数与代数专项测试卷答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 201 (1)141

183201 解 141

183 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 111(3)abc a2b2c2111 解 abc

a2b2c2 bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (ab)(bc)(ca)

4 计算下列各行列式

41 (1)1001251202142 0741 解 100125120214c2c34210c7c103074123020211041102122(1)43 141031404110c2c39910 1220020

10314c112c317171423 (2)151120423611 2223 解 15112042361c4c2213215211204230112042360r4r222310221121423402 00r4r123 10020 00abacae (3)bdcdde

bfcfefabacaebce 解 bdcddeadfbce

bcebfcfef111 adfbce1114abcdef

111a1 (4)001b1001c100 1d0r1ar201ab01b101d00a1c100 1da1 解 001b1001c11aba0c3dc21abaad (1)(1)211c11c1cd

01001d

6. 证明:

abadabcdabcdad1 (1)(1)32111cda2abb2 (1)2aab2b(ab)3;

111 证明

a2abb2c2c1a2aba2b2a2 2aab2b2aba2b2a

00111c3c11222ababaaba(ab)3  (ba)(ba)1 (1)2ba2b2a31axbyaybzazbxxyz (2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;

azbxaxbyaybzzxy 证明

axbyaybzazbx aybzazbxaxby

azbxaxbyaybzxaybzazbxyaybzazbx ayazbxaxbybzazbxaxby

zaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbx a2yazbxxb2zxaxby

zaxbyyxyaybzxyzyzx a3yzxb3zxy

zxyxyzxyzxyz a3yzxb3yzx

zxyzxyxyz (a3b3)yzx

zxy8. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1)Dn是0 解

a1  1a, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都

a0 Dn0  010a0  0000a  00            000  a0100(按第n行展开)   0a0an1 (1)0  000a  0000  0          000  a1a0(1)2na   0  a(n1)(n1)0(n1)(n1)ananan2an2(a21)

an1n(1)(1)

  a(n2)(n2)

x (2)Dn a aax  a        aa;   x  a  0  0     0xa 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得 xaaaxxa0 Dnax0xa      ax00再将各列都加到第一列上 得

x(n1)aaa0xa0 Dn00xa      000第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积

a11a12a13x1(5)(x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3  a  0n   0[x(n1)a](xa)    0xa 解

a11a12a13x1 (x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3x1 (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)x2

x322 a11x12a22x2a33x32a12x1x22a13x1x32a23x2x3

111123T

2. 设A111 B124 求3AB2A及AB

111051111123111 解 3AB2A31111242111

1110511110581112 30562111229011141111230 ATB111124011105123.

13221720 2925856 90已知两个线性变换

x12y1y3 x22y13y22y3

x34y1y25y3 解 由已知

y13z1z2y22z1z3 y3z23z3求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 x1201y120131 x2232y223220x415y4150123613z1 1249z2

10116z30z11z2 z33x16z1z23z3所以有x212z14z29z3

x310z1z216z34.

1设A12 B1130 问 2 (1)ABBA吗? 解 ABBA

3 因为AB4

4 BA1362 所以ABBA 8 (3)(AB)(AB)A2B2吗? 解 (AB)(AB)A2B2

2 因为AB22 AB00520052

16

92 (AB)(AB)2200138102而 A2B2411341故(AB)(AB)A2B2

5. 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A20 则A0

8

70 解 取A01 则A20 但A0 0 (2)若A2A 则A0或AE

1 解 取A0 解 取

1 则A2A 但A0且AE 0 (3)若AXAY 且A0 则XY 

10 X11 Y11 A001101则AXAY 且A0 但XY 

107. 设A01 求Ak 

00 解 首先观察

1010221 A20101022

00000023323 A3A2A0332

00344362 A4A3A0443

004554103 A5A4A0554

005      

kkk1k(k1)k22k A0kkk100k 用数学归纳法证明 当k2时 显然成立 假设k时成立，则k1时，

  kkk1k(k1)k2102 Ak1AkA0kkk101

0000kk1(k1)k1(k1)kk12 0k1(k1)k1

k100由数学归纳法原理知

kkk1k(k1)k22 Ak0kkk1

00k

8. 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

证明 因为ATA 所以

(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而BTAB是对称矩阵 11 求下列矩阵的逆矩阵

1 (1)22 512 |A|1 故A1存在 因为 解 A25A11A2152 A*AA21

122252 故 A11A*21|A|121(3)342 541121 解 A342 |A|20 故A1存在 因为

541A11A21A31420 A*A12A22A321361

32142AAA13233321013111所以 AA*3

|A|221671a1a02(4)(a1a2  an 0) 

0ana10a2 解 A 由对角矩阵的性质知 0an1a101a2 A110an12. 利用逆矩阵解下列线性方程组 x2x23x311 (1)2x12x25x32

3x15x2x33 解 方程组可表示为 123x11 225x22

351x331x112311故 x222520

x351303x11从而有 x20

x3014 10 求A11 19.设P1AP 其中P1102 解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1.

1 |P|3 P*11而 110114 P1114

1113010 

02112142731273214101133故 A021111683684 1133111120. 设APP 其中P102 1 1115求(A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62)

diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)] diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1

1P()P* |P|111100222 2102000303111000121111 4111

111

21. 设AkO (k为正整数) 证明(EA)1EAA2  Ak1 证明 因为AkO  所以EAkE 又因为 EAk(EA)(EAA2  Ak1) 所以 (EA)(EAA2  Ak1)E 由定理2推论知(EA)可逆 且 (EA)1EAA2  Ak1

证明 一方面 有E(EA)1(EA)

另一方面 由AkO 有

E(EA)(AA2)A2  Ak1(Ak1Ak) (EAA2  A k1)(EA) 故 (EA)1(EA)(EAA2  Ak1)(EA) 两端同时右乘(EA)1 就有

(EA)1(EA)EAA2  Ak1

22 设方阵A满足A2A2EO 证明A及A2E都可逆 并求A1及(A2E)1

证明 由A2A2EO得 A2A2E 即A(AE)2E 或 A1(AE)E

2由定理2推论知A可逆 且A11(AE)

2 由A2A2EO得

A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E 或 (A2E)1(3EA)E

4由定理2推论知(A2E)可逆 且(A2E)11(3EA)

4

证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得 |A2A|2 即 |A||AE|2 故 |A|0

所以A可逆 而A2EA2 |A2E||A2||A|20 故A2E也可逆 由 A2A2EO A(AE)2E

A1A(AE)2A1EA11(AE)

2又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E  (A2E)(A3E)4 E

所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 (A2E)11(3EA)

4第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列矩阵化为行最简形矩阵

1021 (1)2031

30431021 解 2031(下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 )

30431021 ~0013(下一步 r2(1) r3(2) )

00201021 ~0013(下一步 r3r2 )

00101021 ~0013(下一步 r33 )

00031021 ~0013(下一步 r23r3 )

00011021 ~0010(下一步 r1(2)r2 r1r3 )

00011000 ~0010

0001

13 (3)23132335344422353431 0131(下一步 r3r r2r r3r )

213141

0113 解 231323442210 ~0010 ~0010 ~0013430488(下一步 r(4) r(3)  r(5) )

234

0366051010100010003111422232(下一步 r3r rr rr )

123242

22023122 0000003. 已知两个线性变换

x12y1y3 x22y13y22y3

x34y1y25y3 解 由已知

y13z1z2y22z1z3 y3z23z3求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 x1201y120131 x2232y223220x415y4150123613z1 1249z2

10116z30z11z2 3z3x16z1z23z3所以有x212z14z29z3

x310z1z216z3

4. 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

321 (1)315

323321100321100 解 315010~014110

3230010021013203/201/23007/229/2 ~010112~010112

0021010011/201/21007/62/33/2 ~010112

0011/201/2723632

故逆矩阵为112

11022

32010221 (2)

12320121

3201100002210100 解 

12320010012100011232001001210001 ~

04951030022101001232001001210001 ~

00111034002101021232001001210001 ~ 0011103400012161012000100 ~0010000110 ~000100001010121221`01 136161010故逆矩阵为120112400101 01136121610124101 1361610021123 求X使XAB 5. (2)设A213 B231334 解 考虑ATXTBT 因为

02312r10024 (AT, BT)21323~ 01017

134310011424所以 XT(AT)1BT17

14211 从而 XBA14749. 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是

(1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)

解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

11100

010000010000010000 00此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量

123k12. 设A12k3 问k为何值 可使

k23 (1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3

k123kr11 解 A12k3~ 0k1k1k2300(k1)(k2) (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3 P106/ 1.已知向量组

A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示

01 证明 由 (A, B)231r ~ 000 由

301223012041r124~0 111021300312432204 16157281790316020041241r157~0 51525001350312416157 0413500000知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示

2041021124r022r0 B~~11101102130110010021 00知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121r121r121 A314~077~011

101022000所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为

210 |B|340220

002所以R(B)3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关

5 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由

a11 |A|1a1a(a1)(a1)

11a知 当a1、0、1时 R(A)3 此时向量组线性相关

9.设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

证明 由已知条件得

a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1

于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1 从而 b1b2b3b40

这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组

(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T 解 由

1921921921004r0820r01 (a1, a2, a3)~~1102019000448032000性无关 所以a1 a2是一个最大无关组

20 00知R(a1 a2 a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线

12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组

2575 (1)7525

3117439453132 94134322048 解 因为

2575752510 (2)21311743r23r1253r19453132r3~094134r4r10032204812012130251411 3131171213134325rr34~305r3r20053117120100433 30所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

解 因为

102112012130251411r2r13~103r4r100112202112255211rr13~201r3r400212002120252011 20所以第1、2、3列构成一个最大无关组 13. 设向量组

(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T

的秩为2 求a b

解 设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为

13r111312a2r11(a3, a4, a1, a2)233b~01a11~01a11

1113011b6002ab5而R(a1 a2 a3 a4)2 所以a2 b5 20.求下列齐次线性方程组的基础解系 x18x210x32x40 (1)2x14x25x3x40

3x18x26x32x40 解 对系数矩阵进行初等行变换 有

018102r104 A2451 ~ 013/41/4

38620000于是得

x14x3 x(3/4)x(1/4)x

234 取(x3 x4)T(4 0)T 得(x1 x2)T(16 3)T 取(x3 x4)T(0 4)T 得(x1 x2)T(0 1)T 因此方程组的基础解系为

1(16 3 4 0)T 2(0 1 0 4)T

2x13x22x3x40 (2)3x15x24x32x40

8x17x26x33x40 解 对系数矩阵进行初等行变换 有

2321r102/191/19 A32 ~ 0114/197/19

87630000于是得

x1(2/19)x3(1/19)x4 x(14/19)x(7/19)x

234 取(x3 x4)T(19 0)T 得(x1 x2)T(2 14)T 取(x3 x4)T(0 19)T 得(x1 x2)T(1 7)T 因此方程组的基础解系为

1(2 14 19 0)T 2(1 7 0 19)T

26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系

x1x25 (1)2x1x2x32x41

5x13x22x32x43 解 对增广矩阵进行初等行变换 有

11005r10108B21121 ~ 011013 5322300012 与所给方程组同解的方程为

x1x38x2 x313 x4 2 当x30时 得所给方程组的一个解(8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组同解的方程为

x1x3x2 x3 x40 当x31时 得对应的齐次方程组的基础解系(1 1 1 0)T

x15x22x33x411 (2)5x13x26x3x41

2x14x22x3x46 解 对增广矩阵进行初等行变换 有

152311r109/71/21 B53611 ~ 011/71/22

2421600000 与所给方程组同解的方程为

x1(9/7)x3(1/2)x41

x(1/7)x(1/2)x2234 当x3x40时 得所给方程组的一个解

(1 2 0 0)T

与对应的齐次方程组同解的方程为

x1(9/7)x3(1/2)x4 x(1/7)x(1/2)x234 分别取(x3 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系

1(9 1 7 0)T 2(1 1 0 2)T