2014年高考广西理科数学试题及答案(word解析版)

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

10i（1）【2014年广西，理1，5分】设z，则z的共轭复数为（ ）

3i（A）13i （B）13i （C）13i （D）13i 【答案】D

10i3i10i1030i13i，∴z13i，故选D． 【解析】∵z3i3i3i10【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

（2）【2014年广西，理2，5分】设集合M{x|x23x40}，N{x|0x5}，则MN（ ）

（A）(0,4] （B）[0,4) （C）[1,0) （D）(1,0] 【答案】B

【解析】由x23x40，得1x4．∴Mxx23x40x1x4，又Nx0x5，

∴MNx1x4x0x50,4，故选B．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． （3）【2014年广西，理3，5分】设asin330，bcos550，ctan350，则（ ）

（A）abc（B）bca（C）cba（D）cab 【答案】C

【解析】由诱导公式可得bcos55cos9035sin35，由正弦函数的单调性可知ba，

sin35sin35b，∴cba，故选C．

cos35【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．

而ctan35（4）【2014年广西，理4，5分】若向量a,b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|（ ）

（A）2 （B）2 （C）1 （D）22 222【答案】B

【解析】由题意可得，∴ab1；2abb2abb2b0，∴b2， (ab)aaab1ab0，则|b|2，故选B．

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题． （5）【2014年广西，理5，5分】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗

小组，则不同的选法共有（ ）

（A）60种 （B）70种 （C）75种 （D）150种 【答案】C

15种选【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有C6215种选法，再从5名女医生中选出1人，有C5法，则不同的选法共有15×5=75种，故选C．

【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．

x2y23（6）【2014年广西，理6，5分】已知椭圆C：221(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，

3ab过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为（ ）

2x2y2x2x2y2x2y22（A）1 （B）y1 （C）1 （D）1

321281243【答案】A

1

【解析】∵AF1B的周长为43，∴4a43，∴a3，∵离心率为3，∴c1，∴ba2c22， 3x2y2∴椭圆C的方程为1，故选A．

32【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （7）【2014年广西，理7，5分】曲线yxex1在点1,1处切线的斜率等于（ ）

（A）2e （B）e （C）2 （D）1 【答案】C

【解析】函数的导数为fxex1xex11xex1，当x1时，f12，即曲线yxex1在点1,1处切线

的斜率kf12，故选C．

【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． （8）【2014年广西，理8，5分】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球

的表面积为（ ）

8127（A） （B）16 （C）9 （D）

44【答案】A

【解析】设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R24R222，

29981∴R，∴球的表面积为4，故选A．

444【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． （9）【2014年广西，理9，5分】已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，

若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1（ ）

1221 （B） （C） （D）

4343【答案】A

c【解析】∵双曲线C的离心率为2，∴e2，即c2a，点A在双曲线上，则|F1A||F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，

a∴解得F1A4a，F2A2a，F1F22c，则由余弦定理得

（A）

cosAF2F1AF2F1F2AF12AF2F1F22224a24c216a24c212a2c23a24a23a21，故选A．

22a2c8ac2ac4a24【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算

能力．

（10）【2014年广西，理10，5分】等比数列{an}中，a42,a55，则数列{lgan}的前和等于（ ） （A）6 （B）5 （C）4 （D）3 【答案】C

【解析】∵等比数列{an}中a42，a55，∴a4a52510，∴数列lgan的前和 Slga1lga2lga8lga1a2a8lga4a54lga4a54lg104，故选C．

4【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题． （11）【2014年广西，理11，5分】已知二面角l为600，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，

ACD1350，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）

1123（A） （B） （C） （D）

4442【答案】B

【解析】如图，过A点做AEl，使BE，垂足为E，过点A做AF//CD，过点E做

连接BF，∵ABl，∴BAE60，又ACD135，∴EAF45， EFAE，

2

在RtBEA中，设AEa，则AB2a，BE3a，在RtAEF中，则EFa，AF2a，在RtBEF 中，则BF2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是BAF，

2aABAFBF2，故选B． cosBAF2ABAF422a2a【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了

学生的空间想想能力和作图能力，属于难题．

（12）【2014年广西，理12，5分】函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象关于直线xy0对称，则yf(x)的反函数是（ ）

（A）yg(x) （B）yg(x) （C）yg(x) （D）yg(x) 【答案】D

【解析】设Px,y为yfx的反函数图象上的任意一点，则P关于yx的对称点Py,x一点在yfx的

2222a22a22图象上，又∵函数yfx的图象与函数ygx的图象关于直线xy0对称，∴Py,x关于直线xy0的对称点Px,y在ygx图象上，∴必有ygx，即ygx，∴yfx的

反函数为：ygx，故选D．

【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

xy8（13）【2014年广西，理13，5分】()的展开式中x2y2的系数为 ．

yx【答案】70

r3r3rx84yxyrrrr22【解析】的展开式的通项公式为Tr1C81， C1xy8yxxy3r3r令842，求得r4，故展开式中x2y2的系数为C8470．

22【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系

数，属于中档题．

xy0（14）【2014年广西，理14，5分】设x、y满足约束条件x2y3，则zx4y的最大值为 ．

x2y188r【答案】5

xy0xy0【解析】由约束条件x2y3作出可行域如图，联立，解得C1,1．

x2y3x2y11z化目标函数zx4y为直线方程的斜截式，得yx．

441z由图可知，当直线yx过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时zmax1415．

44【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （15）【2014年广西，理15，5分】直线l1和l2是圆x2y22的两条切线，若l1与l2的交点为1,3，则l1与l2的

夹角的正切值等于____________． 4【答案】

33

【解析】设l1与l2的夹角为2，由于l1与l2的交点A1,3在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为

OA1910，圆的半径为r2，∴sintan2r222sin1，cos，tan，OAcos210102tan14． 211tan134【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正

切公式的应用，属于中档题．

（16）【2014年广西，理16，5分】若函数f(x)cos2xasinx在区间(,)是减函数，则a的取值范围是 ．

62【答案】,2

【解析】由fxcos2xasinx2sin2xasinx1，令tsinx，则原函数化为y2t2at1．∵x(,)

621时fx为减函数，则y2t2at1在t,1上为减函数，∵y2t2at1的图象开口向下，且

2aa1

对称轴方程为t．∴，解得：a2．∴a的取值范围是,2．

442

【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位

置，是中档题．

三、解答题：本大题共6题，共75分． （17）【2014年广西，理17，10分】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC2ccosA，

1tanA，求B．

3sinAsinC解：根据正弦定理，由3acosC2ccosA3sinAcosC2sinCcosA323tanA2tanC

cosAcosC1111tanAtanC1321 因为tanA，所以32tanCtanC，所以tan(AC)1tanAtanC111323323 因为0AC，所以AC，由三角形的内角和可得B．

444【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本

技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

（18）【2014年广西，理18，12分】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a110，a2为整数，且SnS4．

（1）求{an}的通项公式；

1（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．

anan1解：（1）设等差数列{an}的公差为d，而a110，从而有an10(n1)d若，d0，Sn10n，此时SnS4不

成立；若d0，数列{an}是一个单调递增数列，Sn随着n的增大而增大，也不满足SnS4；当d0时， 104d0a0105d，又因 数列{an}是一个单调递减数列，要使SnS4，则须满足5，即32103d0a40为a2a1d为整数，所以dZ，所以d3，此时an103(n1)133n．

111111()， （2）由（1）可得bnanan1(133n)(103n)(3n13)(3n10)3n133n103111111111所以Tn(())(())()

31073743n133n1031111111111n(()()())()． 3107743n133n103103n1010(3n10)4

【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题． （19）【2014年广西，理19，12分】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，

ACB900，BC1,ACCC12．

（1）证明：AC1A1B；

（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1ABC的大小． 解：解法一： （1）因为A1C1C，故平面AA1C1C平面ABC． 1D平面ABC，A1D平面AA又BCAC，所以BC平面AA1C1C．连结A1C．因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C． 由三垂线定理得AC1A1B．

（2）BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1．

作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1．又直线A1A//平面BCC1B1，因而A1E为直线A1A

与平面BCC1B1的距离，A1E3．因为A1C为A1CC1的平分线，故A1DA1E3．作DFAB， F为垂足，连结A1F．由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1ABC的平面角．

AD1ACBC5AA12A1D21得D为AC中点，DF=，tanA1FD115． DF2AB5所以二面角A1ABC的大小为arctan15． 解法二：

以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系Cxyz，由题设知A1D与x轴平行，z轴在平面AA1C1C内

由AD（1）设A1(a,0,c)，由题设有a2,A(2,0,0),B(0,1,0)，则AB(2,1,0),AC(2,0,0)，

AA1(a2,0,c)，AC1ACAA1(a4,0,c),BA1(a,1,c)

………………2分

由|AA1|2(a2)2c22，即a24ac20①

于是AC1BA1a24ac20，所以AC1A1B． ……………………5分 （2）设平面BCC1B1的法向量m(x,y,z)，则mCB,mBB1，所以mCB0,mBB10，

y0m(c,0,2a)， 因CB(0,1,0),BB1AA1(a2,0,c)，所以，令xc，则z2a，

(a2)xcz0点A到平面BCC1B1的距离为|CA||cosm,CA|CAm2c2c2cc， |m|c2(2a)2a24ac242又依题设，A到平面BCC1B1的距离为3，所以c3代入①解得a3（舍去）或a1 ……8分 于是AA1(1,0,3)，设平面ABA1的法向量n(p,q,r)，则nAA1,nAB所以nAA10,nAB0，

3pp3r0r所以3，令p3，则q23,r1,n(3,23,1)，又p(0,0,1)为平面ABC

2pq0q2pnp11的法向量，故cosn,p，

|n||p|(3)2(23)212141所以二面角A1ABC的大小为arccos． ………………………………………………………12分

4【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． （20）【2014年广西，理20，12分】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，

各人是否需使用设备相互．

（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．

解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，

B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备

5

i（1）DA1BCA2BA2BC，P(B)0.6,P(C)0.4,P(Ai)C20.52,i0,1,2，

所以P(D)P(A1BCA2BA2BC)P(A1BC)P(A2B)P(A2BC)

P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)0.31．

（2） X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X0)P(BCA0)P(B)P(C)P(A0)(10.6)(10.4)0.520.06

P(X1)P(BA0CBA0CBA1C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A1)P(C)0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25

P(X4)P(BCA2)P(B)P(C)P(A2)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，

P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)0.38 所以X的分布列为： 0 1 2 3 4 X 0.06 0.25 0.38 0.25 0.06 P 数学期望E(X)P(X2)0P(X0)1P(X1)2P(X3)3P(X3)4P(X4)

0.2520.3830.2540.062．

【点评】本题主要考查了事件的概率和数学期望，关键是找到的事件，计算要有耐心，属于难题． （21）【2014年广西，理21，12分】已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，

5与C的交点为Q，且|QF||PQ|．

4（1）求C的方程；

（2）过的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相较于M、N两点，且A、M、B、

N四点在同一圆上，求l的方程．

88pp8解：（1）设Q(x0,4)，代入y22px得x0，所以PQ，QFxp，

pp22pp858由题设得．解得p2或p2，所以C的方程为y24x．

2p4p（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1（m0），代入y24x得y24my40

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1y24m，y1y24，故AB的中点为D(2m21,2m)．

1ABm21y2y14(m21)，又l'的斜率为m，所以l'的方程为xy2m23

m44将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0，设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3y4，

mm14(m21)2m211y4y3 m2m21由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于AEBEMN，

222112224(m1)(2m21)2222222从而ABDEMN，即4(m1)(2m)(22)，

44mmm2化简得m210，解得m1或m1，所求直线l的方程为：xy10或xy10．

【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，

体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

ax（22）【2014年广西，理22，12分】函数f(x)ln(x1)(a1)．

xa（1）讨论f(x)的单调性；

23an（2）设a11,an1ln(an1)，证明：． n+2n2x[x(a22a)]'解：（1）f(x)的定义域为(1,)，f(x)，

(x1)(xa)222y3y44(2m3)故MN的中点为E(22m23,)．MNmm2（i）当1a2时，若x(1,a22a)，则f'(x)0，f(x)在(1,a22a)上是增函数；

6

若x(a22a,0)，则f'(x)0，f(x)在(a22a,0)上是减函数； 若x(0,)，则f'(x)0，f(x)在(0,)上是增函数；

（ii）当a2时，f'(x)0，f'(x)0成立当且仅当x0，f(x)在(1,)上是增函数； （iii）当a2时，若x(1,0)，则f'(x)0，f(x)在(1,0)上是增函数；

若x(0,a22a)，则f'(x)0，f(x)在(0,a22a)上是减函数；

若x(a22a,)，则f'(x)0，f(x)在(a22a,)上是增函数．

（2）由（1）知，当a2时，f(x)在(1,)上是增函数，当x(0,)时，则f(x)f(0)0，

2xln(x1)(x0)．又由（1）知，当a3时，f(x)在0,3上是减函数．

x23x当x(0,3)时，则f(x)f(0)0，即ln(x1)(0x3)．

x323下面用数学归纳法证明． ann+2n22（i）当n1时，由已知a11，故结论成立；

323（ii）设当nk时结论成立，即．当nk1时，成立当且仅当x0，f(x)在(1,) akk+2k223323k+22，k+23，上是增函数； ak1ln(ak1)ln(1)ak1ln(ak1)ln(1)23k+2k3k+2+2+3k3k+2k+2223，结论成立． ak1k+3k3根据（i）、（ii）知对任何nN*结论都成立．

【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．

即当nk1时有

7