中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题(1)

一、折叠、剪切类问题 1、折叠后求度数

（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）

A．600 B．750 C．900 D．950

（2）如图2,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）

A．50° B．55° C．60° D．65°

图1

图2

A B E C D 图①

图3 图②

（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图3中的图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝____________度. 2、折叠后求长度

（1）将矩形纸片ABCD按如图1所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．

A、3 B、2 C、3 D、23

（2）如图4，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且EDBC，则CE的长是（ ） （A）10315 （B）1053 （C）535 （D）20103

若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.

（4）如图6，是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=

（5）如图7，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） A．3cm

B．4cm

C．5cm

D．6cm

B

图4

A

E

F

D

C

图5

图6

A M F D N

B 图7 E

C （3）如图5，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，

（6）如图（1），把一个长为m、宽为n的长方形（mn）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为

1

在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）

mnnmA． B．mn C． D．

222

3、折叠后求面积

n

m

n

n

图①

6题图

图②

（1）如图8,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为

AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ ） A．4

B．6

C．8

D．10

（2）如图9，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．10

图8

图9

（3）如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：①将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；②将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。则△GFC的面积是（ ）

A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2 A B

F

图a

C

F 图b

C

F

G C 图c

图10

E

D

A

B

D

B

D

A

（4）如图10点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上，将这张纸条沿

着直线EF对折后如图，BF与DE交于点G，如果∠BGD=30°，长方形纸条的宽 AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分△GEF的面积=______ cm2

（5）如图11，红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为_______cm.

2图11

（6）如图12，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN、EF分成 四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1、 S2、S3、S4，若MN∥AB∥DC、EF∥DA∥CB，请你写出一个关 于S1、S2、S3、S4的等量关系_________________________.

图12

2

4、折叠、剪切后得图形

（1）将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）

A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形

（2）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）

A. B. C. D.

（3）小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )

（4）将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一

部分展开后的平面图形是（ ）

图1

图3ABCD

（5）如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）

（6）如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到 两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形， 则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

（7）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次， 然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）

A． B． C． D．

3

5、折叠后得结论

（1）亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.” （2）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）C.(a+b)=a+2ab+b

（3）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC

＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）． A．2:1 B．1:2 C．3:1 D．1:3

6、折叠和剪切的应用

（1）如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为

D

C

2

2

2

2

A.a2–b2 =(a+b)(a-b) B.(a–b)2 = a2–2ab+b2

D.a+ab=a(a+b)

（1）

（2）

a，b的两个小正方形，使得a2b252．①a，b的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：

__________________________________________________________________A ________________________________________________________

（2）如图，已四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：__________（用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。

____________________________________________________ ____________________________________________________

（3）如图，已知五边形ABCDE中，AB//ED，∠A＝∠B＝90°， 则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线 有__________条，满足条件的直线可以这样趋确定： ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________

4

B

EDCAB（5）如图，有一个长：宽=2：1的长方形纸片ABCD.①含有30°、60°的直角三角形最短边与最长边之比为___________；②请你设计一种折叠一次使这张纸片出现30°和60°（在图中画出折叠线和折叠后图线），叙述折叠过程并简要说明理由:

__________________________________________________ __________________________________________________

__________________________________________________

（6）如图，有一个长方体的底面边长分别是1cm和3cm，高为6cm.①现用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么细线最短需要________cm；②若从点A经过开始经过3个侧面缠绕n圈到达点B，此时细线最短需要____________________cm.③若有一个长方体的边长为a的正方形，高为b，那么细线从点A到点C的最短距离：

__________________________________________________________

__________________________________________________________

EMDA__________________________________________________________.

A'（7）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的

点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2,且nCBN为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）

（8）如图，现有两个边长之比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，点B、C、B′、C′在同一直线上，且点C与点B′重合，能否利用这两个正方形，通过裁割、平移、

A'D'旋转的方法，拼出两个相似比为1：3的三角形？ （填能或否），若你认为能，请在原图上画出裁剪线和拼接线说明你的操作方法： DA__________________________________________________________ __________________________________________________________. （9）用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成

C'BC(B')两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形. E M D A M A

B B C C

图图图 图

①用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外, 还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

②若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程x2(m1)xm10的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

5

（10）在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要H F D A D A 折出一个菱形.甲同学按照取两组对边中点的方法折

G 出菱形EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线ACE 折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱B B E C C F 形AECF（见方案二），请你通过计算，比较甲同（方案一） （方案二） 学和乙同学的折法中，哪种菱形面积较大？

（11）有一张矩形形状的纸ABCD如图所示，只用

折叠的方法将直角三等分，步骤如下：

E B C B C

H M N

A D D A

第一步：先把矩形对折，设折痕为MN；

第二步：再把点B折叠到折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH折叠. 此时，AE、AH是否就是直角BAD的三等分线？并说明理由.

（12）如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下

5图形的面积为原正方形面积的，请说明理由(写出证明及计算过程).

9

二、旋转类问题

（1）如图，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( )．

C D DBBCCBCBE C C B A B C AOAAAOOOAO 图 A． B． C． D．

B

（2）如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．

A D

（3）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针 方向旋转90°能与△CBP'重合，若PB=3，则PP'=_____________.

P

C B

P'

6

（4）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，DE=1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE'，连接EE'，则EE'=________________.

（5）已知在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或延长线）于点M，N.

（Ⅰ）如图①所示，当∠MAN绕点A旋转到BMDN时，求证：BM+DN=MN.

A D 思路点拨：考虑证明BM+DN=MN需将线段BM、DN转化到

同一条直线上，再证明BM+DN=MN．可将△ADM顺时针旋转90° D 请你完成证明过程： N

B C

M

A D （Ⅱ）当∠MAN绕点A旋转到如图②所示时，线段BM，DN和 MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.

C

M B N

（6）在图1至图2中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

（Ⅰ）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合， 求证：FM = MH，FM⊥MH；

（Ⅱ）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；

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三、动点类问题

1、动点距离和最小值问题

（1）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ． C D

P F M A D

P

B C

N

B A E

第（1题） 第（2题） 第（2题） 第（4题） （2）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，M、N分别为AD、BC中点，

P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为_________.

（3）如图，正方形ABCD的边长为8，AE=3，CF=1，点P是对角线AC上一动点，则PE+PF

的最小值________.

（4）如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为( ) A. B. C.6 D.3

（5）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、

y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点.

（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

O E A x 第（5）题

y B D C y B D O C A x D （Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

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