九年级培优二次函数与一元二次方程综合、线段最值专题辅导

例1、若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）

A．0

B．0或2

C．2或﹣2 D．0，2或﹣2

22

例2、二次函数y=x+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x+bx﹣t=0（t为实数）

在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ） A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8

例2图 例3图 2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax+bx+c的解集为（ ）

A．﹣1≤x≤9 B．﹣1≤x＜9 C．﹣1＜x≤9 D．x≤﹣1或x≥9

2

例4图

例3、如图，一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，

例4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：

①ab＜0；②方程ax+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大； ⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．

其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）．

2

例5、 已知关于x的一元二次方程 mx23(m1)x2m30.

（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线ymx23(m1)x2m3与x轴交点的横坐标都是整数，且x4时，求m的整数值．

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 例6、如图，抛物线y=x2+bx﹣c与x轴交A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两

点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；

（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．

例7、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a－1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值.

（2）将二次函数y=（a－1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位， y2

向下平移m+1个单位，当 －2≤x≤1时，二次函数有最小值－3， 求实数m的值.

1O1x例7图

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 反馈练习：

1、二次函数y=kx﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0

2

2、已知二次函数y=﹣x+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）

2

第2题 第3题

3、如图是二次函数y=ax+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax+bx+c＜0的解集是（ ） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

22

4、关于x的函数y=（m﹣1）x﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

5、已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．

2

2

2

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 6．如图，已知抛物线y=﹣x+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

2

7．某班“数学兴趣小组”对函数y=x﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 … 2

其中，m= ． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x﹣2|x|=0有 个实数根；

2

②方程x﹣2|x|=2有 个实数根；

2

③关于x的方程x﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是 ．

2

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 8.自主学习，请阅读下列解题过程．

2

解一元二次不等式：x﹣5x＞0．

22

解：设x﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出

2

二次函数y=x﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，

22

此时y＞0，即x﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 （2）一元二次不等式x﹣5x＜0的解集为

2

（3）（3）用类似的方法解一元二次不等式：x﹣2x﹣3＞0．

2

9．（2016•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

2

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 参： 例1、解：分为两种情况： 解答：①当函数是二次函数时， ∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0， 解得：m=±2， ②当函数是一次函数时，m=0， 此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点， 故选：D． 点评：本 题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错． 例2解答： 解：对称轴为直线x=﹣=1， 解得b=﹣2， 所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x， y=（x﹣1）2﹣1， x=﹣1时，y=1+2=3， x=4时，y=16﹣2×4=8， ∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故选：C． 点评：本 题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观． 例3、解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交解答：点的横坐标分别为﹣ 1，9， 当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9． 故选A． 点评：本 题考查了二次函数与不等式（组），此类题可采用“数形结合”的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 例4、 解答：解 ：①∵抛物线开口方向朝上，∴a＞0，又对称轴为x=1，∴b＜0，∴ab＜0，故正确； ②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，故正确； ③∵当x=1时，y=a+b+c，从图象知道当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故错误； 6 页第

多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 ④∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，故正确； ⑤∵当y＞0时，图象在x轴的上方，而抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴当y＞0时，x＜﹣1，x＞3，故错误． 故正确的结论有①②④． 例5、解：（1）由题意 m≠ 0， ………………………………………………………… 1分

∵ 方程有两个不相等的实数根，

∴ △>0． ……………………………………………………………… 2分

即 [3(m1)]24m(2m3)(m3)20．

得 m≠﹣3． ………………………………………………………………… 3分 ∴ m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；

（2）设y=0，则mx23(m1)x2m30．

∵ (m3)2， ∴ x3m3(m3)2m．

∴ x2m31m，x21．……………………………………………… 5分 当 x2m31m是整数时， 可得m=1或m=－1或m=3．………………………………………………………… 6分 ∵ x4，

∴ m的值为﹣1或3 ． …………………………………………………………… 7分

例6、 解答：解 ：（1）将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，得 ， 解得 ， 所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3． 将点C的横坐标代入抛物线解析式，得y=﹣3，即C（2，﹣3），设直线AC为y=kx+m（k≠0），将点A和点C坐标代入， 得， 解得 ， 即直线AC解析式为 y=﹣x﹣1； （2）如图，不妨设点F（x，x2﹣2x﹣3），因为点F在直线AC上，因此则点P（x， 7 页第

多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 ﹣x﹣1）． 22所以有 PF=﹣x﹣1﹣（x﹣2x﹣3）=﹣x+x+2． 则当时，PF最大值==． 例7解：（1）∵二次函数y=（a－1）x2+2x+1与x轴有交点， 令y=0，则（a－1）x2+2x+1=0，

∴=4-4(a-1)0，解得a≤2. …………………………………1分.

∵a为正整数. ∴a=1、2

又∵y=（a－1）x2+2x+1是二次函数，∴a－1≠0，∴a≠1， ∴a的值为2. ………………………………………2分 （2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1， 将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2

二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位 后的表达式为y=（x+1－m）2－（m2+1）.

此时函数的顶点坐标为（m－1, －m2－1）. …………………………………4分 当m－1＜－2，即m＜－1时， x=－2时，二次函数有最小值－3， ∴－3=（－1－m）2－（m2+1），解得m3且符合题目要求. ………………………………5分 2当 －2≤m－1≤1,即－1≤m≤2,时，当 x= m－1时，二次函数有最小值－m2－1=－3， 解得m2.∵m-2不符合－1≤m≤2的条件，舍去. ∴m2.……………………………………6分

当m－1＞1，即m＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值－3， ∴－3=（2－m）2－（m2+1），解得m综上所述，m的值为3,不符合m＞2的条件舍去. 23或2 ……………………………………7分 2

反馈练习答案： 1、解解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点， 第 8 页

多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 答： ∴方程kx﹣6x+3=0（k≠0）有实数根， 即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0． 故选D． 2、解解：二次函数y=﹣x2+2x的对称轴为直线x=1， 答： ∵﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大， ∴a≤1， ∴﹣1＜a≤1． 故选：B． 点评：本 题考查了二次函数与不等式，求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键． 23解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 利用图象可知：

ax+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜﹣1或x＞5．

故选：D．、

4、解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；

2

②当m﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则

22

△=（2m+2）﹣8（m﹣1）=0， 解得 m=3，m=﹣1（舍去）． 综上所述，m的值是1或3．

2

5、解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点，

2

∴，

解得：a=﹣1，b=1，c=2，

∴这条抛物线的解析式为y=﹣x+x+2．

（2）连接PO，过点P分别作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N； 设点P坐标为（m，n），

2

则n=﹣m+m+2；∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ∴0＜m＜2，n＞0；

由题意得：PM=m，PN=n； ∵

22

，

2

，，

∴S四边形ABPC=1+m+n=1+m﹣m+m+2=﹣m+2m+3，

∵二次项系数a=﹣1＜0， ∴当m=

时，四边形ABPC的面积取得最大值，

此时，n=﹣1+1+2=2；

∴当四边形ABPC的面积最大时，点P坐标为（1，2）

6、解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x+mx+3得：0=﹣3+3m+3， 解得：m=2，

2

2

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 ∴y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4， ∴顶点坐标为：（1，4）．

（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴解得：

， ，

2

2

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．

7.解：（1）把x=﹣2代入y=x﹣2|x|得y=0， 即m=0，

故答案为：0； （2）如图所示；

2

（3）由函数图象知：①函数y=x﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；

2

（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x﹣2|x|=0有3个实数根；

2

②如图，∵y=x﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，

2

∴x﹣2|x|=2有2个实数根；

2

③由函数图象知：∵关于x的方程x﹣2|x|=a有4个实数根， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜0， 故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．

2

8.解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③； 故答案为：①，③；

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 （2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，

2

此时y＜0，即x﹣5x＜0，

2

∴一元二次不等式x﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5； 故答案为：0＜x＜5．

（3）设x﹣2x﹣3=0， 解得：x1=3，x2=﹣1，

2

∴抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．

2

画出二次函数y=x﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），

由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方， 此时y＞0，即x﹣2x﹣3＞0，

2

∴一元二次不等式x﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．

2

2

9.解：（1）∵抛物线y=x+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0），

2

∴解得：

2

∴抛物线的解析式为：y=x﹣4x+3

22

（2）∵y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴P（2，﹣1）

过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：

S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB =3×4﹣×2×4﹣=3

﹣

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多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 即：△CPB的面积为3

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