湖南长沙市南雅中学2020届数学中考模拟试卷

一、选择题

1．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）

A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸

2．经党批准、批复自2018年起，将每年秋分日设立为“中国农民丰收节”，据国家统计局数据显示，2018年某省夏季粮食总产量达到23000吨，将数据“23000”用科学记数法表示为（ ） A．238.9×10

4

B．2.3×10

6

C．23.×10

5

D．23×10

＝2

＝

3

3．如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若2

，则下外说法正确的是（ ）

A.AB＝AE B.AB＝2AE C.3∠A＝2∠C 的图象与轴交于点

时，

D.5∠A＝3∠C

，顶点坐标为；②

；③

，与轴的交

；④

4．如图，已知二次函数点在

和

之间（不包括端点）．有下列结论：①当

．其中正确的结论有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5．如图，是由5个小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

axx226．若整数a使关于x的不等式组的解为x2，且使关于x的分手方程

xx2233x1a54的解为正整数，则满足条件a的的值之和为（ ） 4xx4A．12

B．11

C．10

D．9

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1k1x的图象与反比例函数y2k2的图象交于xA(4,2)，B(4,2)两点，当y1y2时，自变量x的取值范围是（ ）

A．x4

C．x4或0x4

B．4x0 D．4x0或x4

8．如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠E等于( )

A．59° 9．在49，B．35° C．24° D．11°

170

，-327，sin30°，tan30°，（﹣10），12，-这八个数中，整数和无理数33B．2个，2个

C．2个，3个

D．3个，3个

分别有（ ） A．3个，2个

10．若一次函数yaxb（a,b为常数且a0）满足如表，则方程axb0的解是（ ）

x 2 1 4 0 1 0 2 2 D．x3 3 4 y A．x1 6 2 C．x2 B．x1 11．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．

A.1 B.2

2C.3 D.4

12．如图所示，二次函数yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的图象的一部分与x轴的交点

A在(2,0)与(3,0)之间，对称轴为直线x1.下列结论：①ab0；②2ab0；③3ac0；④

abm(amb)（m为实数）；⑤当-1A．2 二、填空题

B．3 C．4 D．5

13．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个红球、3个白球、2个绿球，任意摸出一球，摸到白球的概率是_____．

14．已知关于x、y的二元一次方程组xy5m22

，则4x﹣4xy+y的值为_____．

x2ym115．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是_____． 16．一次函数

的图象经过第二、三、四象限，则的值可以是______(写出一个即可).

17．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是_______. 18．方程

320的解是_____． x2x3三、解答题

19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F． （1）求证：ED是⊙O的切线；

（2）若AD＝42，AB＝6，求FD的长．

20．计算：

（1）|2﹣1|+（3.14﹣π）0+（

1﹣13）+8． 21x2x24x4（2）+2÷

xxxx121．如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°．

（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）：

①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A； ②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD＝∠BAC． （2）请判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由．

22．如图，在“飞镖形”ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）“飞镖形”ABCD满足条件 时，四边形EFGH是菱形．

23．如图,在平面直角坐标系中,直线y=

3kx+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为y 4x

(1)求出线段AB的长

(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;

(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。

1﹣1

）﹣2sin45°+|1﹣2|+（π﹣3.14）0 225．已知A,B,C是半径为2的O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作O的切线，

24．计算：（

交AB的延长线于点D. (Ⅰ)如图1，求ADC的大小；

(Ⅱ)如图2，取AB的中点F，连接OF，与AB交于点E，求四边形EOCD的面积.

【参】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C C D A D A D A 二、填空题 13．

C B 3． 1014．36

15．﹣2或﹣1或0或1或2． 16．-1（答案不唯一，17．

即可）

1 613 5122. 718．x三、解答题

19．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可求得∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”可得AE∥OD，然后再由垂线的定义和切线的判定即可证明；

（2）连接BD，由切线的性质及勾股定理可求出BD的长，然后再根据三角形相似的判定和性质求得BF＝

2DF，然后再在Rt△ODF中，求DF即可. 4【详解】

（1）证明：连接OD，如图， ∵OA＝OD， ∴∠2＝∠3， ∵AD平分∠EAB， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AE∥OD， ∵ED⊥CA， ∴OD⊥ED， ∵OD是⊙O的半径，

∴ED是⊙O的切线； （2）连接BD，如图， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°． ∴BD＝AB2AD262(42)2＝2，

∵EF是⊙O的切线， ∴OD⊥EF， ∴∠4+∠5＝90°， ∵∠3+∠5＝90°， ∴∠4＝∠3＝∠2， ∵∠F＝∠F， ∴△FBD∽△FDA，

BFBD2∴， DFAD42∴BF＝2DF， 42

2

2

在Rt△ODF中， ∵（3+BF）＝3+DF， ∴（3+

2222

DF）＝3+DF， 4122． 7∴DF＝

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定、切线的性质及判定、勾股定理等知识点，综合性比较强，熟练掌握基础知识是解题的关键. 20．（1）2；（2）【解析】 【分析】

（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂和立方根，再计算加减可得； （2）先计算除法，再计算加法即可得． 【详解】

（1）原式＝21122（2）原式＝

x1．

x22x2；

1x2x1， xx(x1)(x2)211＝ xx(x2)x21＝

x(x2)x(x2)x1＝ x(x2)＝

x1．

x22x【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算法则．

21．（1）详见解析；（2）直线BD与⊙A相切，理由详见解析． 【解析】 【分析】

（1）①以点A为圆心，以BC的长度为半径画圆即可；

②以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与边AB、AC相交于两点E、F，再以点B为圆心，以同等长度为半径画弧，与AB相交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧相交于点N，作射线BN即可得到∠ABD；

（2）根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再根据平行线间的距离相等可得点A到BD的距离等于BC的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线BD与⊙A相切． 【详解】

解：（1）如图所示；

（2）直线BD与⊙A相切． ∵∠ABD＝∠BAC， ∴AC∥BD，

∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC， ∴点A到直线BD的距离等于BC， ∴直线BD与⊙A相切． 【点睛】

本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，直线与圆的位置关系的判断，是基本作图，难度不大．

22．(1)见解析；（2）AC=BD 【解析】 【分析】

（1）连接AC，根据三角形的中位线定理求出EH＝AC，推出平行四边形EFGH即可； （2）根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】

11BD，HG＝AC，EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EF∥22（1）证明：连接AC．

∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点． ∴EF、GH分别是△ABC、△ACD的中位线． ∴EF∥AC，EF＝

11AC，GH∥AC，GH＝AC， 22∴EF＝GH，EF∥GH，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2） “飞镖形”ABCD满足条件AC＝BD时，四边形EFGH是菱形AC＝BD， 故答案为：AC＝BD． 【点睛】

本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键． 23．（1）10（2）-12；（3）不变，25 【解析】 【分析】

(1)首先求出图象与坐标轴交点坐标,进而得出AO,OB的长,即可利用勾股定理求出AB的长;

(2)首先作CD⊥y轴于点D,求出∠BAO=∠CBD再利用△ABO≌△BDC,进而得出C点坐标,即可得出k的值 (3)首先连接FC交AP于M,利用△ABD≌△CBF(SAS),得出∠BAD=∠DCM,进而利用勾股定理求出PF2-PC2=DF2-CD2,求出即可 【详解】

（1）

由y=

3x+6与x、y轴分別交于点A,点B， 4得:x=0时,y=6,y=0时,x=-8 故A(-8,0),B(0,6) ∴AO=8, OB=6 ∴AB=6282=10 (2)作CD⊥y轴于点D,

∵∠ABO+∠BAO=90°，∠CBO+∠ABO=90°, ∴∠BAO=∠CBD 在△ABO和△BDC中,

BOABDC∠OABCBD AB BC∴△ABO≌△BDC(AAS), ∴CD=OB=6, BD=OA=8 ∴OD=BD-OB=8-6=2 ∴C(6,-2) ∴k=6×(-2)=-12 (3)连接FC交AP于M ∵AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠ACB=45° ∵EF⊥AC

∴∠BDR=∠EDC=45° ∵∠ABC=90° ∴.∠BFD=∠BDF=45° ∴BD=BF

在△ABD和△CBF中 BABDCBFABD BC BA∴△ABD≌△CBF(SAS) ∴∠BAD=∠DCM ∴∠DMC=∠ABD=90°

∴PF2-PC2=(FM2+ MP2)-(CM2+MP2)=FM2-CM2=(DF2-DM2)-(CD2-DM2)=DF2-CD2 ∵D是BC的中点 ∴BD=CD=5 .∴BF=5

∴DF=5252 =52 ∴PF2-PC2=(52) 2-52=25 【点睛】

此题考查反比例函数综合题，解题关键在于做辅助线，利用全等三角形的性质来计算 24．4 【解析】 【分析】

根据特殊角的三角函数值进行计算即可. 【详解】 解：原式＝4﹣2×

2+2﹣1+1 2＝4﹣2+2﹣1+1 ＝4． 【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数的计算,这是基本知识点，应当熟练的掌握. 25．(Ⅰ)∠ADC=90°；(Ⅱ)S四边形EOCD23. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由切线的性质可得出∠OCD=90°，根据平行线的性质可得∠ADC=180°-∠OCD，即可得出答案；（Ⅱ）连接OB，由四边形OABC是平行四边形可证明△AOB是等边三角形，根据F是AB的中点可求出∠FOB=∠FOA=30°，进而可求出OE的长，根据∠OCD=∠ADC=90°，可证明四边形EOCD是矩形，根据矩形面积公式即可得答案. 【详解】 (Ⅰ)∵CD是

O的切线，C为切点.

∴OCCD，即OCD90. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴ABOC，即ADOC.

有ADCOCD180. ∴ADC180OCD90. (Ⅱ)如图，连接OB，则OB=OA=OC. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OCAB. ∴OAOBAB. 即AOB是等边三角形. ∴AOBABO60， ∵F是AB 的中点， ∴AF=BF ， ∴FOBFOA∴BEO90.

在RtBEO中，FOB30，OB2， ∴

1AOB30. 2OE3，可得OE3. cos30OB2又由(Ⅰ)：OCDADC90 ∴四边形EOCD为矩形. ∴S四边形EOCDOEOC23.

【点睛】

本题考查切线的性质、等边三角形的判定、矩形的判定及锐角的三角函数，证明△AOB是等边三角形是解题关键.