中考数学 二元一次方程组易错压轴解答题(及答案)

一、二元一次方程组易错压轴解答题

1．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1. （1）当

时，求c的值.

（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解. （3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解. 2．我们用 （1）

表示不大于x的最大整数，例如

=________．（其中 为圆周率）；

求x,y的取值范围．

时，如

请解决下列问题：

=________．

（2）已知x,y满足方程组

3．仔细阅读下面解方程组的方法,然后解决有关问题:解方程组 果直接消元，那将会很繁琐，若采用下面的解法,则会简单很多. 解：①-②，得：2x+2y=2，即x+y=1③ ③×16，得：16x+16y=16④ ②-④，得：x=-1 将x=-1 代入③得：y=2 ∴原方程组的解为：

，其中

（1）请你采用上述方法解方程组：

（2）请你采用上述方法解关于x，y的方程组

．

4．某集团购买了150吨物资打算运往某地支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 8 10 汽车运载量（吨/辆） 5 汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费24000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆？

（2）若该集团决定用甲、乙、丙三种汽车共18辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）. 5．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用00元购买医用口罩和洗

手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．

（1）求医用口罩和洗手液的单价；

（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．

6．文雅书店出售A，B两种书籍，已知A书籍单售为每本50元，B书籍单售为每本30元，整套(A，B各一本)出售为每套70元。

（1）小明购买了A，B两种书籍共20本，且购买的B书籍数量比A书籍数量的2倍少4本。

①小明购买了A，B两种书籍各多少本？ ②小明至少需要花费多少钱？

（2）如果小刚花了600元购买A，B两种书籍，其中A书籍购买了8本，那么有哪几种购买方案？其中哪一种方案最划算？

7．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B (b，0)，a、b满足方程组 为y轴正半轴上一点，且

.

，C

（1）求A、B、C三点的坐标； （2）是否存在点D（t，-t）使 说明理由.

（3）已知E(-2，-4)，若坐标轴上存在一点P，使

，请求出P的坐标.

？若存在，请求出D点坐标；若不存在，请

8．王大厨去超市采购鸡蛋超市里鸡蛋有A，B两种包装，其中各鸡蛋品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：

每盒价格(元) A包装盒 B包装盒 8 11 每盒鸡蛋个数(个) 3 5 （1）若王大厨购买A包装x盒，B包装y盒

①则共买鸡蛋________个，需付________元(用含x，y的代数式表示)

②若王大厨买了AB两种包装共15盒，一共买到90个鸡蛋，请问王大厨花了多少钱? ________

（2）①若王大厨正好买了100个鸡蛋，则他最少需要花________元。 ②若王大厨恰好花了180元，则他最多可买到鸡蛋________个。

9．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 第二周 5台 4台 6台 1200元 1900元 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台?

（3）在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由。

10．对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：a※b＝a+kb，a*b＝ka+b（其中k为常数，且k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P′的坐标（a※b，a*b）与之对应，则称点P的“k衍生点”为点P′．例如：P（1，3）的“2衍生点”为P′（1+2×3，2×1+3），即P′（7，5）．

（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”的坐标为________；

（2）若点P的“5衍生点”P的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；

（3）若点P的“k衍生点”为点P′，且直线PP′平行于y轴，线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，求k的值．

11．水果商贩老徐上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元 ，苹果的批发价格是每箱40元. 老徐购得草莓和苹果共60箱，刚好花费3100元. （1）问草莓、苹果各购买了多少箱？

（2）老徐有甲、乙两家店铺，每售出一箱草莓或苹果，甲店分别获利15元和20元，乙店分别获利12元和16元. 设老徐将购进的60箱水果分配给甲店草莓 箱，苹果 箱，其余均分配给乙店.由于他口碑良好，两家店都很快卖完了这批水果. ①若老徐在甲店获利600元，则他在乙店获利多少元？________ ②若老徐希望获得总利润为1000元，则 12．某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 20元 17元 14元 =________.（直接写出答案）

某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1912元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付1456元 （1）列方程或方程组求出两个班各有多少学生？

（2）若（1）班全员参加，（2）班有20人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由．

（3）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数

相等？如果有，是多少人与多少人买票钱数相等？（直接写结果）

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、二元一次方程组易错压轴解答题

1．（1）∵b＝a+1，c＝b+1. ∴c＝a+2，

由题意，得3a+a+1＝a+2， 解得a＝ 13 ， ∴c＝a+2＝ 73 ；

（2）当a＝ 12 时， 12 x+ 32 y= 52 ， 解析： （1）∵b＝a+1，c＝b+1. ∴c＝a+2，

由题意，得3a+a+1＝a+2， 解得a＝ ， ∴c＝a+2＝ ；

（2）当a＝ 时， x+ y= ， 化简得，x+3y＝5， ∴符合题意的整数解是：

，

，

；

（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2， 整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①， ∵x、y均为正整数， ∴x+y﹣1是正整数， ∵a是正整数， ∴2﹣y是正整数， ∴y＝1，

把y＝1代入①得，ax＝1， ∴a＝1，

此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是

.

【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ；

（2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得；

（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是

.

2．（1）3；-2

（2）解方程组得： ， 则-1≤x＜0，2≤y＜3．

【解析】【解答】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2；

【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求

解析： （1）3；-2 （2）解方程组得： ，

则-1≤x＜0，2≤y＜3．

【解析】【解答】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2；

【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出所求；（值，即可确定出x与y的范围．

3．（1）解：

①-②，得：6x+6y=12，即x+y=2 ③， ③×2010，得：2010x+2010y=4020④， ④-②，得：y=404， 将y=404代入③得：x=-402， ∴方

解析： （1）解：

①-②，得：6x+6y=12，即x+y=2 ③， ③×2010，得：2010x+2010y=4020④， ④-②，得：y=404， 将y=404代入③得：x=-402， ∴方程组的解为：

（2）解：

2）求出方程组的解得到[x]与[y]的①-②，得：(m-n)x+(m-n)y=m-n， ∵m≠n， ∴x+y=1 ③，

③×(n+3)，得：(n+3)x+(n+3)y=n+3④， ④-②，得：y=3， 将y=3代入③得：x=-2， ∴方程组的解为

【解析】【分析】（1）先把两式相减得出x+y的值，再把x+y的值与2010相乘，再用加减消元法求出x的值，用代入消元法求出y的值即可；（2）先把两式相减得出(m-n)x+(m-n)y=m-n，的值，再用加减消元法求出x的值，用代入消元法求出y的值即可．

4．（1）解：设需甲种车型x辆，乙种车型y辆 由题意得： {5x+8y=1501000x+1200y=24000 解得： {x=6y=15

答：需甲种车型6辆，乙种车型15辆

（2）解：设需

解析： （1）解：设需甲种车型x辆，乙种车型y辆 由题意得： 解得：

答：需甲种车型6辆，乙种车型15辆

（2）解：设需甲种车型a辆，乙种车型b辆，其中a、b为正整数，则需丙种车型

辆

由题意得： 整理得：

，即 均为正整数

或

①当

时，

，

（元）

时，

，

（元）

则总运费为 ②当 则总运费为

综上，可能的运送方案有两种：方案一，需甲种车型4辆，乙种车型5辆，丙种车型9辆；方案二，需甲种车型2辆，乙种车型10辆，丙种车型6辆.方案二的运费最省，运费

为23000元.

【解析】【分析】（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，然后根据物资总重量和总运费建立方程组，求解即可得；（2）设需甲种车型a辆，乙种车型b辆，则需丙种车型

辆，再根据总重量得出关于a、b的等式，然后根据正整数性求出a、b的

值，最后根据汽车费用表求解即可.

5．（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得

{800x+120y=56001200x+80y=00 首先将方程化简为 ①×3-②×2得：5y=150 解

解析： （1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得

首先将方程化简为 ①×3-②×2得：5y=150 解得：y=30

y=30将代入①得：20x+90=140 解得：x=2.5

（2）解：解：设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩(1200-a)个，根据题意得

6a+2.5（1200-a）+30b=00 化简，得 7a+60b=4800

∵a，b都为正整数 ∴a为60的倍数，且a≤200 ∴

∴有三种购买方案.

【解析】【分析】（1）本题的数量关系为 ：医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元，即可得方程800x+120y=5600；医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完，即可得方程1200x+80y=00.

（2）解本题注意两个条件：一是 N95口罩不超过200个 ，二是：口罩和洗手液的个数为正整数。

6．（1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 则由题意得： {x+y=20y=2x-4 得： {x=8y=12

答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本 ②花费最少的方案为：购买8套书籍

解析： （1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 则由题意得： 得：

答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本

②花费最少的方案为：购买8套书籍和4本B书籍，即：8×70+4×30=680(元) 答：至少需要花费680元

（2）解：设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套， 则50a+30b+70c=600① c=8-a②

将②代入①，整理得：a= b-2， ∵a，b均为正整数，且a≤8， ∴

，

，

∴有三种购买方案：

方案一：单买A书籍1本，单买B书籍2本，整套买7套， 共得A书籍8本，B书籍9本；

方案二：单买A书籍4本，单买B书籍4本，整套买4套， 共得A书籍8本，B书籍8本；

方案三：单买A书籍7本，单买B书籍6本，整套买1套， 共得A书籍8本，B书籍7本。 其中方案一最划算

【解析】【分析】（1） ①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本， 根据小明购买A类书籍的数量+购买B类书籍的数量=20本，及购买的B书籍数量=A书籍数量的2倍-4本 列出方程组，求解即可；②根据题干提供的信息可知，A,B两类书籍成套购买更划算，根据①的计算结果可得购买8套书籍和4本B书籍 即是花费最少的购书方案，进而根据有理数的混合运算即可解决问题；

（2） 设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套， 根据单独购买A类书籍的a本费用+单独购买B类书籍b本的费用+整套购买c套的费用=600及 A书籍购买了8本 列出方程组，求出该方程组的正整数解即可解决问题.

7．（1）解：方程组 {a+b=-2a-b=-4 ，解得： {a=-3b=1 ， ∴A（-3，0），B（1，0），

∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6， ∴ 12 AB×OC=6，解得OC

解析： （1）解：方程组 ∴A（-3，0），B（1，0），

∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6， ∴ AB×OC=6，解得OC=3， ∴C（0，3）；

（2）解：∵D（t，-t），且S△PAB= S△ABC ， ∴ ×4×|t|＝ ×6，解得t=±1， ∴D（1，-1）或（-1， 1）； （3）解：如图，∵ 当点P在x轴上时，

，E（-2，-4），设点P坐标为（m，0）， ，解得：

，

，

解得m=±3，

∴点P的坐标为（3，0）或（-3，0）； 当点P在y轴上时，

，

解得m=±6，

∴点P的坐标为（0，6）或（0，-6）；

综上：坐标轴上存在点P，坐标为（3，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-6）； 【解析】【分析】（1）解出方程组即可得到点A，B的坐标，利用S△ABC=6，求出点C的坐标；（2）利用

求出点D的坐标即可；（3）设点P（m，0），分点P在

x轴和在y轴两种情况讨论，结合点E坐标和△ABC的面积分别求出点P坐标.

8．（1）(3x+8y)；(5x+11y)；解：可得方程组： {x+y=153x+8y=90

解得 {x=6y=9

∴5x+11y=5×6+11×9=129(元) 答：王大厨付了129元 （2

解析： （1）(3x+8y)；(5x+11y)；解：可得方程组： 解得

∴5x+11y=5×6+11×9=129(元) 答：王大厨付了129元 （2）141；129

【解析】【解答】解：（3） ① ∵A包装每个鸡蛋的价格= ， B包装每个鸡蛋的价格= ， ∵

<,

∴A包装数量越少，花的钱越少；

设需花钱W元，则W= 5x+11y ， 3x+8y =100， ∴y=

,

当x=0、1、2、3时，y不为整数，x=4时，y=11, ∴W=5x+11y=4×5+11×11=141（元）；

② 设最多买鸡蛋Z个，Z=3x+8y, 5x+11y=180，

由题（1）的分析可知，B包装的鸡蛋便宜，A包装的鸡蛋较贵， ∴y=

,

当x=0、1、2时，y不为整数，当x=3时，y=15, ∴Z=3x+8y=3×3+8×15=129（个）

【分析】（1） 设王大厨购买A包装x盒，B包装y盒 ，则：

购买鸡蛋的总数量=A包装盒数量×每盒A包装盒鸡蛋的个数+B包装盒数量×每盒B包装盒鸡蛋的个数；

需付金额=A包装盒数量×A包装盒鸡蛋的价格+B包装盒数量×B包装盒鸡蛋的价格； （2）根据两种包装盒的数量之和为15盒，购买鸡蛋的总数量=A包装盒数量×每盒A包装盒鸡蛋的个数+B包装盒数量×每盒B包装盒鸡蛋的个数，分别列方程组成方程组，求出x,y，再把x、y代入题（1）的金额表达式即可求出王大厨花了多少钱；

（3）先分别求出A、B包装每个鸡蛋的价格，比较价格， ① 先确定数量，因为x越小，

花钱越少，x从0开始试值，一直试到y为整数为止。求出x、y，则所需花费可求。 ② 先确定金额，同样因为x越小，花钱越少，x从0开始试值，一直试到y为整数为止。求出x、y，则鸡蛋的数量可求。

9．（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得： {3x+4y=12005x+6y=1900 解得 {x=200y=150

答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别

解析： （1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得： 解得

答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元

（2）解：设釆购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50-a)台 依题意得：160a+120(50-a)≤7500， 解得：a≤37

答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 （3）解：根据题意得： (200-160)a+(150-120)(50-a)>1850 解得：a>35，

∵a≤37 ，且a应为整数，

∴在(2)的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当a=36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当a=37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台

【解析】【分析】 （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据第一周和第二周的销售情况分别列方程，组成二元一次方程组，解出x、y值即可。（销售收入=A种型号的销售数量×A种型号的单价+B种型号的销售数量×B种型号的单价）； （2） 设釆购A种型号电风扇a台， 根据购买金额不超过7500元列一元一次不等式，解不等式，在a的取值范围内取最大整数即可。（购买金额=A种型号的进价×A种型号的数量+B种型号的进价×B种型号的数量）；

（3）根据超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元列一元一次不等式，解不等式，求出a的范围，结合题（2）的a的范围，得出a的可能取值，根据a的取值分别列出可行方案。

10．（1）（14，2） （2）解：设P（x，y） 依题意，得方程组 ． 解得 {x=-1y=2 ．

∴点P（﹣1，2）

（3）解：设P（a，b），则P′的坐标为（a+kb，ka+b）． ∵

解析： （1）（14，2） （2）解：设P（x，y） 依题意，得方程组

．

解得

．

∴点P（﹣1，2）

（3）解：设P（a，b），则P′的坐标为（a+kb，ka+b）． ∵PP′平行于y轴 ∴a＝a+kb，即kb＝0， 又∵k≠0， ∴b＝0．

∴点P的坐标为（a，0），点P'的坐标为（a，ka）， ∴线段PP′的长度为|ka|． ∴线段OP的长为|a|． 根据题意，有|PP′|＝3|OP|， ∴|ka|＝3|a|． ∴k＝±3．

【解析】【解答】解：（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”P′的坐标为（﹣1+3X5，﹣1X3+5），即（14，2）， 故答案为：（14，2）；

【分析】（1）根据定义的两种新运算的计算方法求得P（1,3）的3衍生点坐标即可； （2）设P的坐标为（x,y）,根据本题定义的两种新运算方法分别列式，组成方程组，求得x、y, 得到P点坐标；

（3） 设P（a，b），由新运算方法得到P′的坐标为（a+kb，ka+b） ，由PP'∥y轴，则此两点的横坐标相等，据此列式，求得b=0, 将b值代入P、P'点坐标，把PP’的长度用含a的代数式表示，再求得OP的长度表达式，根据 |PP′|＝3|OP| 列式求出k值即可。

11．（1）解： 设草莓购买了x箱、苹果购买了y箱 ,根据题意得： x+y=6060x+40y=3100 解之：x=35y=25

答：草莓购买了35箱、苹果购买了25箱 .

（2）340；52或53

解析： （1）解： 设草莓购买了x箱、苹果购买了y箱 ,根据题意得：

解之：

答：草莓购买了35箱、苹果购买了25箱 . （2）340；52或53

【解析】【解答】（2）解：① 若老徐在甲店获利600元， 则15a+20b=600 整理得：3a+4b=120

他在乙店获利为：12（35-a）+16（25-b） =820-4（3a+4b） =820-4×120 =340元；

②根据题意得：15a+20b+12（35-a）+16（25-b）=1000 整理得：3a+4b=180 b=

∵a、b均为正整数 ∴a一定是4的倍数， ∴a可能为0,4,8… ∵0≤a≤35，0≤b≤25

∴当且仅当a=32，b=21或a=28，b=24时3a+4b=180成立 ∴a+b=32+21=53或28+24=52 故答案为：340元；53或52

【分析】（1）抓住题中关键的已知条件：老徐购得草莓和苹果共60箱，刚好花费3100元，设未知数，列方程组，求解即可。

（2）①由题意列二元一次方程，可得到a+4b=120，列式求出他在乙店获利；②根据老徐希望获得总利润为1000元，建立关于a、b的二元一次方程，整理可得到b=根据a、b的取值范围及a一定是4的整数倍，即可求出结果。

， 再

12．（1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100， 则1456÷17=85（人） （元），不符合题意， ∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100． 设初一（1）班有x人，初一

解析： （1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100， 则1456÷17=85（人）

（元），不符合题意，

∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100． 设初一（1）班有x人，初一（2）班有y人， 依题意，得：

，

解得：

；

答：初一（1）班有48人，初一（2）班有56人 （2）解：48+（56﹣20）=84（人）．

两个班合起来买84张门票所需钱数为：84×17=1428（元）， 两个班合起来买101张门票所需钱数为：101×14=1414（元）， ∵1414＜1428，

∴两个班合起来买101张门票最省钱

（3）84人和102人或98人和119人买票钱数相等

【解析】【解答】（3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101）， 依题意，得：17m=14n，

∴m为14的整数倍，n为17的整数倍， ∴

或

．

答：84人和102人或98人和119人买票钱数相等．

【分析】（1）由两班人数之和为整数可得出初一（1）（2）两个班的人数之和大于100，设初一（1）班有 人，初一（2）班有y人，根据总价=单价×数量，即可得出二元一次方程组，解之即可；（2）求出参加活动的人数，利用总价=单价×数量，分别求出购买84张门票及101张门票所需钱数，比较后即可得出结论；

（3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101），根据总价=单价×数量且总价相等，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n为正整数及其范围，即可求出m，n的值．