奇函数专题训练试题精选(三)附答案

奇函数专题训练试题精选（三）

一．填空题（共30小题）

1．（2011•资中县模拟）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题： ①函数f（x）是周期函数；

②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；

③函数f（x）是偶函数； ④函数f（x）在R上是单调函数．

在上述四个命题中，正确命题的序号是 _________ （写出所有正确命题的序号） 2．（2011•东城区二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（﹣1）=2，那么f（0）+f（1）= _________ ． 3．（2011•聊城一模）现有下面四个命题：

2

①曲线y=﹣x+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°； ②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α∥β； ③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0， 则f（x+1）一定是奇函数； ④如果点P到点

及直线

的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个．

其中正确命题的序号是 _________ ．（写出所有正确命题的序号）

4．（2010•江苏模拟）设

则a+b的取值范围是 _________ ．

5．（2010•雅安三模）已知f（x）=

+a为奇函数．（1）求a的值；

是奇函数，

（2）求函数的单调区间． 6．（2010•平顶山二模）已知0＜φ＜π，f（x）=xsin（x+φ）是奇函数，则φ= _________ ． 7．（2007•湖南模拟）设f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数，且为奇函数，又f（1）＞1，f（2）=a，那么 a的取值范围是 _________ ． 8．（2005•金山区一模）定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）的值为 _________ ．

9．已知函数f（x）=2﹣2lga是奇函数，则a的值等于 _________ ．

10．函数f（x）为奇函数，且 11．函数

，则当x＜0，f（x）= _________ ．

为奇函数，则实数a= _________ ．

x

﹣x

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且则f（2011）= _________ ．

13．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足（f2+x）=f（2﹣x），当﹣2≤x＜0时，（fx）=2，若则a2012= _________ ．

14．设f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）= _________ ．

15．（文科做）对于函数的这个性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数，函数具有的性质的序号是 _________ ．（把具有的性质的序号都填上）

16．已知定义在R上的奇函数f（x），满足

，且f（1）=1，则f（2006）= _________ ．

x

，f（x）=log2（﹣3x+1），

，

17．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣25），f（80），f（11）的大小顺序是 󰀀 _________ ．

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，

，则f（﹣2+log35）= _________ ．

19．若f（x）在[﹣3，3]上为奇函数，且f（3）=﹣2，则f（﹣3）+f（0）= _________ ．

20．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数），则f（﹣1）= _________ ．

21．已知函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈[﹣e，0）时，f（x）=ax+ln（﹣x），则当x∈（0，e]时，f（x）= _________ ．

22．已知函数f（x）是定义在R上周期为6的奇函数，且f（﹣1）=﹣1，则f（5）= _________ ．

23．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且

，则f（1）+f（2）+…+f（2009）= _________ ．

x+1

24．下列结论中：

（1）定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是增函数，在区间[0，+∞）也是增函数，则函数f（x）在R上是增函数；

（2）若f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数； （3）函数y=x（4）是（0，1）上的减函数； （4）对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；

（5）若x0是函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，则f（m） f（n）＜0一定成立； 写出上述所有正确结论的序号： _________ ．

25．若函数f（x）=

是奇函数，则函数g（x）的解析式是 _________ ．

﹣0.5

2

26．设f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=1，又tanα=3，则f（secα﹣2）= _________ ．

27．设f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2x，那么f（x）在（1，2）上的解析式是

󰀀 _________ 28．若

是奇函数，则a的值为 _________ ．

2

29．函数f（x）=ax+bsinx+1，若f（5）=7，则f（﹣5）= _________ ．

30．y=f（x）为奇函数，当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）= _________ ．

3

奇函数专题训练试题精选（三）

参与试题解析

一．填空题（共30小题）

1．（2011•资中县模拟）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题： ①函数f（x）是周期函数；

②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；

③函数f（x）是偶函数； ④函数f（x）在R上是单调函数．

在上述四个命题中，正确命题的序号是 ①②③ （写出所有正确命题的序号） 考点： 奇函数；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性． 专题： 压轴题；存在型． 分析： 题目中条件：f（x+）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 解答： 解：对于①：∵f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对 对于②：∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称 又∵函数f（x）的图象是由y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到． ∴函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故②对． 对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（（x）=0 ∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立． 令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对． 对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对． 故答案为：①②③． 点评： 本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题． 2．（2011•东城区二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（﹣1）=2，那么f（0）+f（1）= ﹣2 ． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 根据奇函数的性质，f（﹣x）=﹣f（x）直接求得f（0）与f（1）的值，即可求出所求． 解答： 解：因为函数f（x）是R上的奇函数． x），用换x，可得：f（﹣﹣x）+f 4

所以f（﹣x）=﹣f（x） f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0 ∴f（0）+f（1）=﹣2 故答案为：﹣2． 点评： 本题主要考查了奇函数的基本性质，以及奇函数的定义，属于基础题． 3．（2011•聊城一模）现有下面四个命题：

2

①曲线y=﹣x+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°； ②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α∥β； ③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0， 则f（x+1）一定是奇函数； ④如果点P到点

及直线

的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个．

其中正确命题的序号是 ③④ ．（写出所有正确命题的序号） 考点： 奇函数；两条直线的交点坐标． 专题： 阅读型． 2分析： ①曲线y=﹣x+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°，求出切点处的导数值，进行验证； ②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α∥β，由面面位置关系进行判断； ③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，则f（x+1）一定是奇函数，求出两参数ω，φ的关系，整理解析式，观察既得； ④如果点P到点由两直线的交点个数研究即可． 及直线的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个，解答： 解：①曲线y=﹣x+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°．是错误命题，因为y′=﹣2x+2，在点（1，5）处的导数值为0，故倾斜角不是45°； ②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α∥β是错误命题，在题设中的条件下，两平面可以是相交的； ③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，则f（x+1）一定是奇函数，是正确命题，由f（1）=0，得出ω+φ=0，函数解析式可变为f（x）=Asinω（x﹣1），左移一个单位可得到f（x）=Asinωx是一个奇函数； ④如果点P到点及直线的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个，相交，故满足条件的点只有一个． 2是正确命题，作出两点的垂直平分线y=1，与直线综上③④是正确命题 故答案为③④ 点评： 本题考查奇函数，函数图象的变换，导数的几何意义等内容，解答本题的关键是对本题中命题所涉及到的相关知识点都比较熟悉，方能避免误判．本题是考查双基的题． 4．（2010•江苏模拟）设则a+b的取值范围是

．

是奇函数，

考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 由题意和奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围． 5

解答： 解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=∴任x∈（﹣b，b），f（﹣x）=﹣f（x），即∴22是奇函数， =﹣， =2，则有， 即1﹣ax=1﹣4x，解得a=±2， 又∵a≠2，∴a=﹣2；则函数f（x）=要使函数有意义，则， ＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0 解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，）， ∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤ ∴﹣2＜a+b≤﹣，即所求的范围是故答案为：． ； 点评： 本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力． 5．（2010•雅安三模）已知f（x）=

+a为奇函数．（1）求a的值；

（2）求函数的单调区间． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： （1）先由奇函数建立等式，求a， （2）严格按照单调性定义，使得函数增函数的区间是增区间，使得函数是减函数的是减区间． 解答： 解：（1）∵f（﹣x）==﹣1+a﹣=﹣1+2a﹣f（x）， 由f（﹣x）=﹣f（x）， 得﹣1+2a=0． ∴a=． （2）对于任意x1≠0，x2≠0，且x1＜x2． f（x1）﹣f（x2）=． 当x1＜x2＜0时，＜，＜1，＜1 ∴f（x1）﹣f（x2）＞0； 当0＜x1＜x2时，＞，＞1，＞1． ∴f（x1）﹣f（x2）＞0． ∴函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．

6

点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力．主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义． 6．（2010•平顶山二模）已知0＜φ＜π，f（x）=xsin（x+φ）是奇函数，则φ= ．

考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 根据f（x）=xsin（x+φ）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）对于任意x恒成立，然后利用两角和与差的正弦公式展开，得到2xcosφsinx=0对于任意x成立，则cosφ=0，解之即可，注意φ的范围． 解答： 解：∵f（x）=xsin（x+φ）是奇函数 ∴f（﹣x）=﹣xsin（﹣x+φ）=﹣xsinφcosx+xcosφsinx=﹣f（x）=﹣xsinxcosφ﹣xcosxsinφ 即2xcosφsinx=0对于任意x成立，则cosφ=0 而0＜φ＜π ∴φ= 故答案为：点评： 本题主要考查了两角和与差的正弦公式，奇函数的性质，属于对基础知识的综合考查，试题较易． 7．（2007•湖南模拟）设f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数，且为奇函数，又f（1）＞1，f（2）=a，那么 a的取值范围是 a＜﹣1 ． 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题． 分析： 据函数的周期性判断出f（﹣1）=f（2），利用函数为奇函数得到f（﹣1）=﹣f（1），利用等式的传递性得到f（2）=﹣f（1），代入已知不等式求出a的范围． 解答： 解：∵f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数 ∴f（﹣1）=f（2） ∵为奇函数 ∴f（﹣1）=﹣f（1） ∴f（2）=﹣f（1） ∵f（1）＞1 ∴f（2）＜﹣1 ∵f（2）=a ∴a＜﹣1 故答案为a＜﹣1 点评： 解决函数的性质有关的题目，关键是利用性质的定义，将题中的条件联系起来，注意奇函数在x=0处的函数值为0是一道综合题． 8．（2005•金山区一模）定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）的值为 0 ． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 由定义在R上的函数f（x）是奇函数，知f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），故f（0）=0． 解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数， ∴f（0）存在， ∴f（0）=f（﹣0）=﹣f（0）， ∴f（0）=0． 故答案为：0． 7

点评： 本题考查奇函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 9．已知函数f（x）=2﹣2lga是奇函数，则a的值等于 10 ． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出a的值 ﹣解答： 解：函数f（x）=2x﹣2xlga是奇函数 ∴f（x）+f（﹣x）=0， x﹣x

∴2﹣2lga+2﹣2lga=0，即2+2﹣lga（2+2）=0 ∴lga=1 ∴a=10 故答案为：10． 点评： 本题考查奇函数，解题的关键是熟练掌握奇函数的定义，由定义得出方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出参数的值． 10．函数f（x）为奇函数，且

，则当x＜0，f（x）= ．

x﹣x﹣xxx﹣xx﹣x 考点： 奇函数． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 先设x＜0，则﹣x＞0，再利用题意求出f（﹣x），再由奇函数的定义求出f（x）的表达式． 解答： 解：设x＜0，则﹣x＞0， ∵，∴， ∵函数f（x）为奇函数， ∴f（x）=﹣f（﹣x）=故答案为：． ， 点评： 本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出f（﹣x）的关系式，再利用奇函数的关系式求出f（x）的表达式，考查了转化思想． 11．函数

为奇函数，则实数a= ﹣1 ．

考点： 奇函数；对数的运算性质． 专题： 计算题． 分析： 根据奇函数的性质f（0）=0代入可得，lg（a+2）=0解方程可求 a 解答： 解：根据题意可得，使得函数有意义的条件： 根据奇函数的性质可得f（0）=0 所以，lg（a+2）=0 a=﹣1满足函数的定义域 故答案为：﹣1 点评： 本题主要考查了奇函数的性质的应用，解决本题可以利用奇函数的定义，使得f（﹣x）=﹣f（x）对于定义域内的任意的x都成立，也可利用奇函数的性质f（0）=0（定义域内有0），而利用性质解题可以简化运算． 8

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且

，f（x）=log2（﹣3x+1），

则f（2011）= ﹣2 ．

考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 利用函数的周期性和奇偶性，f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=﹣f（﹣1），代入已知的等式运算． 解答： 解：由题意可得 f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣log2（3+1）=﹣2， 故答案为﹣2． 点评： 本题考查函数的周期性和奇偶性，求函数的值，把f（2011）化简为﹣f（﹣1）是解题的关键． 13．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足（f2+x）=f（2﹣x），当﹣2≤x＜0时，（fx）=2，若则a2012= 0 ． x

，

考点： 奇函数；数列的函数特性；等比数列的通项公式． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据定义在R上的奇函数又关于某直线x=a≠0对称，则它又是周期函数，可求得函数f（x）的周期是8，进而得到答案． 解答： 解：∵f（2+x）=f（2﹣x），以2+x代替上式中的x得f（4+x）=f（﹣x）， 又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0， ∴f（4+x）=f（﹣x）=﹣f（x）， 再以4+x代替上式中的x得f（8+x）=﹣f（4+x）=f（x），由此可知：函数f（x）是以8为周期的函数， ∴a2012=f（2012）=f（251×8+4）=f（4），而f（4）=﹣f（0）=0， ∴a2012=0． 故答案是0． 点评： 本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，深刻理解函数的以上性质是解决问题的关键．同时知道结论：定义在R上的奇函数又关于某直线x=a≠0对称，则它又是周期函数． 14．设f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）= ．

考点： 奇函数． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 根据y=f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）代入f（x）在x＞0时的解析式，即可得到答案． 解答： 解：∵y=f（x）是R上的奇函数， 当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）= 故答案为：． 点评： 本题主要考查函数奇偶性，在解决有关函数奇偶性的问题时，一般采取转化的思想，把要求区间上的问题转化到已知区间上求解．属基础题． 15．（文科做）对于函数的这个性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数，函数具有的性质的序号是 ①③ ．（把具有的性质的序号都填上） 考点： 奇函数；正弦函数的单调性． 9

专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： 对函数求导，判断函数的单调性． 解答： 解：f（x）=x+sinx，显然f（﹣x）=﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数； 2f'（x）=3x+cosx＞0在R上恒成立，所以f（x）是增函数． 故答案为：①③． 点评： 本题是基础题．考查三角函数的诱导公式以及函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性，考查分析解决问题的能力和运算能力． 16．已知定义在R上的奇函数f（x），满足 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题． 分析： 先由，可得函数的周期为3，就把f（2006）转化为f（2）=f（﹣1），再利用f（x）化简f（x）=x+sinx，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，33，且f（1）=1，则f（2006）= ﹣1 ．

是奇函数即可求得结论． 解答： 解：因为， ∴有f（x+3）=f[（x+）+]=﹣f（x+）=f（x）． 即函数的周期为3． 又因为2006=3×668+2． 所以f（2006）=f（2）=f（﹣1） 又有f（x）是奇函数得：f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 本题主要考查函数的奇偶性和周期性，是对函数基本性质的考查，属于基础题． 17．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣25），f（80），f（11）的大小顺序是

󰀀 f（﹣25）＜f（80）＜f（11） ． 考点： 奇函数；函数单调性的性质；函数的周期性． 专题： 计算题；综合题． 分析： 先由“f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x）”转化得到f（x﹣4）=f（﹣x），然后按照条件，将问题转化到区间[0，2]上应用函数的单调性进行比较． 解答： 解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x）， ∴f（x﹣4）=f（﹣x），f（0） ∴f（﹣25）=f（21）=﹣f（17）=f（13）=﹣f（9）=f（5）=﹣f（1） f（80）=﹣f（76）=f（72）=﹣f（68）=f（）=﹣f（60）=f（）=..=﹣f（0） f（11）=﹣f（7）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1） 又∵函数在区间[0，2]上是增函数 0=f（0）＜f（1） ∴﹣f（1）＜f（0）＜f（1） ∴f（﹣25）＜f（80）＜f（11） 故答案为：f（﹣25）＜f（80）＜f（11） 点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用，综合性较强，条件间结合与转化较大，属中档题． 10

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，

，则f（﹣2+log35）= ．

考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 可利用奇函数的定义将f（﹣2+log35）的值的问题转化为求f（2﹣log35）的值问题，再根据函数的性质求出f（﹣2+log35） 解答： 解：由题意f（﹣2+log35）=﹣f（2﹣log35） 由于当x＞0时，故答案为 ，故f（﹣2+log35）=﹣f（log3）== 点评： 本题考查函数的性质，求解的关键是根据奇函数的性质将求值的问题转化到x＞0时来求，这是奇函数性质的一个很重要的运用． 19．若f（x）在[﹣3，3]上为奇函数，且f（3）=﹣2，则f（﹣3）+f（0）= 2 ． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 根据f（x）在[﹣3，3]上为奇函数，且f（3）=﹣2，求出f（﹣3）、f（0）的值，即可求得结果． 解答： 解：∵f（x）在[﹣3，3]上为奇函数， ∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x） ∵f（3）=﹣2， ∴f（﹣3）=2， f（﹣3）+f（0）=2 故答案为：2． 点评： 考查奇函数的定义，注意奇函数在原点有定义时，有f（0）=0，反之不成立，考查分析解决问题的能力和运算 能力，属基础题． 20．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数），则f（﹣1）= ﹣4 ． 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题． ﹣x+1分析： 由f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+1+2x+b（b为常数），知当x＜0时f（x）=﹣2+2x﹣b，f（0）=2+b=0，b=﹣2．由此能求出f（﹣1）． 解答： 解：∵f（x）为定义在R上的奇函数， x+1当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数）， ﹣x+1∴当x＜0时，﹣f（x）=2+2（﹣x）+b， ﹣x+1即f（x）=﹣2+2x﹣b， f（0）=2+b=0，b=﹣2． 2∴f（﹣1）=﹣2﹣2﹣（﹣2）=﹣4． 故答案为：﹣4． 点评： 本题考查奇函数的性质和应用，解题时要认真审题，熟练掌握奇函数的概念和应用，注意奇函数性质的灵活运用． 21．已知函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈[﹣e，0）时，f（x）=ax+ln（﹣x），则当x∈（0，e]时，f（x）= ax﹣lnx ．

x+1

11

考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 由x∈（0，e]，﹣x∈[﹣e，0），求出f（﹣x），再根据函数为奇函数，求出f（x）的解析式． 解答： 解：当x∈（0，e]时，﹣x∈[﹣e，0） 则f（﹣x）=﹣ax+lnx， 由于函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数 故f（x）=﹣f（﹣x）=ax﹣lnx． 故答案为：ax﹣lnx． 点评： 本题考查了求奇函数的解析式，掌握奇函数的性质是解决此题的关键． 22．已知函数f（x）是定义在R上周期为6的奇函数，且f（﹣1）=﹣1，则f（5）= ﹣1 ． 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题． 分析： 根据奇函数和周期函数的性质可以知道，f（﹣1+6）=f（﹣1）所以可求得f（5）从而最终得到答案． 解答： 解：据题意： 函数f（x）是定义在R上周期为6的函数 ∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=﹣1， 故答案为：﹣1． 点评： 本题主要考查奇函数和周期函数的定义即：f（x+6k）=f（x）（k∈Z）．这种中和考查经常在选择题中出现，已给予重视． 23．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且 ，则f（1）+f（2）+…+f（2009）= 0 ．

考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 根据题意可推出f（1﹣x）=f（﹣x）且f（﹣x）=﹣f（x），得到f（x）是周期为2的函数，且f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故可得 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ）=669×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（﹣1）． 解答： 解：∵， ∴f（﹣x）=f（1+x）， 又函数f（x）是定义在R上的奇函数 ∴﹣f（x）=f（﹣x），且f（x）=f（x+2） ∴f（﹣1）=f（1）=﹣1，∴f（﹣1）+f（0）+f（1）=0． 又 2009=669×3+2，故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ） =669×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（﹣1）=0， 故答案为0． 点评： 本题考查函数的对称性、周期性，及函数值，推出f（x）=f（x+2）且f（﹣x）=f（﹣x），是解题的关键． 24．下列结论中：

（1）定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是增函数，在区间[0，+∞）也是增函数，则函数f（x）在R上是增函数；

（2）若f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数； （3）函数y=x（4）是（0，1）上的减函数； （4）对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；

（5）若x0是函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，则f（m） f（n）＜0一定成立； 写出上述所有正确结论的序号： （1）（3） ．

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﹣0.5

考点： 奇函数；函数单调性的判断与证明． 专题： 常规题型；综合题． 分析： 利用函数的奇（偶）的定义和函数相等的定义判断（2）（4）不对，根据单调函数的定义判断（1）对（3）不对．根据函数零点的定义知（5）错． 解答： 解： （1）由增函数的定义中“任意性”知，两个单调区间不能并在一起，故不对； （2）函数y=0（x∈R）既是奇函数又是偶函数，但f（2）=f（﹣2），故不对； （3）考察幂函数y=x（，因﹣0.5＜0，故（0，1）上的减函数，故正确； （4）考察函数y=0（x∈R），但当定义域不同时，函数对应法则和值域可以相同，故不对； （5）若x0是函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，则f（m） f（n）不一定小于0，故不对． 故答案为：（1）（3）． 点评： 本题的考点是奇（偶）函数和减函数的定义的应用，主要考查对定义中关键词“任意性”的理解． 25．若函数f（x）=

考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 由已知中函数f（x）=﹣0.5是奇函数，则函数g（x）的解析式是 ﹣cosx ．

是奇函数，我们易根据当﹣π＜x＜0时，0＜﹣x＜π，求出f（﹣x）的解析式，根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x），即可得到答案． 解答： 解：若函数f（x）=是奇函数， 则当﹣π＜x＜0时，0＜﹣x＜π ∴f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx 又∵f（﹣x）=﹣f（x） ∴g（x）=﹣cosx 故答案为：﹣cosx 点评： 本题考查的知识点是奇函数，其中熟练掌握奇函数的性质，f（﹣x）=﹣f（x），是解答本题的关键． 26．设f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=1，又tanα=3，则f（secα﹣2）= ﹣1 ． 考点： 奇函数；函数的周期性；函数的值． 专题： 综合题． 分析： 根据同角三角函数基本关系式，求出sec2α﹣2的值，根据函数的奇偶性和周期性，即可求得结果． 解答： 解：∵tanα=3， 22∴secα﹣2=tanα﹣1=8， ∵f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=1， ∴f（3）=﹣1，f（8）=f（3+5）=f（3）=﹣1， 2即f（secα﹣2）=﹣1 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查函数的奇偶性和周期性，以及三角函数同角三角函数的基本关系式等基础题知识，是一道不错的综合题，同时考查了运算能力，属中档题． 2

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27．设f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2x，那么f（x）在（1，2）上的解析式是

󰀀 ﹣log2（2﹣x） 考点： 奇函数；函数的表示方法；函数的周期性． 专题： 计算题． 分析： 先设x∈（1，2），利用周期性和符号把“2﹣x”转化到区间（0，1），代入函数解析式，再利用奇函数的定义和周期性，求出f（x）在（1，2）上的解析式． 解答： 解：设x∈（1，2），则﹣1＜x﹣2＜0，∴0＜2﹣x＜1， ∵当x∈（0，1）时，f（x）=log2x，∴f（2﹣x）=log2（2﹣x）， ∵f（x）是R上以2为周期的奇函数， ∴f（x﹣2）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x），f（x）=f（x﹣2）=﹣log2（2﹣x）， ∴f（x）=﹣log2（2﹣x）， 故答案为：﹣log2（2﹣x）． 点评： 本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用函数的周期和负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义和周期性求出f（x）． 28．若

是奇函数，则a的值为 ﹣2 ．

考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 利用函数的解析式求出f（﹣x），利用奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x），量词恒成立的等式，求出a的值． 解答： 解： ∵f（x）为奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x） ∴恒成立 解得a=﹣2 故答案为﹣2 点评： 解决函数的奇偶性问题，一般利用奇偶性的定义列出恒成立的方程解决，注意具有奇偶性的定义域关于原点对称． 29．函数f（x）=ax+bsinx+1，若f（5）=7，则f（﹣5）= ﹣5 ． 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题． 分析： 由已知中函数f（x）=ax+bsinx+1，我们可以构造函数g（x）=f（x）﹣1=ax+bsinx，根据函数奇偶性的性质我们易得g（x）为一个奇函数，由奇函数的性质及f（5）=7，我们易得到结果． 解答： 解：令g（x）=f（x）﹣1=ax+bsinx 则g（x）为一个奇函数 又∵f（5）=7， ∴g（5）=6， ∴g（﹣5）=﹣6， 14

∴f（﹣5）=﹣5 故答案为：﹣5 点评： 本题考查的知识点为奇函数及函数的值，其中构造函数g（x）=f（x）﹣1=ax+bsinx，然后将问题转化为利用奇函数的定义求值，是解答本题的关键． 30．y=f（x）为奇函数，当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）= x+x ． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 由f（x）为奇函数且x＞0时，f（x）=x（1﹣x），设x＜0则有﹣x＞0，可得f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）． 解答： 解：∵f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x（1﹣x），∴当x＜0时，﹣x＞0， f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x（1+x））=x（1+x）， 即x＜0时，f（x）=x（1+x）， 2故答案为：x+x． 点评： 本题主要考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，要注意求哪区间上的解析式，要在哪区间上取变量． 2

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