【湘教版九年级数学上册教案】4.1 正弦和余弦 第1课时

第1课时

教学目标

1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2、能根据正弦概念正确进行计算

3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

教学重难点

【教学重点】

理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【教学难点】

引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

课前准备 无 教学过程

一．预习导学 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 分析：

oo

问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=35m,求AB

o

根据“再直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即

可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管

o

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

o1. 2二.探究展示 (一)合作探究

（1）如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比分析：

，能得到什么结论？

在Rt△ABC 中，∠C=90，由于∠A=45，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 故

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

oo

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中 ∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则

BCEF ABDE成立吗？为什么？

因为 ∠A=∠D =  ， ∠C=∠F= 90°， 所以Rt△ABC∽Rt△DEF. ααBCAB EFDE即BCDEEFAB

BCEF所以 ABDE所以

结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。

认识正弦

如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。 sinA＝

A的对边a1 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）

A的斜边c3注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体； 2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。

提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？

设计意图：通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识。 (二)展示提升

1.如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=3，AB=5. （1）求sinA的值； （2）求sinB的值. （1）求sinA的值；

解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是sinA（2）求sinB的值.

解：∠B的对边是AC，根据勾股定理，得

BC3 AB5AC2AB2BC2523216 AC=4

因此 sinBAC4 AB52.如何求sin 45°的值？ 如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°从而AC=BC．

根据勾股定理，得ABACBC2BC于是 AB故sin45o22222BC.

BCBC12 AB22AB23. 如何求sin 60°的值？

如图所示，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°，则∠A=30°，从而 BC=

1AB 22根据勾股定理,得

31 AC2AB2BC2AB2ABAB2,

42所以AC3AB 2o所以sin60

4. 而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求 .

例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ， 显示结果为0.7660… 三。 知识梳理

本节课学了哪些内容？你有哪些认识和收获？ 四．当堂检测

1. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=5，AB=13. （1）求sinA的值； （2）求sinB的值．

AC3 AB22. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角 的正弦值.

3.计算

（1）sin60sin45 （2）1-2sin30sin60

2o2ooo五.教学反思

本节课教学设计以教师的“问题引导”为方向，以学生的“动手操作”为主线，学生充分经历了知识的发生过程，较好地体验了数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想方法。