第３５卷第４期 电气电子教学学报 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＥＥ Ｖ０ｌ＿３５ Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２０１３ ２０１３年８月 “信号与 ｌ口 —ＩＪ 系统＂中复指数信号的教学方法 曹聚亮 ，丹梅 （国防科技大学１．机电工程与自动化学院；２．电子科学与工程学院，湖南长沙４１００７３） 摘要：“信号与系统”课程的重要特点之一是各章节、各知识点之间环环相扣，充分认识并利用这一特点，是学生学好、教师讲好该课程的法宝 之一。本文以常用信号这一知识点中的复指数信号为例，对其教学方法进行了探讨，提出了讲授和学习复指数信号的三层次法，归纳总结了该 知识点在课程的各个章节中的体现，强调了深入理解复指数信号对于课程学习的重要性。 关键词：信号与系统；复指数信号；欧拉公式 中图分类号：Ｇ６４２．０ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８－０６８６（２０１３）０４－００５９－０４ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｓｉｇｎａｌ ｉｎ Ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ ＣＡＯ Ｊｕ－ｌｉａｎｇ，ＤＡＮ Ｍｅｉ （Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＤｅｆｅｒ￣ｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ Ｓｉｇｎａｌｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｉｓ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅ ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｎｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｐｏｉｎｔｓ．Ａ ｆｕｌｌ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ａｎｄ ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ ｔｈｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｉｓ ａ ｍａｇｉｃ ｗｅａｐｏｎ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｐｒｅｆｅｃｔ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ．Ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｉｇｎａｌ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａ— ｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｉｓ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ．Ａｎ ｉｎｄｅｐｔｈ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｉｇｎａｌ ｉｓ ｓｉｇｎｉｉｃａｎｔｆｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｇｎａｌｓ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍｓ；ｃｏｍｐｌｅｘ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｉｇｎａｌ；Ｅｕｌｅｒ ｆｏｒｍｕｌａ ０ 引言 “信号与系统”是电子信息学科的基础课程。 该课程的特点之一是各章节、各知识点之间的关联 特别紧密，可以说是环环相扣。本文以该课程中常 对虚指数信号和复指数信号实际上是一知半解，如 果在这个地方不讲透，会对后续若干个重要核心概 念的学习埋下隐患。笔者结合多年的教学实践，对 指数信号这部分内容尝试了多种不同的讲授方式， 获得一点心得和体会汇集于本文。 用信号这一知识点中的复指数信号为例，对该部分 内容的教学方法进行了探讨，并说明了该知识点在 课程各个章节中的体现。 １讲授复指数信号的三层次法 首先，对学生的数学知识进行必要的复习，帮助 他们牢固建立复函数的实部、虚部与模、相角之间的 关系，并引导学生将复数表示形式的理解延伸运用 由于学生在数学课程中都学习过指数函数，所 以一般在课堂授课时，对这部分内容往往是一带而 过，学生甚至都没有留下什么印象。但实际上，学生 在数学中所学习的仅仅是实指数函数和正弦函数， 至复函数。这部分内容可以在上一次课结束前留作 课下的预习，上课时仅仅用三、五分钟的时间作简要 收稿日期：２０１３－０１．１９；修回日期：２０１３－０３—１９基金项目：湖南省普通高校教学改革立项项目（湘教通［２０１２１４０１号） 作者简介：曹聚亮（１９７６一），男，博士，副研究员，主要从事信号处理和导航技术的教学科研工作，Ｅ—ｍａｉｌ：ｃｊｖｌ＠１６３．ｃｏｎ 丹梅（１９７４一），女，硕士，副教授，主要从事信号处理和电子系统建模仿真的教学科研工作，Ｅ．ｍａｉｌ：ｄａｎ—ｍｅｉ＠１６３．ｃｏｍ 电气电子教学学报 第３５卷 回顾即可。 然后，我们从三个层面上来讲授复指数信号；① 数学层面一通过欧拉公式，将虚指数信号与正弦信 号统一，以复指数信号为统称，给出不同类型的复指 数信号的函数表达式；②图形层面一借助函数波形 图使学生认识复指数信号的图形表达，为抽象的数 学函数表达式建立形象化的直观理解；③应用层 面一对每一类指数信号，告诉学生可以用来描述什 么样的物理现象，使抽象问题具体化。下面就三层 次法作具体阐述。 １．１预备知识复习 复习复数的数学表示形式，引导学生将复数表 示形式的理解延伸运用至复函数。 在“信号与系统”课程中，信号的数学表示就是 函数，由于大多数学生对函数的理解常常局限于实 函数的范围，因此应当花少量的时间，引导学生对复 数的表示及运算做简要复习。 实数用一维就可以表示，复数就要用二维。直 角坐标系中的横轴与纵轴分别表示实部和虚部，称 为复平面，复平面上的一个点表示一个复数。根据 数学知识，如果一个复数的实部和虚部分别为ａ和 ｂ，其模和相角分别为ｒ、０，即复数有两种表示形式ｚ ＝ａ＋ｊｂ和ｚ＝ｒｅ ，那么如下关系成立： ｓｉｎＯ＝ｂ／ｒ．ｃｏｓＯ＝ａ／ｒ 上面所述内容虽然看似简单，但引导学生将自 己所熟悉的复数的两种表示形式之问的关系，延伸 到复函数，有助于对复指数信号的理解和把握，并且 为将来根据频率响应求解幅频特性和相频特性打下 基础。 １．２第一层次——数学层面 数学层面可借助欧拉公式，建立虚指数信号与 正弦信号的联系，强调二者本质上是一致的。 “信号与系统”课程中用到的是复变函数中的 欧拉幅角公式，它将复数、指数函数与三角函数联系 起来。本文不全面展开讨论此公式，仅仅针对它在 本课程中的应用展开讨论。 （１）欧拉公式的基本形式 课程中用到的欧拉公式的表示形式有２组，每 组２个公式共４个公式，表示形式分别如下： （２） 欧拉公式可以借助马克劳林级数来证明¨Ｊ。 本课程不需要给出数学证明，而是引导学生从复数 的实部／虚部与模／Ｎ角的关系，借助二维直角坐标 系与极坐标系的关系来理解欧拉公式。 ｅ 表示模为ｌ，相角为０的复数，利用三角函数 关系，那么在直角坐标系下，则是实部为ｃｏｓＯ，虚部 为ｓｉｎＯ，即： ｅｊ。：ｃｏｓＯ＋ ｓｉｎＯ 这即式（１）的第一个式子。以此式为基础，很 容易推导出其余３个公式（此处不再赘述）。 （３）借助欧拉公式，理解虚／复指数信号 将式（１）和式（２）中的０替换为 。ｔ，得到本课 程中欧拉公式的表示形式： ｅ ＝ＣＯＳＯ）０ｔ＋ｊｓｉｎｗｏｔ １ … ｅ ＝ｃｏｓ（．ｏｎｔ—ｊｓｉｎｗ０ｔ Ｊ （＝ｏｓ 。 ：（ ＋ ）／２ １ （４） ｓｉｎｗ０ｔ＝（ｅ 一ｅ ‘）／２ 由式（３）和式（４）可见，虚指数信号的实／虚部 为正弦信号，就是角频率为０５＇ 的等幅振荡信号，或 称为单频振荡信号。可以说，虚指数信号与正弦信 号本质上是一样的。例如傅里叶级数中，三角形式 的傅里叶级数是以正弦信号为基本信号进行展开， 而指数形式的傅里叶级数就是以虚指数信号为基本 信号进行展开。两种形式的傅里叶级数可以借助欧 拉公式实现相互转换。可以说，在实数域讨论问题 时用正弦信号，而扩展到复数域就用虚指数信号。 同样，将式（１）和式（２）中的０替换为Ｓ ： ＋ ｊ ０ｔ，则有 ｅ。。‘＝ｅ‘ 。ｎ＝ｅ ［ＣＯＳＯ，）ｏｔ＋ｊｓｉｎｗ０ｔ］ ＝ｅａｔＣＯＳＯ）０ｔ＋ｊｅ ｓｉｎｗ０ｔ （５） 所以说，复指数信号的实部／虚部就是幅度按照 指数规律变化的振荡信号。 （４）合并归纳统一为指数信号的概念 实指数信号、正弦信号、虚指数信号等一般都包 含在本课程中常用信号（或称为基本信号）中讲授。 如前面所述，通过欧拉公式，把这几类信号归纳合 并，统一为指数信号，表达式统一为 （ｔ）＝ｅｓ ，（一。。＜ｔ＜∞） 第４期 曹聚亮，丹梅：“信号与系统”中复指数信号的教学方法 ６１ 其中ｓ。＝ ＋ 为复常数。 再根据 。的不同取值情况，分为以下四类： 第一类：ｓ。＝０时， （ｔ）＝１为直流信号； 第二类：５。为实数即虚部０９＝０时， （ｔ）＝ｅ 为 实指数信号； 第三类：ｓ。为纯虚数即实部 ＝０时， （ｔ）＝ｅ 为虚指数信号； 第四类：ｓ。为一般的复数时， （ｔ）＝ｅ钿 为复指 数信号。 １．３第二层次——图形层面 图形层面可借助函数波形图来加深理解。 学习这部分内容时，学生普遍感觉实指数信号 容易理解，但是虚指数信号和复指数信号不好理解。 学生经常问的一个问题就是，它们的波形图是什么 样子呢？笔者认为，可以借助三维图形来理解复指 数信号的波形，以时间ｔ为ｘ轴，实部和虚部分别为 Ｙ和ｚ轴建立坐标系。那么虚指数信号和复指数信 号的波形如图１所示。 实部 －１ ０ ｔ 实部 －１ ０ ｔ （ａ）虚指数信号 （ｂ）复指数信号 图１信号的三维波形图 如果沿着虚（或实）轴看过去，得到的二维图形 就是其实部（或虚部）的波形，如图２所示。可以看 出，用二维的图形，完全可以表示信号振荡的快慢和 幅度的增减变化规律，而且更清晰直观，所以今后在 讨论虚指数信号或复指数信号时，可以仅仅研究它 们的实部随ｔ的变换规律。 （ａ）虚指数信号 （ｂ）复指数信号 图２信号实部的波形图 １．４第三层次——应用层面 应用层面可借助数学模型来理解指数信号。 指数信号可以作为自然界和科学研究领域中很 多物理现象的数学模型＿３］。例如，正弦信号可以用 来描述ＬＣ系统的自然响应、指数增长信号，可以用 来描述原子爆炸或复杂化学反应中的链锁反应等物 理过程；指数衰减信号，可以用来描述诸如放射性衰 变现象和ＲＣ电路等系统的响应。机械系统的间歇 振动以及音乐中的单音声压振动，汽车减震系统的 响应也是指数衰减振荡的例子。 ２指数信号在课程其他章节的体现 按照常规的讲授方式，本课程首先学习的是时 域分析方法，指数信号仅仅是常用信号中的一种。 在课堂授课中用于讲授指数信号的时间可能仅仅是 几分钟，学生甚至都没有留下什么印象。但实际上 在本课程的后续内容，而且往往是重要的核心内容 中，处处都有指数信号的身影。 ２．１频域分析中的指数信号的身影 虚指数信号ｅＪ￣Ｏｏｔ是连续时间频域分析的基本信 号 。 （１）傅氏级数及傅氏变换中的虚指数信号 指数形式的傅氏级数为 （ｔ）＝∑Ｘｋｅ业 ．．＾＝一∞ 这个表达式可以理解为，从频域上看，连续时间 周期信号是频率为基频整数倍的虚指数信号的加权 和。而且利用欧拉公式，可以实现指数形式和三角 形式这两种形式的傅里叶级数的相互转换 Ｊ。 傅氏反变换的定义为 （￡）＝ Ｉ‘１ＴＪ Ｘ（ｊｃｏ）ｅ ｄｗ 我们可以理解为，从频域上看，连续时间非周期 信号是无穷多个频率连续变化的虚指数信号ｅＪｔｏｔ加 权后的连续和。 （２）虚指数信号作用于线性时不变ＬＴＩ系统 以频率为∞ 的虚指数信号ｅＪｔＯ０ｔ作为输入信号 作用于ＬＴＩ系统，得到的输出为 ｒ∞ ｅ Ｉ ｈ（ｔ）ｅ－ＪｏＪｏｔｄｔ＝ｅ Ｈ（ｊ ０） Ｊ．∞ 其中，Ｈ（ｊｔｏ。）为系统的频率响应Ｈ（ｊｔｏ）在 ＝ 。处 的取值。 再次借助欧拉公式，可以得到正弦信号ｃｏｓ （∞。ｔ）作为输入信号作用于ＬＴＩ系统时的输出表达 式 ： ｌＨ（ｊｔｏ０）Ｉ ｃｏｓ［０９０ｔ＋／Ｈ（ｊｗｏ）］ 其中，ＪＨ（ｊｗ。）Ｉ和 日（ｊ 。）分别为系统的幅频响应 ６２ 电气电子教学学报 第３５卷 Ｉ Ｈ（ｊ ）Ｉ和相频响应 日（ｊ０９）在∞＝ 。处的取值。 学生通过学习该知识点要掌握的概念是，单频 信号通过ＬＴＩ系统，依然是单频信号，只是幅度和相 位有所改变，幅度被系统的幅频响应在该频率点上 的取值所乘，相位被系统的相频响应在该频率点上 的取值所加。这正是对系统进行频域分析的基础。 ２．２复频域分析中指数信号的身影 复指数信号ｅ 是连续时间复频域分析的基本 信号。 （１）拉氏变换定义中的复指数信号 将实变量扩展到复变量，拉氏反变换为 １ ｒ ＋Ｊ∞ （ｔ）＝ ￣ｒ３ ＪⅡ一１Ｊ Ｘ（ｓ）ｅ ｄｓ 町以理解为：从复频域看，信号 （ｔ）是无穷多 个复指数信号ｅ 加权后的连续和。 （２）拉氏变换与傅里叶变换的关系 拉氏变换的定义式为 （ ）：ｆＪ （￡）ｅ－Ｓｔｄ￡ ∞ 其中，ｓ为复变量，其实部和虚部分别记为 和 ，将Ｓ＝ｒ厂＋ｊ 代入上述定义式中，得到 ∞ ∞ Ｘ（ ）＝Ｊ ∞ （ｔ）ｅ‘ “ｄｔ＝Ｉ［√一∞ （ｔ）ｅ ］ｅ’ ‘ｄｔ 上式说明，ｚ（ｔ）的拉氏变换是Ｘ（ｔ）ｅ 的傅里叶 变换。我们可以理解为： （ｔ）的拉氏变换就是将ｘ （￡）与ｓ的实部 为因子构成的指数信号ｅ－ｏ－ｔ相乘后 的傅里叶变换，当然这里的 不是常量。这也就解 释了为什么拉氏变换的收敛域只与ｓ的实部有关， 即拉氏变换收敛域在复平面上基本形状是带状。 （３）复指数信号作用于ＬＴＩ系统 以复指数信号ｅ 作为输入信号作用于 Ｉ系 统，得到的输出为 一∞ ｅ ‘ｆＪ一∞ ｈ（ｔ）ｅ ｏｔｄｔ：ｅＳＯｔＨ（ｓ０） 其中， （ｓ。）为系统函数Ｈ（ｓ）在Ｓ＝Ｓ。处的取值。 傅氏变换物理意义明确，而拉氏变换无法用直 观的图形表示，物理意义不易理解。我们可通过上 述分析比较方法，可以将复频域分析与频域分析相 对应，用实变量０９扩展为复变量Ｓ，虚指数信号ｅ 扩展为复指数信号ｅ 的观点来理解拉氏变换。 ２．３ 系统稳定性分析中指数信号的身影 系统稳定的一个充要条件是单位冲激响应ｈ （ｔ）绝对可积，对于因果系统而言，稳定的条件可以 表述为极点位于复平面的左半平面。而指数信号的 波形特点与系统稳定性分析是完全一致的。这也体 现了始终贯穿本课程的一个基本观点一信号与系统 是密不可分的。例如指数信号ｅ ，同时它又称为系 统的响应模式，对应系统的特征根（极点）为Ａ。Ａ 实部的正负，决定了响应模式的变化趋势（是指数 增长还是指数衰减）。所以说，在讲解“指数信号” 这部分内容时，可以给出复平面上小同位置处的Ａ 所构成的指数信号ｅ 的波形图（当Ａ为复数时，给 出的是其实部的波形图），如图４所示。使学牛认 识到， 一＋∞时ｅ 是否衰减到０，取决于实部是否 为负。当讲解到因果系统稳定性分析时，“极点化 于复平面的左半平面”这一因果系统稳定性的条什 就显得水到渠成了。 Ｉ、 【、 ０ ● 、 Ｘ 、ｘ 图３ 复平面上指数信号的波形 ３ 结语 笔者在近几年的教学实践中，采用如本文中所 述的方式讲授指数信号这部分内容（约占用３０分 钟左右）。与以往按照常规方式讲授相比，学牛普 遍反应较好，有利于深入理解虚指数信号和复指数 信号，为后续知识点的学习卡１‘下＿『良好的基础。 参考文献： ［１］Ｂ．Ｐ．Ｌａｔｈｉ著．刘树棠等译线性系统１ ｊ信号（第２版）［Ｍ］． 晤安：两安交通大学出版社２００６ ４ ｆ２］ 吴京等著．信 分析与处婵．：Ｍ Ｊ．北京：电子Ｉ ｝｝｛版社 ２００８．７ ［３］Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍ著．刘树棠译．信 ；‘ 系统（第 版）．［Ｍ］阿发： 西安交通大学出版社．１９９８．３ ［４］郑君里等．信号与系统引论．［Ｍ］北京：高等教育出版社 ２００９
