第二讲 参数方程复习课

学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．

1．参数方程的定义

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

x＝ft，①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，y＝gt，

那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线

π

直线的标准参数方程即过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程的标准形式

2

x＝x0＋tcos α，为(t为参数)． y＝x0＋tsin α

(2)圆 ①圆

x2＋y2＝r2的参数方程为

x＝rcos θ，y＝rsin θ

(θ为参数)；

x＝a＋rcos θ，②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．

y＝b＋rsin θ

(3)椭圆

中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆为参数)． (4)双曲线

b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为

x＝acos φ，y＝bsin φ

(φ

x＝asec φ，

中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线bx－ay＝ab(a>0，b>0)的参数方程为

y＝btan φ

22

22

22

(φ为参数)． (5)抛物线



抛物线y＝2px(p>0)的参数方程为2

2px＝2，tanα

x＝2pt2，

(α为参数)或(t为参数)．

y＝2p

tan α

类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：

(1)x＝cos θ－4sin θ，



y＝2cos θ＋sin θ

(θ为参数)； aet＋e－

tx＝(2)2

，－t

t

y＝be－e



2

(t为参数，a，b>0)．

解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组



x＝cos θ－4sin θ，



y＝2cos θ＋sin θ，

sin θ＝y－2x

9，变形得

cos θ＝x＋4y

9.

∴(x＋4yy9)2＋(－2x9)2＝cos2θ＋sin2θ＝1，

即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.

aet＋e－tx＝(2)由

2，

t

－ty＝be－e

2

，

2x

a＝et＋e－t， 解得2y

b＝et

－e

－t， ②

∴①2－②2，得

4x2a2－4y2

b2

＝4， x2y2

∴a2－b

2＝1(x>0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项



y＝2pt①

(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．

x＝sin θ＋sin θ，跟踪训练1 判断方程1

y＝sin θ－sin θ

x2y2

－＝1. 44

1

(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．

1212

解 ∵x2－y2＝(sin θ＋)－(sin θ－)＝4，

sin θsin θ即

x2－y2＝4，∴

又∵θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，

1

∴x＝sin θ＋≥2，

sin θπ

当且仅当θ＝时等号成立，

2sin2θ－11

又y＝sin θ－＝≤0，

sin θsin θ

x2y2

∴曲线为等轴双曲线－＝1在右支位于x轴下方的部分．

44类型二 参数方程的应用

命题角度1 直线参数方程的应用

例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．

x＝3＋tcos α，

解 设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，

y＝2＋tsin α

代入方程y2＝4x整理，得 t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.① ∵点P(3,2)是弦AB的中点，

由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0. 即sin α－cos α＝0.

π

∵0≤α<π，∴α＝.

4∴|AB|＝|t1－t2|＝

t1＋t22－4t1t2＝

84·＝8.

πsin2

4

反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2. (4)套公式|t1－t2|求弦长．

x＝－4＋23t，

跟踪训练2 直线l过点P(－4,0)，它的参数方程为1

y＝2t

0

(t为参数)，直线l与

圆x2＋y2＝7相交于A，B两点． (1)求弦长|AB|；

(2)过P0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l的参数方程代入圆的方程， 得(－4＋

3212

t)＋(t)＝7，整理得t2－43t＋9＝0. 22

(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝43，t1t2＝9. 故|AB|＝|t2－t1|＝

t1＋t22－4t1t2＝23.

(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上， 则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9， ∴切线长|P0T|＝3.

命题角度2 曲线参数方程的应用

x＝2＋cos α，

例3 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原

y＝sin α

π

点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝22.

4(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；

(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值．

x＝2＋cos α，

解 (1)由曲线C的参数方程

y＝sin α，

可得(x－2)2＋y2＝1，

π

由直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝22，

4可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x＋y＝4.

(2)方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，

故b－1

a＋1×－1＝－1

所以Q(3,5)，

a－1b＋1

＋＝4，22

a＝3，

⇒ b＝5，

由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.

仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，故(|PB|＋|AB|)min＝26－1. 方法二 如图，圆心C关于直线l的对称点为D(4,2)，连接PD，交直线l于点B，此时|PB|＋|AB|有最小值，且|PB|＋|AB|＝|PB|＋|BC|－1＝|PB|＋|BD|－1＝|PD|－1＝26－1.

反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．

(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．

x＝2＋t，x2y2

跟踪训练3 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

49y＝2－2t

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

x＝2cos θ，

解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．

y＝3sin θ 

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝则|PA|＝

d25

＝|5sin(θ＋α)－6|， sin 30°5

5

|4cos θ＋3sin θ－6|， 5

4

其中α为锐角，且tan α＝.

3

225当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

525当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

5类型三 极坐标与参数方程

例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

x＝tcos α，

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与圆C交于A，B两点，|AB|＝10，求l

y＝tsin α

的斜率．

解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44. 315由|AB|＝10，得cos2α＝，tan α＝±.

83所以l的斜率为1515或－. 33

x＝tcos α，

方法二 把代入(x＋6)2＋y2＝25，

y＝tsin α

得t2＋(12cos α)t＋11＝0， 所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11. 设A，B对应的参数为t1，t2， 则|AB|＝|t1－t2|＝3

所以cos2α＝，

8

t1＋t22－4t1t2＝144cos2α－44＝10，

所以tan α＝±

15. 3

1515或－. 33

所以l的斜率为

反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．

(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．

x＝4cos t，

跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐

y＝23sin t

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积．

x＝4cos t，

解 (1)由得yy＝23sin t，

＝sin t，

x

＝cos t，423

xy2

所以()2＋()＝(cos t)2＋(sin t)2＝1，

423x2y2

所以曲线C的普通方程为＋＝1.

1612

在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， 得3x＋2y－12＝0，

所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.

xy16＋12＝1，

(2)由(1)可得M(0，－23)，联立方程易得A(4,0)，B(2,3)，

3x＋2y－12＝0，1

所以四边形OMAB的面积为×4×(3＋23)＝6＋43.

2

2

2

x＝8cos θ，

1．曲线(θ为参数)的焦点坐标为( )

y＝10sin θ

A．(±3,0) C．(±6,0) 答案 D

B．(0，±3) D．(0，±6)

x＝8cos θ，y2x2

解析 曲线(θ为参数)的普通方程为2＋2＝1，这是焦点在y轴上的椭圆，c2

108

y＝10sin θ

＝a2－b2＝62，所以焦点坐标为(0，±6)．

x＝2cos φ，

2．椭圆的参数方程为(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )

y＝3sin φ

1A. 2C.2 2

B.D.3 23 4

答案 A

x＝2t，

3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直

y＝1＋4t

线l与圆C的位置关系为( ) A．相离 C．相交 答案 C

x＝t2，

4．点P(1,0)到曲线(t为参数)上的点的最短距离为________．

y＝2t

B．相切 D．由参数确定

答案 1

解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则d＝x－12＋y－02＝

t2－12＋2t2＝

t2＋12＝t2＋1≥1.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.

x22

5．在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大

3值和最小值．

x＝3cos φ，x22

解 椭圆＋y＝1的参数方程为(φ为参数)，故设动点P(3cos φ，sin φ)，

3y＝sin φ



其中φ∈[0,2π)．

πππ

因此S＝x＋y＝3cos φ＋sin φ＝2(sin cos φ＋cos ·sin φ)＝2sin(φ＋)．

333

π7π

∴当φ＝时，S取得最大值2；当φ＝时，S取得最小值－2.

66

1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．

课时作业

一、选择题

x＝1＋22t，

1．直线l：2

y＝2＋t2

A．相离 C．相交且过圆心 答案 D

x＝2＋2cos θ，

(t为参数)与圆C：(θ为参数)的位置关系是( ) y＝1＋2sin θ

B．相切

D．相交但不过圆心

解析 直线l的普通方程为x－y＋1＝0，圆C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2,1)|2－1＋1|

到直线l的距离为d＝＝22

x＝sin θ，

2．下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的为( )

y＝cos 2θ

A．(2，－7) 11

C．(，)

22答案 C

12B．(，)

33D．(1,0)

x＝－2－2t，

3．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )

y＝3＋2t

A．(－4,5)

B．(－3,4)

C．(－3,4)或(－1,2) 答案 C

D(－4,5)或(0,1)

4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线方程的是( )

x＝|t|，A. y＝t

x＝cos t，

B. y＝cos2t

x＝tan t，

C.1＋cos 2t y＝1－cos 2t答案 D

x＝tan t，

D.1－cos 2t

y＝1＋cos 2t

解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，2cos2t11

B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B；而C中y＝＝2＝2，即x2y＝1，故排除C. 22sinttantx

x＝4t，5．抛物线(t为参数)的准线方程是( ) 2y＝4t

A．x＝1 C．y＝1 答案 D

解析 由x＝4t，得∴y＝4t2＝

x2

， 4

t2＝

x2

， 16

B．x＝－1 D．y＝－1

即x2＝4y，

∴准线方程为y＝－1.

x＝2＋cos θ，

6．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范

y＝sin θ， 

围是( ) A．(2－2，1) B．[2－2，2＋2]

C．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞) D．(2－2，2＋2) 答案 D

x＝2＋cos θ，

解析 由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.(*)

y＝sin θ

将y＝x－b代入(*)式，

化简得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，

依题意知，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0， 解得2－2x＝2t，

7．点(－3,0)到直线(t为参数)的距离为________． 2y＝t2答案 1

x＝2t，

解析 ∵直线2y＝t2

的普通方程为x－22y＝0，

∴点(－3,0)到直线的距离为d＝

|－3－0|12＋－222

＝1.

8．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________． 答案 [1,2]

y2

解析 由4x＋y＝4，得x＋＝1.

4

2

2

2

x＝cos φ，令(φ为参数)， y＝2sin φ

则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4， ∴1≤|OP|≤2.

π9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线的极坐标方程为________．

3ππ

θ＋＝1(或2ρcosθ－＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 答案 2ρsin63

π

解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－

3111

，所以直线方程为y＝－(x－1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化简得333π

θ＋＝1. 2ρsin6

2x＝2pt，

10．已知曲线(t为参数)上的两点M，N对应的参数分别为t1和t2，且t1＋t2＝0，

y＝2pt

则|MN|＝________. 答案 4p|t1|(或4p|t2|)

解析 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x轴， 则|MN|＝2p|t1－t2|＝2p|2t1|(或2p|2t2|)， ∴|MN|＝4p|t1|(或4p|t2|)． 三、解答题

11．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．

解 由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．

令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，则S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，

所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S取得最大值5＋210； 当sin(θ＋φ)＝－1时，S取得最小值5－210.

x＝a－2t，x＝4cos θ，

12．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为y＝－4ty＝4sin θ

参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

|－2a|

(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤4，解得－25

5≤a≤25.

即实数a的取值范围为[－25，25]．

x＝4cos θ，

13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，

y＝4sin θ

点M是曲线C1上的动点．

(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；

(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ

－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．

解 (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，

11

设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式，得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin

22θ，

所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，

x＝2cos θ，

因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P

y＝2sin θ

轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2为圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为|0－0＋1|

＝122

＝，所以点P到直线l距离的最大值为2＋.

222

12＋－12

四、探究与拓展

x＝2＋t，

14．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

y＝3＋t

轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________. 答案

5

解析 直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，

y＝x＋1，x＝1，

联立两方程，得解得

2

y＝4x，y＝2.

所以公共点为(1,2)， 所以公共点的极径为ρ＝

22＋1＝5.

15．设飞机以v＝150 m/s的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h＝588 m处投弹(假设的初速度等于飞机的速度)． (1)求离开飞机后的轨迹方程；

(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．

解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)．记飞行的时间

为t，在A点t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，初速度v0＝150 m/s，

x＝v0t，

2用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得12(g＝9.8 m/s)，

y＝588－2gtx＝150t，

即

2

y＝588－4.9t，

x＝150t，所以离开飞机后的轨迹方程为

2

y＝588－4.9t.

(2)飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即588－4.9t20＝0，解得t0＝230 s. 将t0＝230代入x＝150t0中，得x0＝30030 m.