幂函数的图像与性质

学习目标

1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；

2. 体会幂函数的变更规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

学习重点

幂函数的图像与性质 学习难点

幂函数性质的应用 学习过程

问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？

2（1）边长为a的正方形面积Sa，S是a的函数；

（2）面积为S的正方形边长aS，a是S的函数；

3（3）边长为a的立方体体积Va，V是a的函数；

1（4）某人ts内骑车行进了1km，则他骑车的平均速度vtkm/s，这里v是t的函数；

（5）购买每本1元的练习本w本，则需支付pw元，这里p是w的函数.

(aR)yx：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.

判断下列函数哪些是幂函数. ①

12y123x；②y2x；③yxx；④y1.

作出下列函数的图象：（1）13yxyx（4）；（5）．

从图象分析出幂函数所具有的性质.

观察图象，总结填写下表：

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 yx yx2 yx；（2）yx12；（3）yx2；yx3 yx 12yx1 1.幂函数的性质： 象变更规律：．

练习：下列关于幂函数的命题中不正确的是( )

A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不成能在第四象限内

C 当yxn的图象经过原点时,一定有n>0

D 若yxn是奇函数,则yxn在其定义域内一定是减函数

例1讨论f(x)x在[0,)的单调性.

解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取x1,x2[0,)，且x1x2，则 f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2)x1x2x1x2x1x2，

因为x1x2，x1x20，所以x1x2x1x20， 所以f(x1)f(x2)，即f(x)x在[0,)为增函数。 点评：证明函数的单调性要严格依照步调和格式写。 例2利用单调性比较大小： （1）5与5 ； （2）与2；

1.10.8（3）0.9与1.2.

关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较；

②异底同指，用幂函数单调性比

较；

③异底异指，构造中间量（同底

或同指）进行比较。

例3：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。 （1）yx321213(2a)22323 （2）yx23 [达标训练]

f(x)x1. 若幂函数在(0,)上是增函数，则（ ）.

A．>0

C．=0

43B．<0 D．不克不及确定

2. 函数yx的图象是（ ）.

A. B. C. D.

3. 若a1.1,b0.9，那么下列不等式成立的是（ ）. A．a1.在下列函数中，定义域为R的是（） A yx B yx C y2x D yx1 32122.下面给出了5个函数○1yx1○2yx○3y2x○4yx○5

221223yx1，其中是幂函数的是（）

13A ○1○5 B ○1○2○3 C ○2④ D ○2○3○5 3. 下列函数中,既是奇函数，又在(0,)上是减函数的是（） A 3yxyx B y2 C D yx3 x3134.函数yx与函数yx的图象（）

A 关于原点对称 B 关于y轴对称 C 关于x轴对称 D 关于直线y=x对称 5.函数yx图象的大致形状是（）

23 A B C D

7.如图,函数yxm和yxn在第一象限的图象分别是实线和虚线的图象,那么一定有

A nn>0 D n>m>0

8 .已知幂函数的图象过点( 2 , 14) ,则该函数的图象( )A 关于原点对称 B 关于y轴对称 C 关于x轴对称 D 关于直线y=x对称 9.函数yx34在区间上是减函数 110.已知x2x3，求x的取值范围。