4-15b 根轨迹图

4-16 设某单位负反馈系统的开环传递函数为：

G(s)4K(1s)

s[(K1)s4](1) 绘制K从0时系统的根轨迹图；

(2) 求系统阶跃响应中含有eatcos(t)时的K值范围，其中a0, 0； (3) 求系统有一个闭环极点为2时的闭环传递函数。 解：绘制根轨迹图 闭环特征方程为

(s24s)K(s24s4)0 写成根轨迹方程形式为：

K(s2)20 1s(s4)令等效开环传递函数为

K(s2)2G1(s)

s(s4)实轴上根轨迹：4,0 分离点：由

112求得d1 dd4d2与虚轴交点：列劳斯表

s2 K+1 4K s1 4-4K 0 s0 4K 显然，当时系统处于临界稳定，由辅助方程并代入K1，解出交点处

K1,2 分离点处根轨迹增益：由模值条件得：Kd绘出系统根轨迹如图4-16a所示

j1131 333K1,2-4-3-2-1-1012 图4-16a （2）求K值范围

当系统阶跃响应含有etcos(t)分量时，系统处于欠阻尼状态，系统有一对

1具有负实部的共轭极点，K值范围为K1

3（3）求闭环传递函数

当系统具有s12闭环极点时，由模值条件，其对应的K值为K于是 G(s)221 444(1s)

5s(s4)4G(s)0.8(1s)

1G(s)(s0.4)(s2)闭环传递函数为(s)

5-1 设系统闭环稳定，闭环传递函数为(s)，试根据频率特性的定义证明，输

入为余弦函数r(t)Acos(t)时，系统的稳态输出为

css(t)A|(j)|cos[t(j)]

解：

由题目可得r(t)Acos(t)AcostcosAsintsin 对等式两边同时进行拉氏变换可得

R(s)Ascossinscossin AAs22s22s22由于系统闭环稳定，所以(s)不存在正实部的极点。假设(s)可表示为如下表达式

(s)M(s)

(ss1)(ss2)(ssn)由以上分析可得，系统的闭环传递函数为

C(s)(s)R(s)M(s)scossinA

(ss1)(ss2)(ssn)s22对上述闭环传递函数作如下分解

C(s)i1nDiB1B2 ssisjsj对上式等式两边进行拉氏反变换可得

c(t)DiesitB1ejtB2ejt

i1n由系统稳态输出的定义可得

css(t)limc(t)B1ejtB2ejt

t利用留数法确定待定的系数B1,B2

B1limA(s)sjscossincossinA(j)ej(j)()

sj22jB2limA(s)sjscossincossinA(j)ej(j)()

sj22j所以可得

css(t)A(j)(cosjt(j)sinjt(j)ee 22j cosjt(j)sinjt(j)ee) 22j A(j)coscost(j)sinsint(j) A(j)cost(j)

5-2 若系统阶跃响应为：

h(t)11.8e4t0.8e9t

试确定系统频率特性 解：

单位阶跃输入信号的拉氏变换为R(s)系统单位阶跃响应的拉氏变换为

11.80.836 H(s)

ss4s9s(s4)(s9)1 s系统的闭环传递函数为G(s)H(s)36 R(s)(s4)(s9)将sj代入传递函数G(s)可得 G(j)

5-3 设系统结构图如图5-1所示，试确定输入信号

36

(j4)(j9)r(t)sin(t300)cos(2t450)

作用下，系统的稳态误差ess(t)。

图5-1 习题5-3控制系统结构图

解：

如图5-1所示，系统的误差传递函数为

11(s)1ss1e(s)111s2 s11： 备注：为什么稳态误差？ 其幅频特性和相频特性分别为

(j)2124,e(j)arctanarctane2 当r(t)sin(t300)cos(2t450)sin(t300)sin(2t450)时

e1ss(t)114sin(t30arctan1arctan12)4144sin(2t45arctan2arctan1) 105sin(t304526.57)104sin(2t4563.4345) 0.63sin(t48.43)0.79sin(2t63.43)

5-4已知系统开环传递函数

G(s)H(s)K(s1)s2(Ts1)； K,,T0

试分析并绘制T和T情况下的概略幅相曲线。 解：

由题可知，系统的频率特性如下 G(j)H(j)K(j1)K(j1) 22(j)(Tj1)(Tj1)由于系统2，所以开环幅相曲线要用虚线补画180的半径为无穷大的圆弧 当0时，G(j0)H(j0) 当时，G(j)H(j)K(j01),(0)180 20(Tj01)K(j1)0,()180 2(Tj1)K(j1)K(T21)jK(T)又由于G(j)H(j)2，所以有

(Tj1)2(T221)当T时，开环幅相曲线始终处于第三象限，如图5-4a所示； 当T时，开环幅相曲线始终处于第二象限，如图5-4b所示。

图5-4a开环幅相曲线 图5-4b开环幅相曲线

5-5 已知系统开环传递函数

G(s)H(s)1

s(s1)(s2)试分别绘制1,2,3,4时系统的概略开环幅相曲线。 解：

由题目可知，系统的频率特性如下 G()H()1

(j)(j1)(j2)当1时，开环幅相曲线要用虚线补画90的半径为无穷大的圆弧。 若0，则G(j0)H(j0)1,(0)90

(0)1(01)(02)若，则G(j)H(j)10,()270

()1(1)(2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

当2时，开环幅相曲线要用虚线补画180的半径为无穷大的圆弧。 若0，则G(j0)H(j0)1,(0)180 2(0)(01)(02)若，则G(j)H(j)10,()360 2()(1)(2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

当3时，开环幅相曲线要用虚线补画270的半径为无穷大的圆弧。 若0，则G(j0)H(j0)1,(0)270

(0)3(01)(02)若，则G(j)H(j)10,()420

()3(1)(2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

当4时，开环幅相曲线要用虚线补画360的半径为无穷大的圆弧。 若0，则G(j0)H(j0)1,(0)360 4(0)(01)(02)若，则G(j)H(j)10,()0 4()(1)(2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

图5-5a系统开环幅相曲线

5-6已知系统开环传递函数

G(s)H(s)10

s(2s1)(s20.5s1)试分别计算0.5和2时，开环频率特性的幅值A()和相位()。 解：

系统的开环频率特性表达式如下

1010(242.52)10j(23)G(j)H(j)

j(2j1)(20.5j1)(242.52)2(23)2当0.5时

10(242.52)10j(23)G(j)H(j)(242.52)2(23)2168j

0.5此时A()1628217.,()arctan当2时

826.57 1610(242.52)10j(23)G(j)H(j)(242.52)2(23)220.32j0.21

此时A()0.3220.2120.38,()arctan

0.2133.27 0.325-7 绘制下列传递函数的对数幅频渐进特性曲线

a．G(s)1

(10.5s)(12s)

图2-7a对数幅频渐进特性曲线

b．G(s)(10.5s) 2s

图2-7b对数幅频渐进特性曲线

c．G(s)s10

s26s10

图2-7c对数幅频渐进特性曲线

d．G(s)30(s8)

s(s2)(s4)

图2-7d对数幅频渐进特性曲线

5-8 已知系统开环传递函数

G(s)K

s(s51)(s2001)试绘制K10的对数频率特性曲线，并算出截止频率c。 解：由题可得G(j)则

G(j)10(11K

j(j51)(j2001)225)(11222002)12

()2arctan5arctan200

因此 20lnG(j)2020ln10ln(1对数频率特性曲线如图5-8a所示

225)10ln(122002)

图5-8a 对数频率特性曲线

又20lnG(j)0，可得G(j)1，即10(11225)(11222002)121

计算可得c50rad/s

5-9 已知系统开环传递函数为：

G(s)H(s)50(s2) 2s11s10a．计算截止频率c。

b．确定对数幅频渐进特性曲线的低频渐进线的斜率。 c．绘制对数幅频特性曲线。

解：G(s)H(s)50(s2)50(s2)

s211s10(s1)(s10)50(j2)

(j1)(j10)122212212G(j)H(j) G(j)H(j)50(4)(1)(100)

20lnG(j)H(j)20ln(50(4)(1)(100))

221221212 20ln5010ln(42)10ln(12)10ln(1002)0 计算可得c49rad/s 当1时，斜率为0；

当12时，斜率为-20dB/d； 当210时，斜率为0； 当10时，斜率为-20dB/d；

绘制对数幅频特性曲线，如图5-9a所示。

图5-9a 对数幅频特性曲线

5-10 利用奈氏判据分别判断题5-4，5-5系统的闭环稳定性。 解： (1) 性。

当T时，系统的开环幅相曲线如图5-4a所示，由图可知，系统的开环幅相曲线不包围(1,j0)，根据奈奎斯特判据可得N0 又由系统得开环传递函数可知P0

即ZP2N0，闭环系统在s右半平面无极点，T时闭环系统稳定。 当T时，系统的开环幅相曲线如图5-4b所示，由图可知，N1 又由系统得开环传递函数可知P0

即ZP2N2，闭环系统在s右半平面有2个极点， T时闭环系统不稳定。(2) 对于题5-5的系统，其开环幅相曲线如图所示，由图5-5a可知 当1时，N0，又由系统得开环传递函数可知P0

即ZP2N0，闭环系统在s右半平面无极点，1时闭环系统稳定。 当2,3,4时，N1，又由系统得开环传递函数可知P0

即ZP2N2，闭环系统在s右半平面有2个极点，2,3,4时闭环系统不稳定。

5-11 用劳斯判断据验证题5-10的结果。

解：

（1）对于题5-4的系统，由题得闭环系统特征方程为

对于题5-4的系统，分T和T的两种情况来讨论系统的闭环稳定

Ts3s2KsK0

列劳斯表

s3 T K s2 1 K s T-KTs0 K则当T时，KKT0，即第一列各值为正，即闭环系统稳定； 当T时，KKT0，即第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定。 （2）对于题5-5的系统，由题得闭环系统特征方程为

sr(s1)(s2)10，即sr23sr12sr10

1

当r1时，列劳斯表

s3 1 2 s2 3 1 s 4 0 s0 1第一列各值为正，即闭环系统稳定； 当r2时，列劳斯表

1

s4 1 2 1s3 3 0 s2 2 32s0 0 s1 -第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定；

当r3,4时，情况与r2相同，即闭环系统不稳定。

5-12 已知三个系统的开环传递函数为

G1(s)K(T2s1)，

s2(T1s1)K(T2s1)，

s2(T1s1)(T10,T20,T30,T40)

G2(s)G(s)K(T2s1)(T4s1)， 3s(T1s1)(T3s1)又知它们的奈奎斯特曲线如图5-2(a)(b)(c)所示。找出各个传递函数分别对应的奈奎斯特曲线，并判断单位反馈下闭环系统的稳定性

图5-2 习题5-12控制系统乃奎斯特曲线图

解：三个传递函数对应的奈奎斯特曲线分别为b,c,a 对G1(s)K(T2s1)式，P0，N0 2s(T1s1)则ZP2N0，故系统稳定； 对G2(s)K(T2s1)式，P0，N0

s2(T1s1)则ZP2N0，故系统稳定； 对G(s)K(T2s1)(T4s1)式，P0，N0

s3(T1s1)(T3s1)则ZP2N0，故系统稳定；

5-13 已知系统开环传递函数

G(s)K； K,T0

s(Ts1)(s1)试根据奈氏判据，确定其闭环稳定条件： a．T2时，K值的范围； b．K10时，T值的范围； c．K，T值的范围。 解：

由系统的开环传递函数可知，系统的开环曲线图如图5-13a所示

图5-13a 系统开环曲线

由于P0，故想要闭环系统稳定，必有N0，即幅相曲线不包围点(1,j0)。 系统的频率特性表达式如下

KK2(T1)jK(T21)G(j) 24222j(Tj1)(j1)(T1)(T1)a、T2时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有

K(T21)K(221)0 242224222(T1)(T1)9(21)由上式可得2，则交点的实轴坐标为 2K2(T1)3K21

(T1)242(T21)2942(221)2由上式可得 0K3 2b、K10时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有

K(T21)10(T21)0

(T1)242(T21)2(T1)242(T21)2由上式可得1，则交点的实轴坐标为 T1(T1)K(T1)T1 (T1)242(T21)2(T1)211(T11)2T2TT1由上式可得 0T

9210c、对于开环幅相曲线与实轴的交点有

K(T21)K(T21)0

(T1)242(T21)2(T1)242(T21)2由上式可得1，则交点的实轴坐标为 T1(T1)K(T1)T1 (T1)242(T21)2(T1)211(T11)2T2TTT11由上式可得 0K ,0TTK12K

5-14 某系统的开环传递函数为

Q(s)K(T2s1)

s2(T1s1)要求画出以下4种情况下的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性： a．T20； b．0T2T1； c．0T2T1；

d．0T1T2。 解：

a． 当T20时，Q(s)K， 2s(T1s1)其开环幅相曲线如图5-14a所示，P0，N1

则ZP2N2，故在s平面右半平面有2个闭环极点，闭环系统不稳定；

K(jT21)K(1T1T22)K(T2T1)b．当0T2T1时，Q(j) 2(1jT1)2(1T122)若0，则|Q(j0)|,(0)180 若，则|Q(j0)|0,(0)180

其开环幅相曲线如图5-14b所示，P0，N1 则ZP2N2，故系统不稳定； c． 当0T2T1时，Q(s)K 2s若0，则|Q(j0)|,(0)180 若，则|Q(j0)|0,(0)180

1其开环幅相曲线如图5-14c所示，P0，N

2则ZP2N1，故系统不稳定；

K(jT21)K(1T1T22)K(T2T1)d．当0T1T2时，Q(j) 2(1jT1)2(1T122)由0T1T2可得Re[Q(j)]0,Im[Q(j)]0

故可得其开环幅相曲线如图5-14d所示，P0，N0

图5-14a 开环幅相曲线 图5-14b 开环幅相曲线

则ZP2N0，故系统稳定。

图5-14c 开环幅相曲线 图5-14d开环幅相曲线

5-15 已知反馈控制系统的开环传递函数为

Q(s)K，(T1,T1,T1,T10)

s(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s1)如果闭环系统不稳定，闭环传递函数会有几个极点在复数平面的右半平面？ 解：

|Q(j)|K(T1)(T1)(T1)(T1)

121212222122321224212(j)2arctanT1arctanT2arctanT3arctanT4

当0时，|Q(j)|,()90 当时，|Q(j)|0,()450

由于系统不稳定，故可得其开环幅相曲线如图5-15a所示

由图可得P0，N1

则ZP2N2，故闭环传递函数有2个极点在复数平面的右半平面。

图5-15a 开环幅相曲线

5-16 设控制系统的结构图如图5-3所示。

a．求出开环传递函数； b．画出对数相频特性曲线；

c．求出临界开环比例Kc和截止频率c；

d．用奈氏判据判断该系统是否稳定，如果稳定再分别求出当输入信号

u(t)1(t)和u(t)t的情况下系统的静态误差。

图5-3 习题5-16控制系统结构图

解：

（a）系统开环传递函数为G(s)0.1K1010••

0.1s13s1ss(13s)(10.1s)（b）()090arctan3arctan0.1 0，()0900090 ，()0909090270

图5-16a

（c）A()K19•10.0122

0，A(0) ，A()0 系统开环频率特性为

K[(T1T2)j(1T1T22)] G(j)H(j)

(1T122)(1T222)与实轴的交点 x10.131.826

G(jx)H(jx)Re[G(jx)H(jx)]故幅相曲线为

K30.10.3K

30.13.1

图5-16b

当G(jx)H(jx)1时，系统临界稳定，得Kc10,cx1.826 当0.3K1时，ZP2N000，系统稳定 3.1 图5-16c

当0.3K1时，ZP2N0(01)1，系统不稳定 3.1当u(t)1(t)时，ess0， 当u(t)t时，essRK0.1

5-17 已知某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-4所示。

a．写出其开环传递函数；

b．画出其相频特性草图，并从图上求出和标明相角裕度和幅值裕度； c．求出该系统达到临界稳定时的开环比例系数值K；

d．在复数平面上画出其奈奎斯特曲线，并标明点1j0的位置。

图5-4 习题5-17控制系统结构图

解：

（1）确定系统积分或微分环节的个数。因对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线的斜率为20dB/dec，由图，低频渐近斜率为40dB/dec，故2，系统含有2个积分环节。

（2）确定系统传递函数结构形式。由于对数幅频渐近特性曲线为分段折线，其各转折点对应的频率为所含一阶或二阶环节的交接频率，每个交接频率处斜率的变化取决于环节的种类。

10.5处，斜率变化20dB/dec，对应微分环节；

22处，斜率变化20dB/dec，对应惯性环节； 25处，斜率变化20dB/dec，对应惯性环节。 因此，所测系统具有下述传递函数

K(1T1s) G(s)2s(1T2s)(1T3s)其中K待定。

（3）低频渐近线方程为

K(1s2(1111s)1

2s)(13s)La()20lnK20lnK20ln20lnK40ln

由给定点(,La())(0.5,8)，得K10 故所测系统传递函数为G(s)

5-18设单位反馈控制系统的开环传递函数

10(12s) 2s(10.5s)(10.2s)G(s)as1 s2试确定相角裕度为450时的参数值。 解：

系统的频率特性表达式为 G(j)ja1 2设系统的截止频率为c，则由相角裕度的定义可得

180(c)180arctanac180arctanac45 即ac1 又由于G(j(c))(ac)2121

c2c2由上式得 c1.19 所以 a

10.84

c5-19 若高阶系统的时域指标为18%%25%，0.1ts0.2，试根据经验公

式确定系统的截止频率和相角裕度的范围。 解：根据经验公式，

0.160.4(tsK011)sin

c11)25% sin 根据题意有， 18%0.160.4(K0 0.1c0.2

可求得.772.2, 39.02c65.35

5-20 典型二阶系统的开环传递函数

2n G(s)s(s2n)若已知10%%30%，试确定相角裕度的范围；若给定n10，试确定系统带宽b的范围。 解：由于0.160.4(11)且10%%30%， sin可解得39.158.6

而根据题意 180G(jc)arctan(2(412))

2212又有bn((12)(12)1)，且n10

2212故计算可得：11.61b14.11

5-21 设二阶系统如图5-5(a)所示。若分别加入测速反馈校正，0.1Kt1.5（图

5-5(b)）和比例-微分校正，0.1Kd1.5（图5-5(c)），并设n1，0.2，试确定各种情况下相角裕度的范围，并加以比较。

图5-5 习题5-21控制系统结构图

解：(a)由题意可知系统开环频率特性

2n G(j)H(j)j(j2n)A()121242n.1.121n， ，()0arctan2n22设c为截止频率，当c时，则有

A(c)和

12c1c242n.1.12n1 2(c)0arctan12nc2

把n1,0.2代入上式，得：

c0.9608，(c)157.40 1800(c)1800157.4022.60 (b)由题意可知系统开环传递函数为

2n G(s)2s(s2nKtn)其开环频率特性为

2n G(j)H(j)2j(j2nKtn)A()1.122112K2.ntn.12n2Ktn()0arctan1 222nKtn设c为截止频率，当c时，则有

A(c)1c.12112K2.cntn2.12n2Ktn1

和

(c)0arctan1. c222nKtn把n1,0.2，设Kt0.6，代入上式，得：

c0.7862,(Kt0.6)，(c)128.170 1800(c)51.830

(c)由题意可知系统开环传递函数为

G(s)K(Kds1)，其中Kn2

s(s2n1)其开环频率特性为

G(j)H(j)K(jKd1) 2j(j2n1)A()22K1Kd1224n212，()0arctan12n.arctanKd2

设c为截止频率，当c时，则有

A(c)22K1Kdcc142c22n121

和

(c)0arctan12n.carctanKdc2

把n1,0.2，设Kd1，代入上式，得：

c1.226,(Kd1)，(c)111.10 1800(c)68.90

5-22 已知单位反馈系统的开环幅相特性曲线如图5-6所示。当K50时，系统

幅值裕度h1，穿越频率c1，求输入为r(t)t25sinct，幅裕度为下述值时，系统的稳态误a．h0.5 b．h3

图5-6 习题5-22控制系统结构图

试值差。

解：设系统开环传递函数为：

G(s)K(1T2s)

s(1T1s)开环系统幅频特性为：

A()K1T2221T212

系统的开环频率特性为：

K[(T1T2)j(1T1T22)]G(j)

(1T22)解得x1 T1T2501T2211 当g1有x1，

2T1T21T1得T20.02,T150

则系统开环传递函数可写成

G(s)K(10.02s)

s(150s)系统与实轴的交点为G(jx)KT20.02K

当h0.5时， K100，ess11000.01 当h3时，K16.7，ess116.70.05

5-23 设单位反馈系统如图5-7所示。其中，截止频率c5，K10；T0.1时，

若要求c不变，问K与T如何变化才能使系统相角裕度提高至450？ 解：开环系统幅频特性为：

A()K(1T22).A1()

1212相频特性为：

()0arctanTarctan1() 当c时，

(c)0arctanTcarctanc1(c)，把K10;T0.1;c5代入得： (c)0026.57078.6901(c)

1800(c)

若要求相角提高450，即要求(c)提高450，设调整后的系统相频特性为：

(c)00(26.570450)78.6901(c)

 调整后的T值为：[tan(26.570450)]c0.6，K值不做调整。

图5-7 习题5-23单位反馈系统结构图

5-24 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

Ke0.1sG0(s)

s(s1)试绘制系统的对数频率特性曲线，并据此确定： a．求K1时的相角裕度； b．求K20时的幅值裕度； (1)解： 开环系统幅频特性为：

A()K12

令A()1，当K1时，得c0.75 开环系统相频特性为：

()02arctan，当c时，有 arctan0.75126.90

(c)021800(c)53.10

(2) 解：开环系统的频率特性为：

G(j)20[(sin0.1cos0.1)j(cos0.1sin0.1)]令其虚部为零，即

(12)cos0.1sin0.10

tan0.11得x25

G(jx)20[(sin0.1xxcos0.1x)]0.03

x(1x2)h133.3

G(jx)5-25 若单位反馈系统的开环传递函数

Ke0.8sG(s)

s1试确定使系统稳定的K值。 解：

Ke0.8j系统的频率特性表达式为 G(j)

j1由上式可得，系统的幅频特性和相频特性分别为 G(j)K,()arctan0.8

12系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点(1,j0)，此时

G(j)K1,()arctan0.8180

12由上式可得， 2.45,K2.45212.65

显然，当0K2.65时，由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。 故K的取值范围为 0K2.65

5-26 设单位反馈系统的开环传递函数

5s2esG(s)

(s1)4试确定闭环系统稳定时，延迟时间的范围。 解：

52ej系统的频率特性表达式为 G(j)

(j1)4由上式可得，系统的幅频特性和相频特性分别为

G(j)5221,()1804arctan2180

系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点(1,j0)，此时

G(j)521,()1804arctan180180

212由幅频特性可得 215

解之可得 11.618,20.618（舍去） 又(1)1804arctan1.6181.618180180 即1.37

显然，当01.37时，由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。故的取值范围为

01.37

6-1 设单位反馈系统开环传递函数为：

G(s)200

s(0.1s1)试设计一无源校正网络，使已校正系统的相角裕度不小于450，截止频率不低于50。 解：

作待校正系统对数幅频特性L'()，如图6-1a所示，得c'40,'14，故应选择超前网络。

图6-1a系统特性

取c''m55，量得L'()6dB，由10lgaL'(m)，求得

a4,T10.009

ma取无源超前网络aGc(s)1aTs10.036s 1Ts10.009s将放大增益提高4倍，作校正后系统L''()，见图6-1a，得满足设计要求得如下指标：

c55, (c'')47.2 6-2 设单位反馈系统的开环传递函数：

G(s)K s(s1)试设计一串联超前校正装置，使系统满足如下指标： (1) 相角裕度450；

(2) 在单位斜坡输入作用下的稳态误差ess(3) 截止频率c7.5rads。 解：首先确定开环增益ess则开环传递函数为G(s)1rad； 1511得K15，取K15 k1515 由G(jc)1，得未校正前的截止频率

s(s1)c3.81

对应得相角裕度'900arctanc'14.710不符合要求，进行串级超前校正。 取mc''7.5 计算L'(7.5)20lgG(j7.5)11.56 由10lgaL'(7.5)11.56，得a14，所以T所以设计得超前网络传递函数为G(s)10.036

ma0.504s1

0.036s1150.504s1

s(s1)0.036s1最终校正系统的开环传递函数为Gc(s)G(s)验算''900arctanc''arctan0.504c''arctan0.036c''67.745 满足性能指标要求，设计合理。

6-3 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

G(s)4K

s(s2)试设计串联校正装置，使校正后系统的相位裕度500，幅值裕度h10dB，静态速度误差系数K20s1。

解：给定系统的稳定裕量时宜采用频率响应校正设计方法。

确定期望的开环增益K。因为KvlimGp(s)2K，所以取K10。

s0分析增益校正后的系统。图6-2中的虚线为Gp(j)40的对数幅

j(j2)频特性和相频特性。图6-3a中的对数幅频特性采用的是渐近线，渐近线的拐点处的分贝数用数字表示，相频特性为示意图。

从图6-3a虚线所示的对数幅频特性可以测算出增益穿越频率

c6.325rad/s

相位裕量17.550。校正的任务是增加相位裕量。由图可以看出，采用超前校正，可以提高相位裕量。因为增益已经确定，所以超前校正装置采用

Gc(s)1Ts,a1的形式。在0时，Gc(j)1，因此校正装置不会影响低1aTs频增益，故而不会改变已获得的静态误差系数。

图6-3a系统校正前后的伯德图

由500可得5517.5533，并进而取m538。

(1sinm)/(1sinm)0.24

超前校正装置的最大相角频率为m1/(aT)，而且在该频率的增益为

Gc(j)m1/a。要使增益穿越频率等于m，Gp(j)Gc(j)曲线必须在m处穿过轴，即

20lg|Gp(jc)Gc(jc)|20lg|Gp(jc)|20lg|Gc(jc)| 20lg|Gp(jc)|10lg0所以 20lg|Gp(jc)|10lg6.20dB

由图6-2可以算出c9.04rad/s。进而取m9.04可得 T10.2258,114.4286,T0.019,18.4528 TTm故校正装置的传递函数为 Gc(s)

6-4 设系统开环传递函数为：

G(s)K

s(10.1s)10.0226ss4.429 4.16710.02ss18.453试用比例—微分装置进行校正，使系统K200，(c'')500，并确定校正参数。

解：首先确定开环增益，取KK200 所以未校正开环传递函数为G0(s)计算校正前截止频率为c44.7

计算相角裕度为90arctan4.4712.6

相角裕度低于性能指标，可用比例微分装置进行校正。设比例微分校正装置传递函数为

Gc(s)Ts1

200

s(0.1s1)需要补偿德超前角为05012.637.4 取38， 又因为arctancTarctan44.7T38 可得比例微分装置的时间常数T0.0175

所以比例微分校正装置的传递函数为Gc(s)0.0175s1 校正后系统的开环传递函数为G(s)200200(0.0175s1)•(0.0175s1)

s(0.1s1)s(0.1s1)验算90arctan0.1carctan0.0175c50.650 符合要求。

6-5 设单位反馈系统的开环传递函数为：

G(s)K

s2(10.2s)试设计串联校正装置Gc(s)，使系统的Ka10，(c'')350。

解：取KKa10，绘待校正系统L'(),'()，如6-5a图，由图6-5a查得

c'3.16,(c')32

采用超前网络，其最大超前相角应为max3235976 由于max较大，应采用两级超前校正，每级'max38

1s/1超前网络传递函数为Gc(s),2a1

1s/22依据sin'maxa1，算得a4.204，取a5，故251 a110(1s/1)2校正后系统开环传递函数为Gc(s)G(s)2 2s(10.2s)(1s/2)10(c''/1)2当c''时，因为c''是1和2得几何中点，因此可得A()''21

c0.2c''''c从而求得c''5012，代入c''a151， 有12.8,214，于是c''6.26

图6-5a系统的对数频率特性

经放大补偿后，

(1s/2.8)2Gc(s) 2(1s/14)验算：(c'')180''(c'')180147.832.235

故将a增大，取a6,c''a16.86,2a116.8，算得(c'')37.3

(10.357s)2满足设计要求。因此 Gc(s)，放大器增益需提高6倍。 2(10.06s)

6-6 设单位反馈系统开环传递函数为：

G(s)7

11ss1s126试设计一串联滞后校正网络，使已校正系统的相角裕度为40020，幅值裕度不低于10dB，开环增益保持不变，截止频率不低于“1”。 解：画校正前系统开环对数频率特性曲线，由图6-6a得

c'3.8,'(c')4.4,20lgh1dB

表明待校正系统不稳定，由于c'大于要求得c''，故可采用串联滞后校正。

图6-6a系统的对数频率特性曲线

11由90arctanc''arctanc''画(c'')曲线

26根据题目意思，估计c(c'')6，而''40，因此(c'')''c(c'')46 由(c'')曲线查得c''1.25 ，满足c''1的要求。 当c''1.25时，b(dB)L'(c'')15dB，故b0.18

令1bT0.1c''，求得T44.4。于是串联滞后网络传递函数为

Gc(s)1bTs18s 1Ts144.4s校正后系统开环传递函数为

Gc(s)G(s)1(18s)

11s(1s)(1s)(144.4s)26验算：c''1.25, 41.2, 20lgh10dB，满足要求。

6-7 对于题6-4试用比例—积分装置进行串联校正。

解：加PI控制器后，系统成为Ⅱ型，有Kv，必满足稳态性要求。因此K可取任何满足要求得任意值。因待校正系统(c'')90arctan0.1c''。今要求

(c'')50，再考虑校正元件产生的滞后相位，可以选择c''，使arctan0.1c''30。 设取c''6，由题可得K6，所以未校正开环传递函数为G(s)6

s(0.1s1)选PI校正装置传递函数Gc(s)1Ts Ts根据1T0.1c''，取1T0.6，则校正后系统的传递函数为

G(s)Gc(s)3.6(11.67s)

s2(10.1s)校正后的相角裕度(c'')arctanc''0.6arctanc''1053.3满足设计要求。

6-8 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

G(s)K

s(1s)(10.5s)试设计串联校正装置使系统具有相位裕度400，幅值裕度h10dB，静态速度误差系数K5s1。

解：由题意 KvlimGp(s)K可得K5

s0 画Gp(j)的伯德图，从图6-8a中可以看出，只要将对数幅频渐近线德中段下降，即可满足相位裕量要求。所以，采用滞后校正，传递函数取为

Gc(s)1Ts,1

1Ts令401252，它对应的相角为18052128 对应于该期望相位裕量的频率为

argGp(j)arg190arctanjarctanj0.5128j(1j)(10.5j)解得0.5rad/s，即为新的增益穿越频率c

图6-8a系统校正前后的伯德图

令1Tc/50.1，得T10

因此，20lgGp(jc)Gc(jc)0dB，即20lg20，解得10。 滞后校正装置的传递函数为：Gc(s)1Ts1s0.1•

1Ts10s0.015(10s1)

s(1s)(10.5s)(1100s)校正后系统的开环传递函数为Gp(s)Gc(s)验算c0.5rad/s,39,h11dB,K5s1，符合要求。

6-9 设单位反馈系统开环传递函数为：

G(s)126

11ss1s11060要求设计—串联校正装置，使系统满足： (1) 输入速度为1时，稳态速度误差不大于1126； (2) 许可的放大器增益不变；

(3) 相角裕度不小于300，截止频率为20。

解：绘待校正系统L'()，由图6-9a得c'36，算出'15.5。表明待校正系统不稳定，且c'c''要求，宜采用串联滞后－超前校正。

图6-9a系统对数幅频特性

由图知，b10，则Tb1/b0.1，于是在60时，L''()的斜率均为－20。

由于要求c''20，故可得16dB 因此，已校正系统开环频率特性为

Gc(j)G(j)126(1ja)

j(1j/60)(1j/a)(1j/63)令''20,30，由

''90arctan20/aarctan20/60arctan126/aarctan20/63 可以求出a8.9，于是校正网络为

Gc(s)(10.112s)(10.1s)

(10.71s)(10.016s)验算：''33.730，满足指标要求。

6-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

G(s)K

s(10.1s)(10.01s)试设计串联滞后超前校正装置使校正后系统具有相角裕度400，增益穿越频率c20rads，静态速度误差系数K100s1。 解：由题意 KvlimsGp(s)K可得K100

s0 所以增益校正后的开环传递函数为Gp(s)100

s(10.1s)(10.01s)由题意，采用超前和滞后分别设计的滞后超前装置，即

G(s)Gc1(s)Gc2(s), Gc1(s)1T1s1T2s, Gc2(s)

1T1s1T2s其中1,1，且不一定等于1。

设计超前部分：根据题目要求，超前部分至少应再提供超前角25，故取超前装置的最大超前角为m40，由此可算的，由1T1c0.2174209.33，故T10.107 因此，超前部分的传递函数为Gc1(s)1T1s10.107s

1T1s10.023s1sin400.2174

1sin40由于它的零点和对象的一个极点十分接近，故该取T10.1,0.23 所以Gc1(s)10.1ss10 4.34810.023ss43.48设计滞后部分：要使20rads成为增益穿越频率，必须满足

可解得20lgGc2(j20)20lg14dB，即5 Gp(j20)Gc1(j20)Gc2(j20)1，令1T2c/54，得T20.25，所以 滞后部分的传递函数为Gc2(s)1T2s10.25s1s4

1T2s11.25s5s0.8从而可得，超前滞后装置的传递函数为

Gc(s)(10.1s)(10.25s)(s10)(s4)0.87

(10.023s)(11.25s)(s43.48)(s0.8)校正后的开环传递函数为

Gp(s)Gc(s)100(10.25s)

s(10.01s)(10.023s)(11.25s)验算，c20rad/s,44.97,K100s1，符合要求。

6-11 已知系统开环传递函数为：

G(s)K

s(10.5s)(10.1s)试设计PID校正装置，使系统K10，(c'')500且c''4。 解：令KKv10，作待校正系统L'()，如图6-11a。 由图6-7知，c'4.47,(c')0

图6-11a 系统特性曲线

设PID校正装置传递函数为Gc(s)则校正后系统频率特性为

(11s)(12s)(1s1)(1s2)

1ss1G(j)Gc(j)K1(1j1)(1j2), K1K1

(j)2(1j2)(1j10)由于校正后为Ⅱ型系统，故Kv的要求肯定满足，系统开环增益可任选，由其他条件而定。

初选c''4。为降低系统阶次，选22，并选10.1,c''0.4，此时

G(j)Gc(j)''cK1(1j0.4)

(j)2(1j10)其对数幅频特性应通过截止频率4，故由近似式得K11.6，从而K4。

验算：(c'')arctanc''0.4arctanc''1062.5 满足设计要求。

K1c''/0.4''2c1

6-12 设系统结构图如图6-1所示，图中，G1(s)K1，

T0s1G2(s)K2K，G3(s)3，其中，K10~6000可调，K212，

(T1s1)(T2s1)s

图6-1 习题6-12示意图

K31400，T00.014，T10.1，T20.02。试设计反馈校正装置H(s)，

使系统满足K150，%40%，ts1。

解：令K15000，画待校正系统G0(s)150的对数幅

s(10.014s)(10.02s)(10.1s)频特性曲线，如图6-12a。由图6-9得c'38.7 由对数幅频特性可得G(s)150(10.25s)，因此

s(10.014s)(12.86s)(10.0133s)G2(s)H(s)2.86s

(10.25s)(10.1s)(10.02s)图6-12a 系统对数幅频特性曲线

当475时

(4)18090arctan0.254arctan0.14arctan0.02444.3，因而小闭环稳定。

由于G2(s)已知，故有H(s)0.238s0.25s 0.9510.25s10.25s验算，K150,,Mr1.27,%27%,ts0.63，符合设计要求。

6-13 设系统结构图如图6-2所示，待校正系统的开环传递函数为：

40

s(10.003s)G0(s)试用三阶最佳工程设计法设计校正装置Gc(s)。

图6-2 习题6-13示意图

解：选Gc(s)作为PI调节器，即Gc(s)s1Ts

40(1s)/T

s2(10.003s)校正后系统开环传递函数为G(s)Gc(s)G0(s)确定校正装置参数和T，40.0030.012,40/T1/(80.0032)，即

T0.0029

于是PI调节器为Gc(s)10.012s14.14(1)

0.0029s0.012s本题如采用最小Mr设计法，取H5，则可得PI调节器为

Gc(s)10.015s15(1)

0.003s0.015s6-14 设复合控制系统如图6-3所示，图中，Gn(s)为顺馈装置传递函数；

G2(s)1s2。Gc(s)Kts，G1(s)K1；为测速发电机及分压器的传递函数；

试确定K1，Gn(s)及Gc(s)，使系统输出量完全不受扰动n(t)的影响，且单位阶跃响应超调量%25%，峰值时间tp2。

(a)

(b)

解：

(1G1G2GC)GnG2s2K1GC(s)Gn(s) N(s)21G1G2GCG1G2sK1GC(s)K1要使系统输出完全不受扰动影响，应使N(s)0，于是s2K1GC(s)Gn(s)0 即 Gn(s)s2K1GC(s)s2K1Kts

系统对输入的开环传递函数为

2nG1G2K1 G(s)221G1G2GCsK1Ktss2ns按题意要求 %e120.25,tpn122

从而解得 ln4(ln4)220.404,n211.7172

22.984,Kt因此 K1n2n0.471 K1于是 Gc(s)Kts0.471s,Gn(s)s2K1Ktss21.387s

1．计算机控制系统的组成部分有哪些？它的特点是什么？

答：计算机控制系统由硬件部分和软件部分组成，其中硬件部分主要由主机、外部设备、过程输入输出设备和广义被控对象组成，软件部分包括系统软件和应用软件。计算机控制系统的功能强大而且安全可靠。归纳起来，主要有如下几个特点：

（1）可以同时实现模拟变送器、控制器、指示器、手操器以及记录仪等多种模拟仪表的功能，并且便于集中监视和操作；――利用了计算机的存储、数字运算和显示功能；

（2）一台计算机可以同时控制多个回路，并且还可以同时实现DDC、顺序控制、监督控制等多种控制功能――利用了计算机的快速运算功能；

（3）可以实现模拟控制难以实现的复杂控制规律，如最优控制、自适应控制、多变量控制等等――利用了计算机强大的信息处理能力；

（4）计算机控制系统的调试、整定灵活方便，系统控制方案、控制策略以及控制算法只需要修改软件即可实现；

（5）利用网络分布结构可实现计算机控制管理集成系统； （6）计算机控制系统中同时存在连续性和离散性两类信号。 2．计算机控制系统与经典自动控制系统在信号上有什么不同？

答：经典自动控制系统的信号是模拟信号，而计算机控制系统的信号是数字信号。 3．什么是采样定理？采样周期的一般选择原则是什么？

答：一个连续时间信号f(t)，设其频率带宽是有限的，其最高频率为m，如果在等间隔点上对该信号f(t)进行连续采样，为了使采样后的离散信号f*(t)能包含原信号f(t)的全部信息量。则采样角频率（s）只有满足表达式s2m，采

样后的信号f*(t)才能够无失真地复现f(t)，否则不能从f*(t)中恢复f(t)，这个定理就称为采样定理。

采样周期的一般选择原则是：TS4．试推导零阶保持器的传递函数？ 解：零阶保持器的输入输出关系式为

fh(nTt)fh(nT) 0≤ΔtTm。 2该式表明，零阶保持过程是由于理想脉冲e(nT)(tnT)的作用结果。如果给零阶保持器输入一个理想单位脉冲(t)，则其脉冲过渡函数gh(t)是幅值为1，持续时间为T的矩形脉冲，并可分解为两个单位阶跃函数的和：

gh(t)1(t)1(tT)

对脉冲过渡函数gh(t)取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数：

1eTs1eTsGh(s)

sss5．求下列函数的Z变换 （1） f(t)1eat

6

s(s2)

1（2）f(t)

4（4）F(s)s2

(s1)(s3)t（3）F(s)

解：（1）F(z)Z[1eat]

Z[1(t)]Z[eat]

zz aTz1zez(1eaT)2 z(1eaT)zeaT11（2）F(z)Z[]zn1(4Tz)1(4Tz)2(4Tz)n

4n04tnT在上式中，若(4Tz)11，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得

14TzF(z)T T11(4z)4z1（3）将F(s)展开成部分分式：

F(s)633

s(s2)ss2查Z变换表，可得：

F(z)3zz 3z1ze2T3z(1e2T)2 2T2Tz(1e)ze（4）将F(s)展开成部分分式：

F(s)s21111

(s1)(s3)2s12s3查Z变换表，可得：

F(z)1z1z T3T2ze2ze1z(eTe3T)22T z(ee3T)ze4T6．求下列函数的初值和终值

10z1 （1） F(z)

(1z1)2

14z13z2（2）F(z)

12z16z22.5z3z2(z2z1)（4）F(z)2 2(z0.8z1)(zz0.8)z5（3）F(z)2

z4z3解：（1）由初值定理得

f(0)limf*(t)limF(z)

t0z10z1lim10 z(1z1)2f()limf*(t)lim(z1)F(z)

tz110z1 lim(z1) 12z1(1z)（2）由初值定理得

f(0)limf*(t)limF(z)

t0z14z13z2lim1 z12z16z22.5z3f()limf*(t)lim(z1)F(z)

tz114z13z2lim(z1)0 z112z16z22.5z3（3）由初值定理得

f(0)limf*(t)limF(z)

t0zlimtz50

zz24z3z1f()limf*(t)lim(z1)F(z) lim(z1)z1z50 2z4z3（4）由初值定理得

f(0)limf*(t)limF(z)

t0zz2(z2z1)lim21 z(z0.8z1)(z2z0.8)由于F(z)的四个极点都在单位圆内，故可以用终值定理求解。

f()limf*(t)lim(z1)F(z)

tz1z2(z2z1)lim(z1)2 z1(z0.8z1)(z2z0.8)0

7． 求下列函数的Z反变换

z（1） F(z)

z0.5

z2 （2）F(z)

(z0.8)(z0.1)0.5z2（3）F(z)

(z1)(z0.5)（4）F(z)tTz

(z1)(z2)解：（1）查Z变换表，可得f(t)2（2）将F(z)展开，得

8z1z F(z)7z0.87z0.1查Z变换表，可得

tt81TTf(t)0.80.1 77（3）将F(z)展开，得

F(z)z0.5z z1z0.5查Z变换表，可得

f(t)10.50.510.5tTt1T

（4）将F(z)展开，得

F(z)12 z1z2查Z变换表，可得

f(t)122t1T21

tT8． 求下列系统的Z传递函数

(1) y(k)2y(k2)3y(k4)u(k)u(k1) (2) G(s)2

s(0.1s1)解：（1）对方程两边取Z变换得：

(12z23z4)Y(z)(1z1)U(z)

Y(z)1z1 G(z)

U(z)12z23z4（2）将G(s)展开成部分分式

G(s)222

s(0.1s1)ss10查Z变换表，可得：

G(z)2z2z 10Tz1ze2z(1e10T)2 z(1e10T)ze10T

图7-10 习题9系统示意图

9．已知一离散系统如下图所示，试分析要使系统稳定，K的取值范围。 解：从上图可以得出系统的闭环传递函数为： W(z)KT

z1KT根据系统稳定性的充要条件可得： 当1KT1 0K2时，系统稳定，否则系统不稳定 T10．已知一离散系统的闭环特征方程为：

D(z)z31.03z20.43z0.000

试用Routh判据判断系统的稳定性。 解：针对上式做W变换，即将zw1代入得： 1wD(w)2.45w33.62w21.52w0.40

作Routh表如下：

w3 w2 w1 w0

2.45 3.62 1.25 0.4

0

1.52 0.4 0

由于Routh表第一列均大于零，故系统稳定。