高中数学第三章函数的应用章末检测新人教A版必修1(2021年整理)

2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用章末检测 新人教A版必修1

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第三章 函数的应用

章末检测

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数f（x)＝3－5的零点所在区间为（ ) A．（－1,0） C．(1,2)

B．（0,1） D．(2，3）

x解析：依次将区间端点代入函数，可知f(1）〈0，f（2)>0，根据函数零点存在性定理可知该函数的零点所在区间为(1,2）． 答案：C

2．某大型水库的蓄水量每年比上一年平均增长10.4％，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为( )

解析：设水库的原有蓄水量为1，由题意，f(x）＝(1＋10.4%)；即f（x）＝1。104，故选D。 答案：D

3．二次函数f(x）＝ax＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：

2

xxx －3 －2 －1 y 6 0 1 2 3 4 6 m 2－4 －6 －6 －4 n 不求a、b、c的值，可以判断方程ax＋bx＋c＝0的两根所在的区间是（ ) A．（－3，－1)和（2，4) C．（－1，1）和（1,2)

B．（－3,－1）和（1,1） D．（－∞，－3)和（4，＋∞）

解析：由表中数据可知，二次函数f（x)的图象关于直线x＝错误!对称． ∴一根在(－∞,错误!）内，另一根在(错误!，＋∞）内．而f(－3)·f(－1)＝ 6×（－4)<0，

f(2）·f（4)＝－4×6<0。

∴两根所在区间为（－3，－1)和(2，4)． 答案：A

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4．函数f(x）＝3ax－2a＋1在[－1,1］上存在一个零点，则a的取值范围是( ） A．a≥错误! C．－1≤a≤错误!

B．a≤－1

D．a≥错误!或a≤－1

解析：特殊值验证法:取a＝1,－1两个值验证,可得D. 答案：D

5．如果已知0〈a〈1，则方程aA．2 C．4

|x|

|x｜

＝|logax｜的实根个数为（ ） B．3

D．与a的值有关

解析:设y1＝a,y2＝｜logax|，分别作出它们的图象如图所示．

由图可知：有两个交点． 答案：A

6．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的错误!,那么经过3年，这种物质的剩留物质约是原来的( ) A。错误! C。错误!

解析：由(错误!)＝错误!。 答案：A

7．已知函数f（x)是偶函数，其图象与x轴有四个不同的交点，则函数f（x－1）的所有零点之和为( ) A．0 C．4

B．8 D无法确定

3

B。错误! D.错误!

解析:函数f（x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以四个零点之和为0，而f（x－1）是

f(x）图象向右平移了一个单位，所以零点之和为4.

答案:C

8．某企业2014年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2014年度产值的月平均增长率为（ ) A。错误!

B.错误!－1

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C。

11

P D。错误!

11

解析：设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x）， ∴x＝错误!－1，故选B。 答案：B

9．已知在x克a%的盐水中，加入y克b％(a≠b）的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为( ) A．y＝错误!x C．y＝错误!x

B．y＝错误!x D．y＝错误!x

解析:根据配制前后溶液不变，则有a％x＋b%y＝c％（x＋y）, ∴ax＋by＝cx＋cy，故y＝错误!x。 答案：B

10．用二分法判断方程2x＋3x－3＝0在区间（0,1)内的根(精确度0.25）可以是(参考数据：0.75＝0。421 875，0。625＝0。244 14)（ ） A．0。25 C．0。635

3

3

33

B．0。375 D．0。825

解析:令f（x）＝2x＋3x－3，f(0）〈0，f（1)>0，

f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0。625)<0，

∴方程2x＋3x－3＝0的根在区间(0。625，0。75）内， ∵0.75－0。625＝0。125<0。25，

∴区间（0.625,0。75）内的任意一个值均可作为方程的近似根．故选C。 答案：C

11．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0。4万公顷和0。76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是( ） A．y＝0.2x C．y＝错误!

B．y＝错误!(x＋2x) D．y＝0.2＋log16x

2

3

解析：将(1,0。2）,(2，0.4），(3,0。76）与x＝1，2,3时，选项A、B、C、D中得到的y值做比较，y＝错误!的y值比较接近． 答案:C

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12．若方程xlg(x＋2）＝1的实根在区间(k,k＋1)(k∈Z)上，则k＝( ）

A．－2 C．－2或1

B．1 D．0

在同一直角坐示．由图象可知,上，所以k＝－

解析:由题意知，x≠0，则原方程即为lg（x＋2）＝错误!。标系中作出函数y＝lg（x＋2)与y＝错误!的图象，如图所原方程有两个根，一个在区间（－2，－1)上,一个在区间(1,2)2或1。 答案：C

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）

13．若函数f（x）＝a－x－a（a〉0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________． 解析：设函数y＝a(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝a－x－a（a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝a(a>0，且a≠1）与函数y＝x＋a有两个交点．由图象可知当0〈a<1时两函数只有一个交点．不符合;当a>1时，因为函数y＝a(a>1）的图象过点（0，1），而直线y＝x＋a所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是｛a|a>1}．

xxxxx

答案：(1，＋∞）

14．若函数y＝f(x）是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2 009，则x1＋x2＋…＋x2 009＝________. 解析:定义在R上的奇函数f(x)必有f(0)＝0，则x1，x2…x2 009中必有一个是零，其余的2 008个零点分别在x轴上,关于坐标原点两两对称． 答案：0

15．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________。

月份 1 2 78 3 67 4 71 5 72 6 70 5 / 95

价格(元/担) 68

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解析:由于农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的收购价格为函数y＝(a－71)＋（a－72）＋（a－70)取得最小值时的a，则a＝错误!＝71.从而7月份的收购价格为71元/担． 答案：71元/担

16。 对于实数a和b,定义运算“＊”：a*b＝错误!，设f（x）＝(2x－1)*（x－1),且关于x的方程f（x）＝m（m∈R)恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是________． 解析:由定义运算“*”可知f(x） ＝错误!

＝错误!，画出该函数图象可知,

2

2

2

当直线y＝m在x轴之上与直线y＝错误!之间时，方程f（x）＝m恰有三个互不相等的实数根, 所以0〈m〈错误!。 答案：0〈m<错误!

三、解答题(本大题共6小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分为12分)若函数f（x）＝mx－x－2只有一个零点，试求m的取值范围． 解析:①当m＝0，则f(x）＝－x－2，f(x)仅有一个零点－2.

②当m≠0,则f（x)＝mx－x－2是二次函数，若是只有一个零点，即方程mx－x－2＝0仅有一个实数根，故Δ＝1＋8m＝0 解得m＝－错误!。

综上，当m＝0或m＝－错误!时函数只有一个零点．

18．(本小题满分为12分）试找出一个长度为1的区间,在这个区间上函数y＝错误!至少有一个零点．

解析：函数f（x)＝错误!的定义域为（－∞，－错误!）∪(－错误!，＋∞)．取区间［错误!，错误!]， ∵f(错误!)＝错误!＝－错误!〈0，f（错误!)＝错误!＝错误!>0，

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2

2

2

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∴在区间［错误!,错误!］内函数f(x)至少有一个零点．

1

∴[，错误!］就是符合条件的一个区间．

2

19．（本小题满分为12分)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k（k>0）． (1）写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域; (2）求鱼群年增长量的最大值．

解析：(1)根据题意知空闲率是错误!，故y关于x的函数关系式是y＝kx·错误!,020．(本小题满分为12分)为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：

2

2

第一套 40.0 第二套 37。0 70.2 椅子高度x(cm） 桌子高度y(cm） 75。0 （1）请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

（2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？

解析：(1)依题意，由于课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设y＝ax＋b，将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得错误!解得错误!所以y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.

（2)将x＝42代入(1)中的函数解析式得y＝1.6×42＋11＝78.2，因此给出的这套课桌椅是配套的．

21．（本小题满分为13分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x＋（3a－2）x＋a－1在区间［－1,3］上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点，若存在，求出实数a的取值范围;若不存在，说明理由．

解析：（1)若函数f（x)在(－1，3)上有一个零点,则只需有f（－1)·f（3）＜0， 即(1－3a＋2＋a－1）(9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1)＜0， ∴a＜－错误!或a＞1。

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（2）若f(－1)＝0，则a＝1，

此时f(x)＝x＋x，

令f(x）＝0,即x＋x＝0，得

2

2

x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3］上有两根，不合题意,故a≠1。 (3)若f(3)＝0，则a＝－错误!， 此时f(x)＝x－错误!x－错误!.

令f（x)＝0,即x－错误!x－错误!＝0， 解得x＝－错误!或x＝3，

方程在［－1,3］上有两根，不合题意,故a≠－错误!. 综上所述，a的取值范围为(－∞，－错误!)∪（1，＋∞)．

22．(本小题满分为 13分）某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分．通过市场调查发现：

①销售量r(x）与衬衣标价（x元/件)在销售旺季近似符合函数关系:r（x）＝kx＋b1，在销售淡季近似符合函数关系：r(x）＝kx＋b2，其中k<0，b1,b2〉0，且k，b1，b2为常数； ②在销售旺季,商场以140元/件的价格销售能获得最大利润;

③若称①中r(x)＝0的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1。5倍．

请根据上述信息，完成下列问题： (1)填出表格中空格的内容。

数量关系 销售季节 旺季 淡季 标价 (元/件) 销售量r（x)(件） 不同季节的销售总利润y（元)与标价x（元/件)2

2

(含k、b1或b2) 的函数关系式 x x r（x)＝kx＋b1 (2)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元才合适？ 解析：(1）如下表:

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2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用章末检测 新人教A版必修1 销售量r(x)不同季节的销售总利润y（元) 数量关系 标价 （件) 与标价x（元/件）的函数关系销售季节 （元/件) (含k、b1或b2) 式 旺季 x r(x)＝kx＋b1 y＝kx2－（100k－b1)x－100b1 淡季 x r（x)＝kx＋b22 y＝kx－（100k－b2）x－100b2 (2）在（1）的表达式中，由k〈0可知：

在销售旺季，当x＝错误!＝50－错误!时，利润y取得最大值； 在销售淡季，当x＝错误!＝50－错误!时，利润y取得最大值． 下面分销售旺季和销售淡季进行讨论:

由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时,能获得最大利润． 因此在销售旺季，当标价x＝50－错误!＝140时，利润y取得最大值． 此时b1＝－180k，销售量为r（x）＝kx－180k.

由kx－180k＝0知,在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件． ∵销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1。5倍， ∴销售淡季的“临界价格”为120元/件， ∴120k＋b2＝0，

∴在销售淡季，当标价x＝50－错误!＝110元/件时，利润y取得最大值． 故在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．

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