艺术家埃舍尔的数学之美

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艺术家埃舍尔的数学之美

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影响人类文明的11个数学方程式

除了芭蕾、绘画外，R&Bow还将建构思维数学作为美商教育的重要课程，这可绝非仅仅为了让孩子在应试教育中得到好成绩，而是我们认为，数学思维本身就是艺术思维的重要组成部分，更是让孩子懂得如何将天马行空的想法有逻辑地组织在一起、将想象力和

创造力发挥最大作用的重要因素。今天R&Bow就和你一起探索艺术家埃舍尔绘画里的数学奥妙。

摩里茨·科奈里斯·埃舍尔(M·C·Escher，18～1972)，世界最著名的视错觉画家，这位荷兰版画大师是独一无二的，在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路——恐怕今后也很难再有。

埃舍尔的创作笔记《不规则图案的平面规则分割》等，证明了他和达·芬奇一样，都

是致力于对艺术创作的基本原理做彻底探究的艺术家。

埃舍尔写道：“在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看，他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。”

但是这个“花园”让埃舍尔迷恋终生。他曾说：“当我开始做一个东西的时候，我就想，我正在创作全世界最美的东西。如果那件东西做得不错，我就会坐在那儿，整个晚上含情脉脉地盯着它。”

↑《茂比乌斯带II》，埃舍尔，1963年 石版画埃舍尔的作品尽显科学的造型之美。他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了第一次重要的画展, 这个画展得到了《时代》杂志的好评, 并且获得了世界范围的名望。Escher把自己称为一个“图形艺术家”，他专门从事于木版画和平版画。随着他的创作发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，工作中经常直接用平面几何和射影几何结构。埃舍尔的创作经常受到数学元素的启发，以木版画、石版画、铜版画等闻名于世。他的作品展示了在工程学上“不可行”的构造，探索建筑，镶嵌图形的无限可能性。

尽管埃舍尔没有经过系统的数学训练——他对数学的理解几乎都是凭视觉和直觉的一一埃舍尔的作品中却有强烈的数学元素。他创作的很多作品关于内克尔立方体、彭罗斯三角等无法实现的结构。埃舍尔的很多作品都采用了叫做“镶嵌图形”的重叠瓷砖。数学家和科学家尤其喜爱埃舍尔的作品，他们欣赏他对多面体和变形几何的应用。比如在作品《重力》中，彩色的乌龟将头伸出一个星型的十二面体中。埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带。当一条丝带被扭曲后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接起来的。但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易，1963年的《茂比乌斯带II》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画。埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。

↑《三个世界》，埃舍尔埃舍尔的传记作家布鲁诺·恩斯特看着即将完成的《画廊》原稿，对画家抱怨说，画面左上角的柱子太难看了，埃舍尔听后沉思了片刻，然后表情严肃地说：“可你要知道，那根柱子只能那样，我经过了非常精密的计算才把它造出来，不会有别的可能！”

看埃舍尔的画，是一桩奇妙的游戏。你的第一印象会是精致，非常精致，具有极强的装饰美感。然后，问题就来了，这些画开始向你的智力、甚至是你的正常思维逻辑发出挑衅：人沿着阶梯一直往下走，最后却又“自然而然”地回到高处；瀑布溅落，水顺着水渠

“正常”流淌，却最终流回高处，如此循环往复；空间开始错杂，上下、左右、内外通通颠倒，你的大脑开始晕眩……

不过没关系，如果知道下面这些信息后，你也许会觉得安慰———这个“怪画家”的拥趸经常是名满天下的数学家、物理学家和哲学家。诺贝尔物理学奖得主杨振宁用他的画作《骑士》作自己所著《基本粒子发现简史》的封面，牛津大学数学教授罗杰·彭罗斯的论文是他创作灵感的来源，他曾在剑桥大学国际结晶合会上做演讲和作品展示……

↑《变形I》，木刻版画，埃舍尔，1937评论家说，和绝大多数依靠神秘的感性来创作的艺术家不同，埃舍尔给人们留下深刻印象的带有数学意味的奇妙作品都是精确的理性的产物。他所构造的世界，每一种形象都是经过严密计算的结果，他的创作过程俨然像一位数学家，然而就画面的美丽程度而言，又毫无疑问是一位真正的艺术家。数学(主要在几何学方面)是埃舍尔艺术的灵魂，但抛开其作品背后的黎曼曲面、不可能三杆、拓扑几何等数学命题，仅从视觉印象来审视，我们感受到的仍将是美。

埃舍尔曾说：“在我的作品里，我想证明，我们生活在一个美丽、秩序井然的世界里，而不是一个漫无标准的混乱世界里，虽然它有时候看来如此。”

他在一封给观众的回信中写道：“你的小女儿不是第一个被我的画逗笑的小孩。赢得他们的喜爱是我最大的自豪。”

埃舍尔是一位伟大的“翻译家”，他从事物的精确、规则、秩序等特性中发现了美，

并且将自己所感悟到的这种美通过能够在一般人心中激起愉悦感的视觉形象传达出来，也就是说，他赋予了这种抽象的“美丽”以具体的表象。数学家和物理学家用数字符号描述这个世界，而在埃舍尔看来，“如果我们想构建一个宇宙，不能让它是模糊不清的抽象物，而必须是可以识别的具体形象”。

埃舍尔画中的数学元素1镶嵌图形

↑《天与水》(Sky and Water I,1938)，埃舍尔规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般来说, 构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状，例如经常在地板上使用的方瓦。然而，埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的；并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由。他的兴趣是从1936年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的瓦的图案。

他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些“是我所遇到的最丰富的灵感资源”。1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：“在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了……，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见，它不是。数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。”

↑《爬虫》，埃舍尔无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的——他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊人的，

又是美丽的。

在《蜥蜴》里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风, 然后又重新陷入原来的图案。埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式。在《发展1》中，可以追溯到这个方形的镶嵌图形从边缘到中间的不断扭曲转化。

2多面体

↑《有序和无序》，埃舍尔规则的几何体, 例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅力。他把它们作为许多作品的主题，并且在许多作品中作为第二重要的元素出现。仅仅只有五种多面体被称为理想的多面体。四面体有四个三角形的表面；正方体有六个正方形的表面；八面体有八个三角形的表面；十二面体有十二个五边形的表面；而二十面体有二十个三角形的表面。在木版画四个常规的几何体中，埃舍尔把理想多面体中的四个匀称地交叉了，

并且使它们呈半透明状以便每个都可以透过其它得以辨认。

有许多有趣的几何体可以通过理想几何体的交叉和星形化来获得，即几何体的每一面都由表面为三角形的金字塔形来替代，通过这种变换，多面体转变成了一个尖锐的, 三维的星形几何体。在埃舍尔的作品《有序和无序》中我们可以发现.一个美丽的星形十二面体，星形的轮廓隐现在一个水晶球中，严谨构造的美丽与在桌子上混乱摆放的其他的杂物形成了鲜明的对比。注意一下还可以猜测到光的来源，球面上反射出左上方有一个明亮的窗口。

↑《星空》，木雕版画，埃舍尔，19481916年左右．埃舍尔随Adria船公司环游地中海；也正是此时，数学在他作品中豹影响初露端倪；具体来说，他开始对顺序性与对称性产生兴趣。埃舍尔将这次地中海之行描述为“史无前例的灵感来源”，并不断成熟其油耗浮雕印刷术。1917年，他在画家史蒂格文的印刷公司制作蚀刻版画。1919年，在贺林

的建筑装饰艺术学院修读建筑学。当时得到美术老师梅斯昆泰的熏陶，对装饰设计艺术产生浓厚兴趣，尤其是木刻版画。自那时开始，埃舍尔的生活便于他的作品紧密联系在一起。3空间的形状

↑《三个方向交叉的平面》，木版画，埃舍尔在埃舍尔用数学观点完成的所有重要的作品中，最重要是处理空间性质的那些。他的木版画《三个方向交叉的平面》是评论这些作品的好例子, 因为它显示了艺术家对空间维度的关心，以及用二维的方式表现三维的能力。在下一节我们将看到，埃舍尔经常利用了后者的特征来获得令人震惊的视觉效果。

受一位名叫H.S.M.Coxeter的数学家在一本书中绘画的启发，埃舍尔创造了许多美丽的双曲线空间的作品，例如木版画《圆形III》。这是非欧几里德几何学的二种空间之一，在埃舍尔的作品中它的原型实际上源自法国数学家Poincaré。要得到这个空间的感觉，必须想象你实际上是在图像的内部。当你从它的中心走向图像的边缘，你会像图像里的鱼一样缩小, 从而到达你移动后实际的位置，这似乎是无限度的，而实际上你仍然在这个双曲线空间的内部，你必须走无限的距离才能到达欧几里德空间的边缘，这一点确实不是显而易见的。然而, 如果你能仔细观察的话，你还可以注意到一些其他的事情，例如所有类似的三角形都一样大小，以及你能画没有直边却有四个直角的图形，这就是说，这个空间没有任何正方形或矩形。这确实是一个奇怪的地方！

↑《画廊》，埃舍尔，1956年 石板画除了欧几里德几何学和非欧几里德几何学，埃舍尔对拓扑学的视觉效果也很感兴趣, 拓扑学是在他艺术创作的鼎盛期发展起来的一个数学分支。拓扑学关注空间那些扭曲后依然不变的性质，这种扭曲可以是拉长或弯曲，但不是撕裂或折断。拓扑学家们忙于向世界展示那些奇怪的物体，茂比乌斯带也许是最主要的例子，埃舍尔利用它创作了许多作品。它有一个令人感兴趣的性质——它只有一条边和一个面。这样, 如果你在《茂比乌斯带II》上跟踪蚂蚁的路径，你将发现它们不是在相反的面上走，而是都走在一个面上。制作一个茂比乌斯带很容易，只要用剪刀把纸剪成条状，将它扭曲180度, 然后用胶水或胶带粘住两头就可以了。如果你试图把这条东西纵向的剪成两半，请你预想一下会发生什么情况？

另外一幅很著名的平版画, 叫做《版画廊》，它探索了空间逻辑与拓扑的性质。一个年轻人在一个艺术画廊正看着海边小镇的一角，在船坞边有一家小店，在店里面是一个艺术画廊及一个年轻人，他正朝着海边小镇的一角望去……但是等一下！发生了什么？埃舍尔的所有作品都值得细细观赏，但是这一次尤其特别。某种程度上，埃舍尔把空间由二维变成了三维, 使人感觉到那个年轻人同时既在画像内又在画像外面。

达到这样效果的秘密在艺术家创作这幅平版画的格子草图中有所显现注意格子的边框连续地按顺时针方向排列这一规律，并且特别注意这个技巧的关键：在中间的一个洞。一个数学家将这叫做奇异点，一个空间的结构不再保持完整的地方，要将整个空间编织成一个无洞的整体是非常困难的，埃舍尔也宁可保持这种现状，并且把他的签名“initials”放在了奇异点。

4空间的逻辑

↑《高与低》，石版画， 1947，埃舍尔这里所说的空间的逻辑是指物理中的物体之间的那些空间的必要的关系，在产生违背视觉的悖论时，被叫做视错觉。所有的艺术家都关心空间的逻辑，而且许多艺术家深入地探索了它的规律，例如毕加索。埃舍尔知道：立体几何学决定了空间的逻辑，同样地，空间的逻辑也经常决定其自身的立体几何学。他经常使用的空间逻辑的特征之一是展示在凹面和凸面物体上的光和阴影。

埃舍尔关心的另一个主要方面是透视。在任何透视画中，趋向消失的点被选择用来代表无穷远。正是由于Alberti、Desargues以及其他一些人在文艺复兴时期对透视和趋向无限的点的研究直接导致了现代射影几何学的出现。通过一些不平常地消失的点的引导并迫使一幅作品的基本元素去服从于它们，埃舍尔能够使作品《上和下》、《高和低》表现的场景取决于观众观察它的目光如何。在他的名为《升降》的透视作品中，艺术家总共设置了五个消失点：上方的左边和右边，底部的左方和右边，以及中心。其结果是：在作品的下半部观众是在往上看，但是在作品的上半部，观众是在朝下看。为了强调他所取得的成功，埃舍尔把上半部和下半部合成了一幅完整的作品。

↑《瀑布》，埃舍尔，1961这种另类的“不可能的绘画”用二维的图形表示并构造一个三维的物体，它们主要依靠人的大脑通过视觉暗示来理解，埃舍尔创作了许多这种表现反常规图形的作品。其中最吸引人的一个创意源于一个叫罗杰·彭罗斯的数学家所提出的不可能的三角形。1961年的《瀑布》是埃舍尔最后期的奇异建筑式图画，他依据彭罗斯的三角原理，将整齐的立方物体堆砌在建筑物上。这种不合情理的结构亦见于1958年的《瞭望塔》，作品中的建筑物和人物手持的立方体都是怪异的。埃舍尔的作品乍看起来没

有什么奇怪的地方，但其实当中蕴藏的幻觉事物是最引人入胜的。参观者每每把他们认识的真实世界，与埃舍尔的虚构幻象相混比较，而产生迷惑。这幅版画中，两个彭罗斯三角形被结合成一个不可能的形状。一个人如果明白空间的逻辑对如此的一个构造就必然会觉得不可思议：瀑布是一个封闭系统, 但它却能使作坊车轮象一台永动机一样连续地转动，这就违背了能量守衡的定律。5自我复制和信息科学

↑《绘画的手》，埃舍尔，1948我们对埃舍尔的艺术所作的最后研究包括了其艺术与信息科学、人工智能的关系，这在先前的研究中被忽略了，但是这一点的重要性被道格拉斯·R·霍夫施塔特细心的发现了，并写在他赢得1980普利策奖的《Escher：一条永恒的金带》一书中。埃舍尔表现的一个核心概念是自我复制——这被许多人认为已经逼近了大脑知觉这个难题的核心，并且至今计算机还不具备成功地模仿人类大脑处理信息能力。版画《绘画的手》和《鱼》用不同的方法表现了这个思想。前者的自我复制是直接的，概念化

的。双手互绘对方，互绘的方式就是意识思考和构建自己的方式，神奇的是，在这里自我和自我复制是连结在一起的，也是相互同等的。

↑《三个圆球II》，埃舍尔另一方面, 在《鱼》这幅画中，自我复制具有更大的功能；人们也许宁愿称之为自我相似。这样木板画描述的就不仅是鱼，而是所有的有机体。因为，尽管从物理角度来说，我们不是由微小的自我复制建造起来的，但从信息理论角度说，我们的确是以这样一种方式建立起来的，因为我们身体上的每一个细胞都以DNA的形式携带了我们个体的完整信息。在更深层次的水平上，自我复制是一种我们的认知世界互相反映和互相交错的结果。我们每一个人都像一本书里的正在读他（或她）自己的故事的人物，或者像反映它自身风景的一面镜子那样。许多埃舍尔的作品都展现了相互交错的世界这个主题。正如通常埃舍尔对这个想法的处理那样，版画《三个圆球II》利用了球形镜面的反射原理。这里，正如Hofstatder提到的那样“世界的每个部分似乎都包含它，也似乎都被包含进去了”。这些球体彼此相互反射，折射出艺术家自己、他工作的房间和他用来画这些圆球的纸。

1969年，埃舍尔的经济顾问和传记作者Jan W. Vermeule建立了M.C.埃舍尔基金会(M.C.Escher Stitching)，几乎把埃舍尔的所有作品以及几百件他的真迹版画都转移到了

这个机构。后来，基金会又把这些作品转借给了海牙市立博物馆。在Escher去世之后，他的三个儿子解散了基金会，并联合拥有这些艺术作品。1980年，一个美国艺术品商和海牙市立博物馆买下了这些作品的所有权，后者最终获得了所有的文件资料和小部分的艺术作品。

来源：R＆BowBabyFashion