高中数学教师应聘考核试题(附答案解析).doc

高中应聘考核试题

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给岀的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1・若复数（/—3Q + 2） + （Q-1）7是纯虚数，则实数Q的值为（）

A A 5.2 C.1 或2

D.-\\ 2. “兀>1”是“丄vl”的（

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.充分而不必要条件

3. 甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人,

则不同分配方案共有（）

A. 336 B. 306 C. 258 D. 296

4. 执行右边的程序框图，若P = 0.8,则输出的“二（）

力.3 5.4 C.5 D.6

5.

的大致形状是（

1^1

函数尸=型 （0<^< 1）的图象

）

6.将函数y=sin（2x+（p）（0<（p<7u）的图象沿x轴向右平移三个单位后，得到的

图象关

8

丁丁轴对称，则卩的一个可能的值为（）

7

若卜+日的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式D. X项的系数为

B. 7

C. 14 D. 28

8.给出下列命题:

① 函数/任）=绎沖 的定义域是（-3,1 ）;

rVl-2

② 在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是丄“

2

③ 如果数据X1、X2、…、x n的平均值为X,方差为S，则3XI+5、3X2+5、…、

3Xn+5的方差为9S2；

22④ 直线ax—y +2a = Q与圆x +y = 9相交； 其中真命题个数是 A. 1 B. 2 C・ 3

2

（）

D・ 4

9. 已知点M是AABC的重心，若A=60°f AB AC = 3f则|而|的最小值为

A. V3 B. 41 C.少

3

D. 2

）

10. 数列｛%｝满足q=2, %=仏二1,其前n项积为7；则瞌4=（

% +1 _ A.- 6 6

B. —丄

C・ 6 D・ 一6

11. 若抛物线y2=2x上两点A （xi, yi）、B（X2, yi）关于直线y二x+b对称，且yiy2=-l,

则实数b的值为（）

（A）— （B）— （C）— （D）—

2 2 2 2

12. 设奇函数/⑴在［T,l］上是增函数，且_/（-1）=-1,当兀［—1,1］时，

-2at+\\对所有的炸［一1,1］恒成立，则/的取值范围是（・）

C . f>2 或 tv—2 或 r=0 A. &2 或/W—2 或 f=0 D. —2EW2

B・ &2 或/W—2

第II卷

二•填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的指定位 置）

13. __________________________________________________ 如下左图所示，曲线y=x2-l及x轴围成图形的面积S为 ___________________________ ・

y \\ O

亍-\\

14. 如上右图，己知四棱锥的底面是边长为Q的正方形，顶点在底面的射影是底

面的中心，侧棱长为迈7则它的外接球的半径为 _________

x>0 °

15•设变量x,丿满足约束条件：2兀+川3则\"十+尸的最大值为 _____________ .

x + 2y>3

16. 对于数列｛如｝,定义数列｛an+-an｝为数列｛如｝的“差数列”,若Q】=2, ｛如

的“差数列”的通项公式为2\则数列⑺”｝的前〃项和S”= ________ .

三、解答题：（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.请

将答题的过程写在答题卷中指定的位置）

• • •

17. （本小题满分12分）在厶ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b，c ,且方vc, V^7 = 2bsin/ • （ I ）求角B的大小；（II ）若a = 2, b = * ,求c边的长和△MC 的面

积

18. （木小题满分12分）某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司中报，总公司 有I、II、III三个部门进行评估审批，已知这三个部门的审批通过率分别为丄、

2 2 2

兰、兰.只要有两个部门通过就能立项，立项的每个项目能获得总公司100万的 3 3

投资.

⑴求甲项目能立项的概率；

（2）设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X,求X的概率分布列及 数学期望.

19. （本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，点E

是棱AB上的动点.（I ）求证：DA】丄ED［；

（II） 若直线DA|与平面CED］成角为45。，求竽的

AB 值；

（III） 写出点E到直线0C距离的最大值及此时点E 的位置（结论不要求证明）

20. (本小题满分12分)

如图6,圆C:(X + 2)+/=36,尸是圆C上的任意

一动点，A点坐标为(2, 0),线段PA的垂直平分线I 与半 径CP交于点Q.

(1) 求点0的轨迹G的方程；

(2) 已知3, Q是轨迹G上不同的两个任意点，M为 的中点.①若M的坐标为M (2, 1),求直线所 在的

直线方程；②若不经过原点，且不垂直于x轴，点O 为轨迹G的中心.求证：直线和直线OM的斜率之积是常数(定值).

2

图6

21

-(本小题满分12分)已知函数/⑴少-,21\"

(I )若p = 2,求曲线/G)在点(1,/(1))处的切线方程;

(II) 若函数/任)在其定义域内为增函数，求正实数〃的取值范围；

(III) 设函数g(x) = -,若在［1划上至少存在一点％,使得/(x0)>g(x0)成立，求

实数〃的取值范围.

四.选考题(从下列二道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，

则按首做题计入总分，满分10分.请将答题的过程写在答题卷中指定的位

• • • • •

置)

22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲.

)

Y — 3

0

\".c (&为参数)，在同一平面育角坐标系中，

y = 2sin&

X - —x 将曲线C上的点按坐标变换

得到曲线C'・ / 1

3

(1) 以原点为极点、兀轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C'的极坐标方 程； (2) 若点/在曲线C'上，点B (3,0),当点力在曲线C'上运动时，求力3中 点P

的轨迹方程.

23. (本小题满分10分)选修4一5：不等式证明选讲. 已知函数 /(x)=』9-6x + 兀

22 + yjx +8x4-16 •

(1)求 /(%> /、(4)的解集；

(2 )设函数g(x) = kx — 3k,kwR,若不等式/(X)< g(x)的解集为空集，求〃的 取

值范围.

参

一、 选择题：BCABD CBCBD AA 二、 填空题：

13、|

二、解答题：

14、普a 15、9

16、2w+1~2.

17.解：(I )因为VJQ = 2bsin/,所以 Visin21 = 2sinBsin/, .................................... 2 分

因为OV/VTF,所以sin/HO,所以sin〃 =——, ............................... 4分

2

因为OVBVTT,且GVbvc,所以3 = 60° ....................................................... 6 分

(II) 因为。=2, b = * ,所以由余弦定理得(\"尸=才 + C-2X2XCX-,即

厶 2

10分

SA“=」Qcsin B == SABC ---- 2

12分

18. 解：解: ⑴设I、II、 III三个部门审批通过分别计为事件儿B, C,则PG4) 解得c = 3或c--\\ (舍)，所以c边的长为3 •

甲项目能立项的概率为：P = P(ABC + ABC + ABC + ABC) 122121 1121222 =—x —x — + —x —x- + —x-x — +

—x —x —=—

233233233233 3 7 甲项目能立项的概率为兰；

3

分

(2)X的可能取值为 0,100,200,300. 7分

................ 6

..............................

p(x=o)=c?(y = 哨,P(X = 100) = C]x|x(l)-|,

P(x = 200) = C； x(|)x| =害，P(X = 300) = C； x(|) =善,

2

3

X的概率分布列为:

X P

0 1 27 10 200 300 0 2 9 4 9 8 27 10分

X的数学期望为WOxjlOO疗+ 200令300x^ 200 (万)• •……

12分

2 2

另解：设通过的项目数为变*,则…3,亍)，*叫，^=100x3x_

=200 71 •

19 •解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(O,O,O),A (1, 0, 0),

B( 1,1,0), C(O,1,O),D1(O丄2),A1(1,O,1),设 E(l,m,O) (0(I )证明：万瓦= (1,0,1), ED}=(-l-m,r)

两•亟= 1x(—1) + Ox(—加)+ lxl=O 所 以 DA1 丄 EDI. ■…4分

(II )设平面CED1的一个法向量为v = (x,y,z),则

\\ v • CD、= 0 --- - ------------------ < ____ ，而CQ=(O,—1J), C£ = (l,w-l,O) \\vCE = O

-y + z = 0,

所以L+(“i”=o取刊得y*卄，得-(1-刃丄1).

一

因为直线DA1与平面CEDI成角为45o,所以sin45°=|cos v>|

所以協^芈所以金壬h拿解得町―］。分

（Ill）点E到直线D1C距离的最大值为心，此时点E在A点处.——12分

2 20.解：（1）圆C的圆心为C （-2, 0）,半径尸6, |C4| = 4.

连结0,由已知^\\QA\\ = \\QP\\f

所以\\QC\\ + \\QA\\ = \\QC\\-^\\QP\\ = OP = r = 6>\\CA\\. 根据椭圆的定义，点0的轨迹G是中心在原点，以C、/为焦点，长轴长等于6 的椭圆，

即 a=3, c=2, Z? =i7 - c = 9-4 = 5 ,

2

2

2

2 2

所以，点0的轨迹G的方程为y+ ^ = 1.

（2）①设3、Q的坐标分别为（兀1，必）、（x2,y2）,

（5分）

（

5^2 +9v2 = 45

: *

5%；+9尹；=45

两式相减，得5（壬一兀2）（兀1+兀2）+ 9（尹1一”）

（必+尹2）= °，

一 - 一

当的中点M的坐标为（2, 1）吋，有fxi+x2=4>

山+儿=2

所以 2O（X］ — ------------------------------------------------ ） +18（尹］—儿）=0 ,即 kBD — ——= ----------------------------------- •

xx -x2 9 故3D所在的直线方程为尹一 1二一¥（X — 2）,即10x + 9y — 29 = 0. （9分）

②证明：设〃（和尹］）,£）（兀2小），且山工兀2，由①可知kBD =—― 二-

\"“I +兀） 兀］一兀2 9（»+力）

又5=呼 5（兀| +兀）江丛+尹2 = _5 X] +兀2 9（尹1+儿）“+七

9

（12 分）

21 •解.（I）当〃 =2 时，函数 f（x） = 2x- -21nx, /（l） = 2-2-21nl = 0 .

厂⑴= 2 + 4--，曲线r（x）在点（1, / （I））处的切线的斜率为厂（1） = 2 + 2-2 =

2・ f X

从而曲线/⑴在点（1,/（1））处的切线方程为p - 0 = 2任-1）,即尸2兀-2・・・

・4分 （ II ） 厂⑴*+〃-2 =京-于 + 〃

兀〜 X

兀

令h(x) = px-2x + p f要使/(x)在定义域(0, + oo)内是增函数，只需h(x) > 0在 (0,+

2©o)内恒成立.

2由题意p>0 , h(x) = px -2x + p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

X = —G (0,+ 8), •・力(兀)min = p

时，

， ------- •只需 P M0,即 pMl

P /»(兀)3 0,/'(兀)3 0

P P ・・・/(兀)在(0,+8)内为增函数,正实数P的取值范围是［1,4-00)・ 9分

(III) ・・・g(Q丄在[l,e]上是减函数，

X

x = e 时,g(x)min = 2 ；工=1 时,g(x)max = 2e , BP g(x)e[2,2e],

① 当pvO时,h(x) = px -2x + p ,其图象为开口向下的抛物线,对称轴兀J在y轴

P 的左侧，且A(0)<0 ,所以/(x)在xe [l9e]内是减函数.

2当 p = 0时,h(x) = -2x ,因为 xw [l,el,所以 h(x) < 0 f\\x)=——< 0 , 此时，/⑴在xe [l,e]内是减函数.

故当〃 WO时，/(x)在[1(]上单调递减=> /(x)max = /(I) = 0< 2 ,不合题意；

1 / 1 \\ 1

② 当Ov〃vl 时，由XG [l,e] => x ——M0,所以/'(x) = 〃 x——一 21nxWx 2lnx .

X \\ X J X

又由仃I)知当p = 1时,f(x)在[l,e]±是增函数， ・：X- — - 21nx^e- — - 21ne = e- — — 2<2 ,不合题意；

x e e

③当pMl时,由(II)知/(x)在[1,打上是增函数,/(1) = 0<2, 又g(x)在[1划上是减函数,故只需/⑴唤>g(x)min，xe\\i9e], 而/(兀)max =f{e) = p[e-^\\-2\\ne , g(x)min = 2 ,

I e丿 即 p e-- -21ne?>2,解得 p > 严, \\幺丿 -1

所以实数〃的取值范围是 ...................... 14分

x = 3cos& 22. 【解析】(1)将

尹= 2sin&

1 =—X 3

得C，的参数方程为雪

10 一 1

・・・曲线C'的普通方程为x2+/ = 1・极坐标方程为° = 1

/

.......... 5

y

分

(2)设P(x9y),心』°),又5(3,0),且肋中点为P

所以有:

兀o = 2兀一 3 几=y

2

又点/在曲线C'上，・•・代入C的普通方程xl +尤=1得(2%-3)2 + (2y) = 1

27

・••动点P的轨迹方程为(x-j)2• io分

1

23.【解析】(1) /(x) = VX2-6X + 9 + VX2+8X + 16

二 Jo_3)2 + J(X + 4)2 =|X-3| + |X + 4|

x<-4 -4 < x < 3

3-x+x+4>9 3-x-x-4>9

・・・ f(x) > /(4) BP|x-3| + |x + 4|>9

x>3 x—3+x+4»9

解得不等式①：x<-5； ®：无解®： x>4 所以f(x) > /(4)的解集为{兀|x<-5或兀\

分

由图可知，要使得/(X)的图象恒在g(x)图象的上方 ・・・实数k的取值范围为一1