单调有界原理应用举例

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文章编号 1008 - 1399(2019)05 - 0009 - 0 2Applications of Monotone Boundedness PrincipleLIU Rong, LIU Weijiang, and WANG Fenglan(Department of Basic Science, Air Force Engineering University, Xi'an 710051, China)Abstract By usingthe monotoneboundednessprinciple!thelimitsexistencesofseveralsequencesareproved.Keywords monotoneandboundedness!convergence!limit在一般的高等数学教材中，单调有界原理是作 为描述实数系完备性性质的公理形式出现的，它的

具体内容是丄.Vln（1 + 丄）V丄,（n11） （2）n +1 n n除了上面的例子，一般的高等数学教材中很少涉

单调有界原理设数列｛\"n ｝单调且有界，则 收敛.及其他应用单调有界原理证明数列极限存在的例题. 以下我们给出了几个这方面的例子,供大家参考.显然，单调有界原理包含以下两种情形：例1 证明lim（1 +丄----丄—— lnn）存在.证明设\"n = 1+丄+…+丄—— lnn ,则!n（1） \" ｝单调增加且有上界，则\"n ｝收敛且\"n—lim\"n ;（2） ｛\"n ｝单调减少且有下界，则｛\"n ｝收敛且\"n 11im\"n.作为单调有界原理最著名的一个应用是（1）:通 过证明+1+1）”｝单调增加且有上界，得到重要极

n\"n+1 ~\"n=丄—lll（ 1 + 丄）.n +1 n由（2）式可知，\"n+1—\"nV0 ,所以｛九｝单调减少. 同样由（2）式可知，\"n = 1 +丄----丄一lnn2n〉l n（1+亠）+ l n（1+丄）------十 l n（1 + 丄）—l nn1 2 n限lim（1 +丄）=e,也可以通过证明｛1 +丄）”+1｝单n&! n n调减少且有下界，得至IJlim（1 +丄）\"+1=e.上述结果n&! nn=l n（1+丄）〉0.n所以｛\"n ｝单调减少且有下界.R[&\"n存在.实际上蕴含着一个重要的不等式（1 +丄）VeV（1 +丄），（n11）

nn它的等 式是收稿日期：2 018-11- 2 1

（1）记C= lim（1 +丄----丄——l nn）,称为欧拉常数.n&! 2 n有修改日期：2 019-01-05作者简介：刘荣（1980-）,女,陕西榆林人,硕士 ,讲师,从事数论研1+ 丄+----’ = C+ l nn + en ,

2n其中 lm!n =0.应用（3）式可以求一些和式的极限.（3）究,Email： yee_pu@l 2 6. com10例2 计算Am.解2n高等数学研究2019年9月1

”&8 7,-1n + k由(3)式可知，3n

2'例4计算lim(.nn解设x”=(，则------—工,z”+1 (n + 1)n+1—

1 n+k. — .A — 1 ~k0 A — 1 k0

1 _ 1

n=C + l n(3n) + e— — (C + l nn + !n)=l n3 + e— —由于lims :二 0,lim£33nn = 0,所以l n x” =1 l nn一—1- l n(n + 1)

x'+1 ' '+1丄—1. )lnn— 1 l n(1 + 1)

' '+1 '+1 'lim .例3证明1

8 A - 1'+k证明Am2nAm (ln3 + h— — !n) = ln3.n(2n) !! 存在.(2n + 1)!!1 I nn + 1) n(1 +1)\"

n由(1)式可知,ln x> ( 1q ) In ”>0 , (”13).x'+1 ' '+1 e所以nl3时,x >1即x”｝单调减少.又x” —x'+1n 3 设x.,)备则xn+1xnn + 1 2n + 2n 2n + 3(11,所以x” ｝收敛.设 A = a?—，则 A11.假定 A>1,记 A = 1 +a,a>0.由｛x” ｝单调性可知，当—13时>A = 1+a,

=4 +12n2 +12n + 4 4n3 + 12n2 + 9n槡所以｛©｝单调增加.有—槡n (2n)!!xn —--------(2n+1)!!

(

2 3 2 3 4 5 4 2' 2'5 2n+1 2n+1n> (1 + a)”= .C-ak>n”—)a\\k = 0 22 * 3 * 4 * 5 — * 2n + 13 °「5 ° 6…2n + 1 * 2n + 2由此可得”<2一1，矛盾•故A — 1,此即1 im(— =1.如果有更多的微积分工具，以上的数列极限问

题均非难事.我们的讨论是在仅有数列极限基

所以x”｝有上界.故im槡n+1存在.完全类似地，可以证明1本知识的前提下进行的.参考文献槡—严！！也存在.2')!!

()侯云畅，冯有前，刘卫江•高等数学(上册)[M)北京:

利用华利斯公式囚，可以求得高等教育出版社2009:21 - 22.()李成章，黄玉民.数学分析(上册)[M)北京：北京科

!-槡”(2n) ! !槡\"r (”n $n一1) ! ! — 1 ”史(2n + 1)!! =2”&8—(2n)!!—=\"学 2002:320.简讯数学史上的著名定理一一费马大定理费马大定理是17世纪法国数学家皮耶•德•费玛提出的，他断言当整数” >2时，关于x,y,z的方程 x”+y” = o”没有正整数解.费马是一位律师，业余研究数学.这个断言是在他研究《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写 到的.并且在旁边加了一句诱导性的话，他说关于这个定理我已经想到了一个非常好的证明方法，但是这里 纸的空间不够了，已经写不下了，我就不写了.后世的数学家可谓是对这个问题前仆后继地展开了研究，经历三百多年的历史、多人猜想辩证，最终在

1995年被英国数学家安德鲁怀尔斯证明了，而采用的是几何学中的椭圆曲线知识.数学家们长期的有关工 作丰富了数论的内容，推动了数论的发展.(西北工业大学理学院林伟)