四川省成都市第七中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题(纯word版)

满分150分，考试时间120分钟

出题人：江海兵 审题人：廖学军

一、选择题，本大题有10个小题每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上． 1

1.△A BC中，角A，B，c的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2．cos(A十B)= ，则c=( )

3 A．4 B．15 C．3 D．17

2. 《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织 尺布。（不作近似计算）( )

181616 A． B． c． D． 2152931

1

3．若f(x)= -x2+bln (x+2)在(-1，+∞)上是减函数，则b的取值范围是( )

2

A .[-1, +∞) B .(- l,+∞ ) C .(-∞ , - 1) D .(-∞ , - 1]

4．己知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂a；④α⊥β；⑤α∥β能推导出m∥β的是( )

A. ①④ B．①⑤ C．②⑤ D．③⑤ 5．己知数列{an）满足a1=0，an+1=

an-3

．n∈N*,则a2015等于( ) 3an+1 3

2

A．0 B．-3 C．3 D

6．在△ABC中，若a、b、c分别为角A、B、C的对边，且cos2B +cos B +cos(A -c)=1，则有( ) A.a，c，b成等比数列 B.a，c，b成等差数列 C.a，b，c成等差数列 D.a，b，c成等比数列

→︱ MD︱→3→3→→

7．设M是△ABC所在平面上的一点，且MB+ MA+MC= 0, D是AC中点，则 的值为（ ）

22︱ BM︱11

A. B. C. 1 D. 2 32

8.若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+

15

x-9都相切，则a = ( ) 4

25217257

A．一1或一 B．—1或 C．— 或一 D.— 或7

444

9．己知x，y满足约束条件a2 +b2的最小值为( )

A. 1 B. 2 C．3 D. 4

当目标函数z=ax+ by (a>0，b>o)在约束条件下取到最小值25时，

第1页

10.我们把具有以下性质的函数f(x)称为“好函数”：对于在f（x）定义域内的任意三个数以a，b，c，若这三个数能作为三角形的三边长，则f（a），f(b)，f(c)也能作为三角形的三边长．现有如下一些函数： 1

①f(x)= x ② f(x)=1— x , x∈(o，) ③ f(x)=ex, x∈(o，1) ④f(x)= sinx, x∈(o，π)

2其中是“好函数”的序号有( )

A．①② B．①②③ C.②③④ D.①③④

二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上． 1

11．已知指数函数y=f(x)，对数函数y=g（x）和冥函数y=h（x）的图像都过P（,2），如果

2f(x1)=g（x2）= h（x3）=4，那么xl+x2+x3 = .

→→→→

12.已知|a | =6, |b | = 62 ，若ta +b与ta -b的夹角为钝角，则t的取值范围为 13.定义在R上的奇函数y=f(x) 满足f(3)=0，且不等式f(x>一f′(x)在(0：+∞)上恒成立，则函数 g(x)=xf(x) +lg|k+1| 的零点个数为 .

13

14.己知命题p：函数f（x）=x2 + ax—2 在[-1，1]内有且仅有一个零点，命题q：x2+3(a+1)x+2≤o在区间[，]

22内 恒成立，若命题“p且g”是假命题，实数q的取值范围是

11

15．给出定义：若x∈〔m -, m+]，(m∈z)，则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出

22下列 函数f(x)=|x -{x}|的四个命题：

①函数y=f(x)在x∈(o，1)上是增函数；②函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1； k

③函数y=f(x)的图像关于直线x=（k∈Z）对称；

2④当x∈(0，2]时，函数g(x)=f(x) - ln x有两个零点 其中正确命题的序号是

三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上 π

16.（12分）己知函数f(x)=3cos4x -2 cos2（2x+）+1

4

ππ

(1)求f（x）的最小正周期；(2)求f(x)在区间[- ,]上的取值范围．

第2页

2n+ 1an17. (12分)己知数列{an}满足a1=1, an+1 = (n∈N*)，

an+2n2n

(I)证明数列{ }是等差数列；( II)求数列{an）的通项公式；

an

(III)设bn=n(n+1)an 求数列{bn}的前n项和Sn 。

18.（12分）△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰AC的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为s1和s2．

(1)若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度； S1

(2)若小路的端点E,F两点分别在两腰上，求的最小值

S2

19.（12分）如图分别是正三棱台ABC —A1B1C1的直观图和正视图，O，O1分别是上下底面的中心，E是BC中点．

(1)求正三棱台ABC –A1B1C1的体积；（注：棱台体积公式：棱台上底面面积，s下为棱台下底面面积，h为棱台高） (2)求平面EA1B1．与平面A1B1C1的夹角的余弦； (3)若P是棱A1C1上一点，求CP+PB1的最小值。

第3页

其中s上为

1′

20. (13分)己知函数f(x)=x 2，g(x)= λf(x) +sin x，其中函数g(x)在[-1，1]上是减函数

2(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若g(x)≤ λ+3 sin 1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范围．

1

(3)关于x的方程lnf(x+1) =2x-m，x∈[ – 1. e-1,]有两个实根，求m的取值范围

e

π

21.（14分）己知函数f(x)=sin（ω+）（ω>o，0<<）的周期为π，图像的一个对称中心为（，0），

4π

将函数f（x）图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长

2度后得到函数g(x)的图像． (1)求函数f(x)与g(x)的解析式；

ππ

(2)是否存在x。∈（，），使得f（x。），g(x。)，f(x。)g(x。)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x。

的个数；若不存在，说明理由．

(3)求实数a与正整数n，使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点。

第4页

成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题（理科）答案

1 D 2 C 3 D 4 D 5 B 6 D 7A 8 A 9 D 10 B 11 答案：

3 2xc1111解析：令f(x)a,g(x)logbx,h(x)x则f()a22,g()logblogb22，

222113211h()()c2a4,b,c1f(x1)4x14x11,x2,x3x1x2x3222 24412

答案：(2,0)解析：

(0, 2)22tab与ta b的夹角为钝角，(tab)(tab)0,t2ab0,36t2720,2t2, (0, 2)又因为tab与tab不共线,所以t0,所以t(2,0)13. 答案：3

解析：f(x)xf(x)xf(x)0xf(x)在(0,)单增，又xf(x)为偶函数且有一个零点为3，令g(x)0得xf(x)lgx1，如图可知

g(x)有3个零点

14. 答案：a5 2提示：先确定p且q为真命题的a的取值范围，然后取补集可得结果. 15.

答案：②③④ 解析：x1113,时，f(x)xxx0，当x,时，f(x)x1 2222当x35,时，f(x)x2，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出ylnx的图像可判断有两个22交点，④对

三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上. 16.

解析：（1）f(x)3cos4xcos(4x)3cos4xsin4x2sin(4x),T

233（2）

6x4,34x3433,2,sin(4x)1 f(x)的取值范围为 32317.

an1an2n12n2n12n1，即1， 解析:（Ⅰ）由已知可得n1，所以2an2nan1anan1an2n∴数列是公差为1的等差数列.

an2n22n（Ⅱ）由（Ⅰ）可得(n1)1n1，∴an. .

ana1n1（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bnn2n，所以Sn12222323得Sn2222318.

解：（1）E为AC中点，AEECn2n，2Sn122223324n2n1，相减

n1n12nn2n1 22n2，∴Sn(n1)2n12

3,233734，F不在BC上，故F在AB上，可得AF， 222在ABC中，cosA21530222，在AEF中，EFAEAF2AEAFcosA，EF 322（2）若小路的端点E,F两点分别在两腰上，如图所示，设CEx,CFy，则xy5

S1SABCSCEFSABCS2SCEFSCEF1CACBsinC99111211121xy25xyCECFsinCE22ACFB511S当且仅当xy时取等号，故1的最小值为.

225S219.

解析：（1）由题意AC23,A1C143,正三棱台高为3 SABC33,SA1B1C1123,VABCA1B1C121 （2）设O,O1分别是上下底面的中心，E是BC中点，F是B1C1中点.以O1 为原点，过O1平行B1C1的线为x轴建立空间直角坐标系O1xyz. C1(23,2,0)，C(3,1,3)， E(0,1,3)，A1(0,4,0)，B1(23,2,0)，A1E(0,1,3)，A1B1(23,6,0)，

nA1E05y3z0设平面EA即 1B1的一个法向量n(x,y,z)，则nA1B103x3y0取n(3,3,5)，取平面A1B1C1的一个法向

量m(0,0,1)，设所求角为则cosmnmn537 37（3）将梯形

A1ACC1绕A1C1旋转到A1A'C'C1,使其与A1B1C1成平角

C1CC1A1C1CC1A12127 ,siCCn1A177cosC'C1A1cosCC1A1cosCC1B1cos(CC1A1由余弦定理得C'B120. 解析：（1）

3)21 C'C1B1中,C'C13,C1B143， 1467 即CPPB1的最小值为67

f(x)x2,f(x)2x,f(1)2，在点(1,f(1))处的切线方程为y12(x1)，

即2xy10 （2）

g(x)xsinx,g(x)cosx,g(x)在1,1上单减g(x)0在1,1上恒成立，

g(x)在1,1单减，g(x)maxg(1)sin1

即cosx在1,1上恒成立，1，又

g(x)3sin1在x1,1上恒成立，只需sin13sin1恒成立，2sin1

sin30sin1,12sin1,2sin11

（3）由（1）知f(1x)(1x)方程为ln(1x)2xm，设h(x)ln(1，则方程x)2xm222ln(1x)22xm根的个数即为函数h(x)图像与x轴交点的个数.

h(x)22x2，当x(1,0)时，h(x)0,h(x)在(1,0)上为增函数, 1x1x(0,)时，h(x)0,h(x)在x(,1)和(0,)都是减函数.

当x(,1)1h(x)在,0上为减函数，在0,e1上为减函数.

e1121h(x)在,e1上的最大值为h(0)m，又h(1)m,h(e1)m42e

eee11h(e1)0222且2e4，所求方程有两根需满足h(0)00m时原方程有两根，m0,

eeeh(e1)021.

解：（Ⅰ）由函数f(x)sin(x)的周期为，0，得2 又曲线yf(x)的一个对称中心为(故f()sin(24,0)，(0,)

44)0，得2，所以f(x)cos2x

将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得ycosx的图象，再将ycosx的图象向右平移

个单位长度后得到函数g(x)sinx 2（Ⅱ）当x(112,)时，sinx，0cos2x所以sinxcos2xsinxcos2x 222,)内是否有解 设G(x)sinxsinxcos2x2cos2x，x(,) 则

问题转化为方程2cos2xsinxsinxcos2x在(G(x)cosxcosxcos2x2sin2x(2sinx)

因为x(12,)，所以G(x)0，G(x)在(,)内单调递增,又G()0，G()0且函数42G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在(,)内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0(,)满足题意

（Ⅲ）依题意，F(x)asinxcos2x，令F(x)asinxcos2x0

cos2x1，当sinx0，即xk(kZ)时，从而xk(kZ)不是方程F(x)0的解，所以方程F(x)0等价于关于x的方程acos2x，xk(kZ)现研究x(0,)U(,2)时方程解的情况,令sinxh(x)cos2x，x(0,)U(,2)则问题转化为研究直线ya与曲线yh(x)在x(0,)U(,2)的sinx交点情况

cosx(2sin2x1)3xxh(x)，令，得或 h(x)0222sinx当x变化时，h(x)和h(x)变化情况如下表

x h(x) h(x) (0,) 2 Z  20 1 (,) 2 ] (,3) 2 ] 3 20 (3,2) 2 Z 1 当x0且x趋近于0时，h(x)趋向于,当x且x趋近于时，h(x)趋向于

当x且x趋近于时，h(x)趋向于,当x2且x趋近于2时，h(x)趋向于 故当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0,)内有无交点，在(,2)内有2个交点； 当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0,)内有2个交点，在(,2)内无交点； 当1a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0,)内有2个交点，在(,2)内有2个交点

由函数h(x)的周期性，可知当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0,n)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线ya与曲线yh(x)在(0,n)内恰有2013个交点；当a1时，直线ya与曲线

yh(x)在(0,)U(,2)内有3个交点，由周期性，20133671，所以n67121342

综上，当a1，n1342时，函数F(x)f(x)ag(x)在(0,n)内恰有2013个零点