满分150分,考试时间120分钟
出题人:江海兵 审题人:廖学军
一、选择题,本大题有10个小题每小题5分,共50分,每小题有一个正确选项,请将正确选项涂在答题卷上. 1
1.△A BC中,角A,B,c的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2.cos(A十B)= ,则c=( )
3 A.4 B.15 C.3 D.17
2. 《张丘建算经》卷上第22题为:今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织 尺布。(不作近似计算)( )
181616 A. B. c. D. 2152931
1
3.若f(x)= -x2+bln (x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( )
2
A .[-1, +∞) B .(- l,+∞ ) C .(-∞ , - 1) D .(-∞ , - 1]
4.己知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂a;④α⊥β;⑤α∥β能推导出m∥β的是( )
A. ①④ B.①⑤ C.②⑤ D.③⑤ 5.己知数列{an)满足a1=0,an+1=
an-3
.n∈N*,则a2015等于( ) 3an+1 3
2
A.0 B.-3 C.3 D
6.在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C的对边,且cos2B +cos B +cos(A -c)=1,则有( ) A.a,c,b成等比数列 B.a,c,b成等差数列 C.a,b,c成等差数列 D.a,b,c成等比数列
→︱ MD︱→3→3→→
7.设M是△ABC所在平面上的一点,且MB+ MA+MC= 0, D是AC中点,则 的值为( )
22︱ BM︱11
A. B. C. 1 D. 2 32
8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+
15
x-9都相切,则a = ( ) 4
25217257
A.一1或一 B.—1或 C.— 或一 D.— 或7
444
9.己知x,y满足约束条件a2 +b2的最小值为( )
A. 1 B. 2 C.3 D. 4
当目标函数z=ax+ by (a>0,b>o)在约束条件下取到最小值25时,
第1页
10.我们把具有以下性质的函数f(x)称为“好函数”:对于在f(x)定义域内的任意三个数以a,b,c,若这三个数能作为三角形的三边长,则f(a),f(b),f(c)也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数: 1
①f(x)= x ② f(x)=1— x , x∈(o,) ③ f(x)=ex, x∈(o,1) ④f(x)= sinx, x∈(o,π)
2其中是“好函数”的序号有( )
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④
二、填空题,本大题共5个小题,每小题5分,共25分,请将正确答案填在答题卷上. 1
11.已知指数函数y=f(x),对数函数y=g(x)和冥函数y=h(x)的图像都过P(,2),如果
2f(x1)=g(x2)= h(x3)=4,那么xl+x2+x3 = .
→→→→
12.已知|a | =6, |b | = 62 ,若ta +b与ta -b的夹角为钝角,则t的取值范围为 13.定义在R上的奇函数y=f(x) 满足f(3)=0,且不等式f(x>一f′(x)在(0:+∞)上恒成立,则函数 g(x)=xf(x) +lg|k+1| 的零点个数为 .
13
14.己知命题p:函数f(x)=x2 + ax—2 在[-1,1]内有且仅有一个零点,命题q:x2+3(a+1)x+2≤o在区间[,]
22内 恒成立,若命题“p且g”是假命题,实数q的取值范围是
11
15.给出定义:若x∈〔m -, m+],(m∈z),则m叫做实数x的“亲密函数”,记作{x}=m,在此基础上给出
22下列 函数f(x)=|x -{x}|的四个命题:
①函数y=f(x)在x∈(o,1)上是增函数;②函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为1; k
③函数y=f(x)的图像关于直线x=(k∈Z)对称;
2④当x∈(0,2]时,函数g(x)=f(x) - ln x有两个零点 其中正确命题的序号是
三、解答题,本大题共6个小题,共75分,请将答案及过程写在答题卷上 π
16.(12分)己知函数f(x)=3cos4x -2 cos2(2x+)+1
4
ππ
(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[- ,]上的取值范围.
第2页
2n+ 1an17. (12分)己知数列{an}满足a1=1, an+1 = (n∈N*),
an+2n2n
(I)证明数列{ }是等差数列;( II)求数列{an)的通项公式;
an
(III)设bn=n(n+1)an 求数列{bn}的前n项和Sn 。
18.(12分)△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰AC的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为s1和s2.
(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度; S1
(2)若小路的端点E,F两点分别在两腰上,求的最小值
S2
19.(12分)如图分别是正三棱台ABC —A1B1C1的直观图和正视图,O,O1分别是上下底面的中心,E是BC中点.
(1)求正三棱台ABC –A1B1C1的体积;(注:棱台体积公式:棱台上底面面积,s下为棱台下底面面积,h为棱台高) (2)求平面EA1B1.与平面A1B1C1的夹角的余弦; (3)若P是棱A1C1上一点,求CP+PB1的最小值。
第3页
其中s上为
1′
20. (13分)己知函数f(x)=x 2,g(x)= λf(x) +sin x,其中函数g(x)在[-1,1]上是减函数
2(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若g(x)≤ λ+3 sin 1在x∈[-1,1]上恒成立,求λ的取值范围.
1
(3)关于x的方程lnf(x+1) =2x-m,x∈[ – 1. e-1,]有两个实根,求m的取值范围
e
π
21.(14分)己知函数f(x)=sin(ω+)(ω>o,0<<)的周期为π,图像的一个对称中心为(,0),
4π
将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向右平移个单位长
2度后得到函数g(x)的图像. (1)求函数f(x)与g(x)的解析式;
ππ
(2)是否存在x。∈(,),使得f(x。),g(x。),f(x。)g(x。)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x。
的个数;若不存在,说明理由.
(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点。
第4页
成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题(理科)答案
1 D 2 C 3 D 4 D 5 B 6 D 7A 8 A 9 D 10 B 11 答案:
3 2xc1111解析:令f(x)a,g(x)logbx,h(x)x则f()a22,g()logblogb22,
222113211h()()c2a4,b,c1f(x1)4x14x11,x2,x3x1x2x3222 24412
答案:(2,0)解析:
(0, 2)22tab与ta b的夹角为钝角,(tab)(tab)0,t2ab0,36t2720,2t2, (0, 2)又因为tab与tab不共线,所以t0,所以t(2,0)13. 答案:3
解析:f(x)xf(x)xf(x)0xf(x)在(0,)单增,又xf(x)为偶函数且有一个零点为3,令g(x)0得xf(x)lgx1,如图可知
g(x)有3个零点
14. 答案:a5 2提示:先确定p且q为真命题的a的取值范围,然后取补集可得结果. 15.
答案:②③④ 解析:x1113,时,f(x)xxx0,当x,时,f(x)x1 2222当x35,时,f(x)x2,作出函数的图像可知①错,②,③对,再作出ylnx的图像可判断有两个22交点,④对
三、解答题,本大题共6个小题,共75分,请将答案及过程写在答题卷上. 16.
解析:(1)f(x)3cos4xcos(4x)3cos4xsin4x2sin(4x),T
233(2)
6x4,34x3433,2,sin(4x)1 f(x)的取值范围为 32317.
an1an2n12n2n12n1,即1, 解析:(Ⅰ)由已知可得n1,所以2an2nan1anan1an2n∴数列是公差为1的等差数列.
an2n22n(Ⅱ)由(Ⅰ)可得(n1)1n1,∴an. .
ana1n1(Ⅲ)由(Ⅱ)知,bnn2n,所以Sn12222323得Sn2222318.
解:(1)E为AC中点,AEECn2n,2Sn122223324n2n1,相减
n1n12nn2n1 22n2,∴Sn(n1)2n12
3,233734,F不在BC上,故F在AB上,可得AF, 222在ABC中,cosA21530222,在AEF中,EFAEAF2AEAFcosA,EF 322(2)若小路的端点E,F两点分别在两腰上,如图所示,设CEx,CFy,则xy5
S1SABCSCEFSABCS2SCEFSCEF1CACBsinC99111211121xy25xyCECFsinCE22ACFB511S当且仅当xy时取等号,故1的最小值为.
225S219.
解析:(1)由题意AC23,A1C143,正三棱台高为3 SABC33,SA1B1C1123,VABCA1B1C121 (2)设O,O1分别是上下底面的中心,E是BC中点,F是B1C1中点.以O1 为原点,过O1平行B1C1的线为x轴建立空间直角坐标系O1xyz. C1(23,2,0),C(3,1,3), E(0,1,3),A1(0,4,0),B1(23,2,0),A1E(0,1,3),A1B1(23,6,0),
nA1E05y3z0设平面EA即 1B1的一个法向量n(x,y,z),则nA1B103x3y0取n(3,3,5),取平面A1B1C1的一个法向
量m(0,0,1),设所求角为则cosmnmn537 37(3)将梯形
A1ACC1绕A1C1旋转到A1A'C'C1,使其与A1B1C1成平角
C1CC1A1C1CC1A12127 ,siCCn1A177cosC'C1A1cosCC1A1cosCC1B1cos(CC1A1由余弦定理得C'B120. 解析:(1)
3)21 C'C1B1中,C'C13,C1B143, 1467 即CPPB1的最小值为67
f(x)x2,f(x)2x,f(1)2,在点(1,f(1))处的切线方程为y12(x1),
即2xy10 (2)
g(x)xsinx,g(x)cosx,g(x)在1,1上单减g(x)0在1,1上恒成立,
g(x)在1,1单减,g(x)maxg(1)sin1
即cosx在1,1上恒成立,1,又
g(x)3sin1在x1,1上恒成立,只需sin13sin1恒成立,2sin1
sin30sin1,12sin1,2sin11
(3)由(1)知f(1x)(1x)方程为ln(1x)2xm,设h(x)ln(1,则方程x)2xm222ln(1x)22xm根的个数即为函数h(x)图像与x轴交点的个数.
h(x)22x2,当x(1,0)时,h(x)0,h(x)在(1,0)上为增函数, 1x1x(0,)时,h(x)0,h(x)在x(,1)和(0,)都是减函数.
当x(,1)1h(x)在,0上为减函数,在0,e1上为减函数.
e1121h(x)在,e1上的最大值为h(0)m,又h(1)m,h(e1)m42e
eee11h(e1)0222且2e4,所求方程有两根需满足h(0)00m时原方程有两根,m0,
eeeh(e1)021.
解:(Ⅰ)由函数f(x)sin(x)的周期为,0,得2 又曲线yf(x)的一个对称中心为(故f()sin(24,0),(0,)
44)0,得2,所以f(x)cos2x
将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得ycosx的图象,再将ycosx的图象向右平移
个单位长度后得到函数g(x)sinx 2(Ⅱ)当x(112,)时,sinx,0cos2x所以sinxcos2xsinxcos2x 222,)内是否有解 设G(x)sinxsinxcos2x2cos2x,x(,) 则
问题转化为方程2cos2xsinxsinxcos2x在(G(x)cosxcosxcos2x2sin2x(2sinx)
因为x(12,),所以G(x)0,G(x)在(,)内单调递增,又G()0,G()0且函数42G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(,)内存在唯一零点x0,即存在唯一的x0(,)满足题意
(Ⅲ)依题意,F(x)asinxcos2x,令F(x)asinxcos2x0
cos2x1,当sinx0,即xk(kZ)时,从而xk(kZ)不是方程F(x)0的解,所以方程F(x)0等价于关于x的方程acos2x,xk(kZ)现研究x(0,)U(,2)时方程解的情况,令sinxh(x)cos2x,x(0,)U(,2)则问题转化为研究直线ya与曲线yh(x)在x(0,)U(,2)的sinx交点情况
cosx(2sin2x1)3xxh(x),令,得或 h(x)0222sinx当x变化时,h(x)和h(x)变化情况如下表
x h(x) h(x) (0,) 2 Z 20 1 (,) 2 ] (,3) 2 ] 3 20 (3,2) 2 Z 1 当x0且x趋近于0时,h(x)趋向于,当x且x趋近于时,h(x)趋向于
当x且x趋近于时,h(x)趋向于,当x2且x趋近于2时,h(x)趋向于 故当a1时,直线ya与曲线yh(x)在(0,)内有无交点,在(,2)内有2个交点; 当a1时,直线ya与曲线yh(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点; 当1a1时,直线ya与曲线yh(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内有2个交点
由函数h(x)的周期性,可知当a1时,直线ya与曲线yh(x)在(0,n)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线ya与曲线yh(x)在(0,n)内恰有2013个交点;当a1时,直线ya与曲线
yh(x)在(0,)U(,2)内有3个交点,由周期性,20133671,所以n67121342
综上,当a1,n1342时,函数F(x)f(x)ag(x)在(0,n)内恰有2013个零点
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- oldu.cn 版权所有 浙ICP备2024123271号-1
违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务