２０１３全国计算机网络与通信学术会议优秀论文 Ｔｌｅｌｅｃｏｍ ｍａｒｋｅｔ 基于信号包络的灰色模型的滚动轴承故障预测 张 登 陈 前 （南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，２１００１６） 摘要：提出了一种基于信号包络的退化特征量提取方法，对滚动轴承全寿命周期振动信号 进行ＥＭＤ分解，找出各阶段与原始信号相关度最大的内蕴模式分量，对此内蕴模式分量进行 包络谱分析，预测滚动轴承故障开始发生的时间及部位，并计算此内蕴模式分量包络的幅值 均值，将其作为刻画轴承健康状态的退化特征量，形成退化特征序列，根据经验设定轴承失 效对应的退化特征量阀值。用退化特征量序列训练新陈代谢灰色模型，用此模型预测退化特 征量的变化趋势，估计退化特征量到达阀值的时间，并据此来预测滚动轴承的疲劳寿命。通 过对ｚＡ一２Ｉ１ ５双列轴承试验分析，结果表明，此种退化特征量提取方法结合灰色预测方法可 以有效地预测出滚动轴承故障开始发生的时间、部位以及疲劳寿命。 关键词：内蕴模式分量，相关度，包络分析，灰色模型，故障预测 Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ ｅｎｖｅｌｏｐｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ｏｆ ｈｅ ｔｂｅａｔｉｎｇ ｉｎ ｈｅ ｔｗｈｏｌｅ ｌｉｆｅ ｃｙｃｌｅ ａｒｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ＥＭＤ，ｔｈｅｎ ｉｆｎｄ ｔｈｅ Ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ Ｍｏｄｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ＩＭＦ）ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｍｏｓｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｉｎａｌｇｓ，ｔｈｅｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｅ ｅｎｖｅｌｏｐｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｔｉｒｎｓｉｃ Ｍｏｄｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｐｒｅｄｉｃｔ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｄａｍａｇｅ ｏｃｃｕｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｍａｇｅ，ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ＩＭＦ’Ｓ ｅｎｖｅｌｏｐｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｕｓｅｄ ａｓ ｈｅ ｔｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｅａｔｕｒｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｂｅａｔｉｎｇ ｈｅａｌｔｈ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｅａｔｕｒｅ ｌｉｓｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｅａｔｕｒｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｗｉｔｌ１ ｔｈｅ ｆａｔｉｇｕｅ ｆａｉｌｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｔｉｎｇ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｅｍｐｉｒｉｃａｌｌｙ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｌｉｓｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｔｒａｉｎ ｈｅ ｔＧｒｅｙ Ｍｏｄｅ１．Ｔｈｅ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｅａｔｕｒｅ ｔｒｅｎｄ ｉｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｈｅ ｔｒａｉｔｎｅｄ Ｇｒｅｙ Ｍｏｄｅ１． ｈｅ Ｔｔｉｍｅ ｏｆ ｈｅ ｔｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｆｅａｔｕｒｅ ｒｅａｃｈｉｎｇ ｈｅ ｔｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｉｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ａｎｄ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｖａｌｕａｔｅ ｔｈｅ ｆａｔｉｕｅ ｇｌｉｆｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｔｉｎｇ．Ｔｈｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｖａｌｉｄａｔｅｄ ｂｙ ｉｂｒａｔｖｉｏｎ ｓｉｎａｌｓｇ ｏｆ ＺＡ－２ １ １ ５ ｂｅａｔｉｎｇ，ｉｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｐｒｏｐｅｒ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ ｈｅ ｔｔｉｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｍａｇｅ ｏｃｃｕｒｒｉｎｇ，ｔｈｅ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｍａｇｅ，ａｎｄ ｈｅ ｔｆａｔｉｕｅ ｇｌｉｆｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｔｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ ｍｏｄｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ＩＭＦ）；ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ；ｅｎｖｅｌｏｐｅ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｇｒｅｙ ｍｏｄｅｌ（ＧＭ）；ｄａｍａｇｅ ｐｒｏｇｎｏｓｉｓ 引 言 故障预测技术是一门涉及机械、电子、通信、计算机以及材料等多学科综合的新兴学科。 它以设备当前的的状态为起点，结合己知预测对象的结构特性、参数、环境条件及历史数据， 对设备未来的故障进行预测，确定故障性质、类别、程度、部位以及疲劳使用寿命。目前， 机械故障预测技术通常分为三类：基于失效模型的预测方法、基于概率统计的预测方法和基 于数据驱动的预测方法【¨。基于失效模型的预测方法是从机械裂纹扩展等失效机理出发进行 预测的［２，３１；基于概率统计的预测方法是在某生存概率下估计产品的统计寿命 ； 数据驱动的预测方法是近年研究较多的方法，主要是利用一些数据处理方法对机械产品全寿 通信市场・２０１３年１－２月 第１２２页 ２０１３全国计算机网络与通信学术会议优秀论文Ｔｅｌｅｃｏｍ ｍａｒｋｅｔ 命周期各阶段的状态数据进行分析，提取能够刻画设备退化过程的特征量，通过预测模型预 测特征量的变化趋势并以此来估计设备的剩余寿命。常用的设备状态数据为振动信号，振动 ） １ ２ ） ３ ） 信号常用的退化特征量有时域特征指标 ，频域特征指标【 】和时频域特征指标 引。建立预 测模型的方法主要有统计分析法、趋势分析法、时间序列预测法、人工神经网络预测法、模 糊预测方法、灰色预测法、支持向量机以及隐半马尔科夫预测法等。本文采用基于数据驱动 的预测方法，以振动信号为原始数据来进行分析，并提取退化特征量，以灰色预测方法为预 测模型，预测退化特征量的变化趋势，确定退化特征量到达预设阀值的时间，以此来预测轴 承的使用寿命。轴承的振动信号多为非线性非平稳信号，本文先对全寿命周期各阶段信号进 行ＥＭＤ分解，找出各阶段信号ｉｍ／分量与原信号相关度最大的ｉｍｆ分量，对此ｉｍｆ分量进 行包络谱分析，检测出早期故障，并以此ｉｍ／分量的包络幅值均值作为轴承退化特征量， 形成退化特征序列。 １ ＥＭＤ基本理论 经验模态分解（ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｍｏｄｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＥＭＤ）方法是Ｎ．Ｅ．Ｈｕａｎｇ在１ ９８８年提 出一种希尔伯特．黄变换方法，它基于信号局部特征的时间尺度，把信号分解为若干个内蕴 模式分量（ｉｎｔｒｉｎｓｉｃｍｏｄｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ＩＭＦ）之和。分解出的各个内蕴模式分量突出了数据的局 部特征，是一种自适应的时频域局部化分析方法，非常适应与非平稳信号的处理。ＥＭＤ按 频段由高到低地分解出的模式分量要满足两个条件：（１）模式分量的极值（包括极大值和极 小值）数目和过零点数目相等或仅相差１；（２）由极大值确定的上包络与由极小值确定的下 包络计算出的局部均值为零。按照此原则对信号 （ｆ）进行ＥＭＤ分解的步骤如下： 残 Ｓ Ｄ ＳＤ＝ ’分”结果的标准差 满足条件 Ｌ 二一－— 二 Ｌ＜ 时“筛分” 一 ～ 结束，ｓ一般取０．２－０．３。 一 通信市场・２０１３年１－２月 第１２３页 ２０１３全国计算机网络与通信学术会议优秀论文 Ｔｅｌｅｃｏｍ ｍａｒｋｅｔ ２相关度 离散信号 ）和 （ ）的归一化相关系数 反映了２个离散信号 （ ）和 （ ）之间 的相似程度或相关程度，因此，Ｐ 也称为信号 ）和 （，ｚ）的相关度。 Ⅳ ∑ｘ（尼） （尼） ｐ印 ｍａｘｌ Ｎ Ｎ ｌ ｌ∑ （ ）∑ （ ）Ｉ Ｌｋ＝ｌ ｋ＝ｌ Ｊ 可以用式（１）所求得的相关度 来表示某段时间内１￣Ｎ点的２个离散信号 （ ）和 （ ）之 间的相关度。本文把分解后的ＩＭＦ分量与原始信号的相关度大小作为评定指标，识别出包 含主要故障信息的ＩＭＦ分量，分析相关度最大的ＩＭＦ分量并构建退化特征量。 ３ Ｈ ｉ ｌ ｂｅｒｔ包络分析 对于给定的时域信号 （ｆ），其Ｈｉｌｂｅ￣变换为： 日 ＿１＝ ７ｔ＇ｔ万 一万ｅ ｔ 万 定义 （ｆ）的解析信号为ｚ（ｆ）＝ｘ（ｔ）＋ （ ），解析信号的幅值是实信号的包络，包络为 Ａ（ｔ）＝√ （ｔ）＋ （ｆ） 包络信号的时域特征对于描述轴承的性能状态有一定帮助，例如可以利用有效值在一定程度 上描述轴承的故障严重程度；其频域特征在滚动轴承的故障诊断方法中，能够有效识别边频， 从而找出调制信号的特性，进行轴承故障模式分类。因此，本文对各段振动信号包络分别在 频域和时域上进行分析，以此来预测故障开始出现的时间，部位以及使用寿命。 ４灰色模型 灰色理论是华中理工大学邓聚龙教授在１９８２年提出的一种解决信息不完备系统（灰 色系统）的数学方法，在处理小样本、贫信息、不确定问题上有独特优势。灰色预测中最常 用的时模型是ＧＭ（１，１）模型，建模过程如下：ｘＣＴ：Ｎ￣Ｎｘ｛。）＝ （。 （１）， （∞（２），．．．， （。 （ ）） 进行一次累加处理，ｚ…ＩＪ ‘ （ ）＝∑ ‘。 （ｆ），ｋ＝１，２，．．．， ，以数列 ｍ（ ）： ｍ（１）， （２），．．．， Ⅲ ）｝ｉ＝为１基础建立一阶微分方程 ＋ （１）：６称为一阶 ，单变量灰色模型，并记为ＧＭ（１，１），其中一ａ为发展系数，ｂ为灰作用量，均为待定系数。 设参数向量ａ＝［ ， ，Ｙ ＝Ｉｘ‘∞（２）， ‘。’（２），．．．， ‘。’ ）】 ， ＝［一ｚ‘ ２）一ｚ ３ ：：一ｚ‘ ］ ，其中 第１２４页 通信市场・２０１３年１－２月 ２０１３全国计算机网络与通信学术会议优秀论文Ｔｅｌｅｃｏｍ ｍａｒｋｅｔ ｚ‘ （ ）＝去 （ ）＋ ‘ ’（ｋ－１）￣ｋ＝２，３，．．．， 。通过最小二乘法获得ａ＝（ Ｂ） Ｂ，Ｙ ， 求得参数向量。ＧＭ（１，１）模型的响应方程为 （１’（尼＋１）＝［ （。 （１）一皇 ＋ ，将 ‘ （尼＋１）累减还原为原始数据的估计值 ‘。 （尼＋１）＝ ‘ （ ＋１）一 （ ）。 ５在滚动轴承故障预测中的应用 ５．１基于包络信号的ＧＭ预测流程 （１）在全寿命周期振动信号中，等间距时间提取振动信号 （Ⅳ），形成振动信号序列 ｛ （Ⅳ）），ｉ＝１，２，．．．，Ｓ； （２）对振动信号序列中的个段振动信号进行ＥＭＤ分解，获得一组本征模态函数 ｉｍｆｉ∥Ｊ＝１，．．．，ｋ，形成全寿命周期 序列｛ｉｍｆ）ｆ×，； （３）计算第ｉ行的ｉｍｆ序列与原始振动信号 （Ｎ）的相关度，取相关度最大的ｉｍｆ分量， 设为Ｐ序列，来表征故障信息，形成ｆ７ 退化组序列｛ ｉｍＡ …，ｉｍ￣，ｐ），并 计算退化组序列各个 分量的包络信号的的幅值平均值｛ｄ ），ｉ＝１，．．．，Ｓ； （４）ｆｆ；ｉｍｆ退化组序列进行包络谱分析，确定故障首次出现对应的序列，记为ｑ序列，这 样就形成了退化特征序列 ．．，ｄ ），并根据经验确定机械失效对应的退化特征量阀值； （５）利用退化特征序列训练灰色模型ＧＭ（１，１），进亍ｌ一步向前预测，设预测值为ｄ什ｌ；将ｄ ＋ｌ 纳入到退化序列中，并把原有的退化特征序列的第一项去掉，这样构成新的退化特征序列。 （６）重复步骤（５），实现ｈ．步向前预测，判断多步后预测值到达退化特征量阀值的时间， 并据此预测机械的疲劳寿命。 ５．２实例分析 为了验证此方法的有效性，在此利用美国辛辛那提大学提供的轴承实验数据进行分析【９】。 实验经历了从轴承完好到发生故障的全寿命周期过程，实验运行５天后停机，发现轴承１ 出现外圈故障。实验装置如图（１），试验台包括安装在同一个轴上的４个ＺＡ一２１１５双列轴 承，轴承几何参数为中径２．８２５英寸，滚动体数１６，滚珠直径０．３３１英寸，接触角１５．１７。， 主轴转速为２０００ｒ／ｍｉｎ，轴上带有２７２１ｋｇ恒定负载，通过文献【ｌ ｏＪ可计算出外圈滚道损伤特 征频率为２３６．４Ｈｚ。通过ＤＡＱ一６０６２数据采集卡每隔ｌ０分钟采集一次，采样频率为２０４８０Ｈｚ， 数据长度为２０４８０，来获得全寿命周期振动信号。 通信市场・２０１３年１－２月 第１２５页 ２０１３全国计算机网络与通信学术会议优秀论文Ｔｅｌｅｃｏｍ ｍａｒｋｅｔ 达预设的阀值，其疲劳寿命为６５５７ｍｉｎ，预测准确度为９９％，预测效果很好。 ６结论 通过对轴承试验论证分析，结果表明，通过ＥＭＤ方法对振动信号进行分解，找出与原 始信号相关度最大的ＩＭＦ，对该ＩＭＦ进行包络谱分析，可以有效地预测出轴承故障发生的 时间及部位；计算该ＩＭＦ包络幅值均值，将其作为退化特征量，形成退化特征量序列，可 以有效地训练ＧＭ模型并对轴承疲劳寿命进行预测，预测结果与实际疲劳寿命相对一致。 参考文献 ［１】Ｖａｃｈｔｓｅｖａｎｏｓ（３Ｉ Ｌｅｗ ｉｓ Ｆ＇Ｒｏｅｍｅｒ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｆａｕｌｔ Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ａｎｄ Ｐｒｏｇｎｏｓｉｓ ｆｏｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｈｏｂｏｋｅｎ，ＮＪ：Ｗｉ１ｅ，２００６． 【２］Ｃ．Ｊａｍｅｓ Ｌｉ，Ｈｙｕｎｇｄａｅ Ｌｅｅ．Ｇｅａｒ ｆａｔｉｇｕｅ ｃｒａｃｋ ｐｒｏｇｎｏｓｉｓ ｕｓｉｎｇ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｍｏｄｅｌ，ｇｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｆｒａｃｔｕｒｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｓｉｎａｌｇ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ １ ９（２００５） ８３６—８４６． ［３】Ｘｕｅｆｅｉ Ｇｕａｎ，Ｒａｔｎｅｓｈｗａｒ Ｊｈａ，Ｙｏｎｇｍｉｎｇ Ｌｉｕ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｆａｔｉｕｅ ｄａｍａｇｅ ｐｒｏｇｇｎｏｓｉｓ ｕｓｉｎｇ ｍａｘｉｍｕｍ ｅｎｔｒｏｐｙ ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．Ｊ ｎｔＩｅｌｌ Ｍａｎｕｆ（２０１２）２３：１６３—１７１． ［４］Ａｃｈｍａｄ Ｗｉｄｏｄｏ，Ｂｏ－Ｓｕｋ Ｙａｎｇ．Ｍａｃｈｉｎｅ ｈｅａｌｔｈ ｐｒｏｇｎｏｓｔｉｃｓ ｕｓｉｎｇ ｓｕｒｖｉｖａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｕｐｐｏ￣ｖｅｃｔｏｒ ｍａｃｈｉｎｅ［Ｊ］．Ｅｘｐｅｒｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｈ ｔＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ３８（２０１ １）８４３０－８４３７． ［５］Ｗａｈｙｕ Ｃａｅｓａｒｅｎｄｒａ，Ａｃｈｍａｄ Ｗｉｄｏｄｏ，Ｂｏ－Ｓｕｋ Ｙａｎｇ．Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｐｐｒｏａｃｈ ｎｄ ａｓｕｐｐｏ￣ｖｅｃｔｏｒ ｍａｃｈｉｎｅ ｔｏｗａｒｄｓ ｍａｃｈｉｎｅ ｈｅａｌｔｈ ｐｒｏｇｎｏｓｔｉｃｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｉｔｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ２６（２０１１）１６５・１７３． ［６】Ｎａｇｉ Ｇｅｂｒａｅｅｌ，Ｍａｒｋ Ｌａｗｌｅｙ，ｅｔ ａ１．Ｒｅｓｉｄｕａｌ ｌｉｆｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ－ｂａｓｅｄ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ：Ａ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２００４，５１（３）： ６９４．７００． 【７】王红军，张建民，徐小力．基于支持向量机的机械系统状态组合预测模型研究【Ｊ】．振动 工程学报，２００６，ｌ９（２）：２４２～２４５． ［８】曾庆虎，邱静，刘冠军．基于小波相关特征尺度熵的ＨＳＭＭ设备退化状态识别与故障预 测方法研究［Ｊ］．仪器仪表学报，２００８，２９（１２）：２５５９－２５６４． ［９］Ｌｅｅ，Ｊ．，Ｑｉｕ，Ｈ．，Ｙｕ，Ｇ，Ｌｉｎ，Ｊ．：Ｒｅｘｎｏｒｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｓｅｒｖｉｃｅｓ：Ｂｅａｔｉｎｇ Ｄａｔａ Ｓｅｔ，ＩＭＳ， Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｃｉｎｃｉｎｎａｔｉ．ＮＡＳＡ／￣ｎｌｅｓ Ｐｒｏｇｎｏｓｔｉｃｓ Ｄａｔａ Ｒｅｐｏｓｉｔｏｒｙ（２００７），ｈｔｔｐ：／／ｔｉ．ａｌｅ．ｎａｓａ．ｇａｖ／ ｐｒｏｊｅｃｔ／ｐｒｏｇｎｏｓｔｉｃ—ｄａｔａ－ｒｅｐｏｓｉｔｏｒｙ． ［１０］Ｒｕｏｙｕ Ｌｉ，Ｐｏｎｒｉｔ Ｓｏｐｏｎ，Ｄａｖｉｄ Ｈｅ．Ｆａｕｌｔ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｂｅａｒｉｎｇ ｐｒｏｇｎｏｓｔｉｃｓ［Ｊ］．Ｊ Ｉｎｔｅｌｌ Ｍａｎｕｆ，ＤＯＩ １ ０．１ ００７／Ｓ１ ０８４５—００９－０３５３－ｚ． 【１ １］刘思峰，谢乃明等．灰色系统理论及其应用（第四版）［Ｍ】．科学出版社，２００８． 作者简介： 张登，男，１９８８年生，南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，振动 工程研究所，硕士生。 通信市场・２０１３年１－２月 第１２７页
