2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学

试卷

一、填空题（每题3分，共计36分） 1．（3分）已知角α的终边在射线2．（3分）一扇形的中心角为积为 cm2；

3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣则sinα= ． 4．（3分）若θ∈（

，

），sin2θ=

，则cosθ﹣sinθ的值是 ． ，且α（0，

），β∈（﹣

，0），

上，sinα+cosα= ；

弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面

5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为 ． 6．（3分）函数

的值域为 ；

7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是 ；

8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b= ． 9．（3分）函数f （x）=

10．（3分）要得到函数y=cos（﹣

的单调递增区间为 ．

）的图象，只需将y=sin的图象 ．

11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是 ．

12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=

．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若

b=2，且tanC=

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，则△ABC的面积S的最大值为 ．

二．选择题（每小题4分，共计16分）

13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）

A．2km B．3km C．3km D．2km

15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则

=（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．

16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且A．

三、解答题（48分）

B．

C．

，则ω取最小时，ϕ的值为（ ）

D．

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17．（8分）已知函数

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）求f（x）在区间

．

上的最大值和最小值及相应的x值；

18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且旋转

．将角α的终边按逆时针方向

，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．

，求x2；

（Ⅰ）若

（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．

19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km． （1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等； （2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；

20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、

第3页（共22页）

对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数

并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象． 性质 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 对称性 作图 的性质，

理由 结论 得分 21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α

第4页（共22页）

是常数．

（1）设f（x）=cosx+sinx，

，求g（x）的解析式；

；

（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得（3）当f（x）=|sinx|+cosx，

时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）

≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．

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2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期

中数学试卷

参与试题解析

一、填空题（每题3分，共计36分） 1．（3分）已知角α的终边在射线

上，sinα+cosα= ；

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得sinα+cosα的值．

【解答】解：∵角α的终边在射线在α的终边上任意取一点P（x，y），

取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=， 故答案为：．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

2．（3分）一扇形的中心角为积为

cm2；

弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面

上，故α的终边再第二象限，

【分析】由已知可求扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可计算得解． 【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=可得：sin

=，可得：r=

=2，

，

可得扇形的面积为S=r2α=故答案为：

．

=．

【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．

第6页（共22页）

3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣则sinα=

．

，且α（0，），β∈（﹣，0），

【分析】由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：∵α∈（0，∴α﹣β∈（0，π）， 又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣∴sin（α﹣β）=

，

=，cosβ=

=

，

），β∈（﹣

，0），

则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ =×

+×（﹣

）=．

故答案为：

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．

4．（3分）若θ∈（

，

），sin2θ=

，则cosθ﹣sinθ的值是 ﹣ ．

【分析】求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可． 【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=所以cosθ﹣sinθ=故答案为：

．

，

，又

，cosθ＜sinθ

【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．

5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为 （，] ．

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【分析】由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x）， 由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得 ﹣1≤1﹣x＜2x≤1，

即为x≤2且x＞且x≤， 可得＜x≤，

则x的取值范围是（，]． 故答案为：（，]．

【点评】本题考查反三角函数的定义和性质，考查定义法的运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

6．（3分）函数【分析】由﹣

≤x≤

，得到﹣的值域．

【解答】解：∵﹣∴﹣∴﹣∴函数故答案为：[﹣

，

]．

，

≤arcsin（cosx）≤

．

的值域为[﹣

，

]．

≤x≤

，

的值域为 ；

，由此能求出函数

【点评】本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．

7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是 ；

【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再由正弦函数的值域求得函数f（x）的

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值域．

【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=由sin（2x﹣∴当sin（2x﹣当sin（2x﹣

）∈[﹣1，1]，

）=﹣1时，f（x）取得最小值为）=1时，f（x）取得最大值为

，，

]．

]．

．

，

﹣

）+1，

∴函数的值域为[故答案为：[

【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的值域的求法，是基础题．

8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b= 4 ．

【分析】利用余弦定理，根据题设中的a=2，c+b=7，cosB=﹣，直接求得b即可．

【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，

得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60 ∴b=4． 故答案为：4．

【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力．

9．（3分）函数f （x）=

，k∈Z ．

【分析】先根据对数的真数必须大于零，求出函数的定义域．为了求出原函数的单调减区间，研究真数对应的余弦型函数的增区间，最后将所得区间与函数的定义域取交集，即可得原函数的单调增区间． 【解答】解：∵对数的真数大于零

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的单调递增区间为

∴⇒，k∈Z

，k∈Z

解之得函数的定义域为：令t=∵

∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=由

再结合函数的定义域，得x故答案为：

的单调递增区间

，k∈Z，

，是原函数的增区间

，k∈Z，得x∈

【点评】本题以对数型函数为例，考查了复合三角函数的单调性，属于中档题．解题的同时要注意单调区间应该是函数的定义域的子集．

10．（3分）要得到函数y=cos（﹣移

个单位 ．

）的图象，只需将y=sin的图象 向左平【分析】化简两个函数为同名函数，然后利用平移原则求解即可． 【解答】解：函数y=cos（﹣的图象向左平移故答案为：向左平移

）=cos（﹣+

）=sin（

），只需将y=sin）的图象，

个单位，即可得到函数y=cos（﹣个单位．

【点评】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x的系数．

11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是 （﹣4，﹣2]∪{0} ．

【分析】根据cosx≥0和cosx＜0对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出m的取值范围．

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【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，

x∈（0，2π），

在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：

由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，

g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．

故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．

【点评】本题的考点是余弦函数的图象应用，即根据x的范围化简函数解析式，根据余弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力．

12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=

．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若

b=2，且tanC=

，则△ABC的面积S的最大值为 ．

【分析】由已知利用正弦定理可求c=【解答】解：∵tanC=∴sinC=

a，代入“三斜求积”公式即可计算得解．

，

sinA，

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sin（B+C）=

∴c=a，

∵b=2， ∴S=

=

，

=

，

∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为故答案为

．

【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

二．选择题（每小题4分，共计16分）

13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinB﹣sinA）=0，从而可得A=

或B=A或B=π﹣A（舍去）．

【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B）， ∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA， ∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA， ∴cosA（sinB﹣sinA）=0， ∵cosA=0，或sinB=sinA， ∴A=

或B=A或B=π﹣A（舍去），

故选：D．

【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题．

14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）

第12页（共22页）

A．2km B．3km C．3km D．2km

【分析】先求AB，∠ASB，再利用正弦定理，可得结论． 【解答】解：如图，由条件知AB=24×

=6．

在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°， ∴∠ASB=45°． 由正弦定理知∴故选：B．

=

，

【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则

=（ ）

第13页（共22页）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．

【分析】通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f（）的值．

【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1， 所以A=，T=2，因为T=

，所以ω=π，

，

），

函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=

∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+所以f（）=sin（故选：D．

+

）=

．

【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力，属于中档题．

16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且A．

B．

C．

，则ω取最小时，ϕ的值为（ ）

D．

【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω取最小时，ϕ的值． 【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且

则ω取最小时，•再根据2•故选：D．

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，

=，2•

﹣

，∴ω=2，

，

+φ=+φ=2π，求得φ=

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．

三、解答题（48分） 17．（8分）已知函数

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）求f（x）在区间

上的最大值和最小值及相应的x值；

sin≤

．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=﹣（4x+2kπ+

），利用周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．

]，可得4x+

≤4x+

（2）由x∈[0，（x）在区间

，利用正弦函数的性质可得f

上的最大值和最小值及相应的x值．

【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x =sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x =﹣sin4x﹣cos4x =﹣

sin（4x+

），

．

，k∈Z，可得：

，

]，k∈Z；

，k∈Z，

∴函数f（x）的最小正周期T=∵由2kπ+

≤4x+

≤2kπ+

∴函数f（x）的单调递增区间为：[（2）∵x∈[0，∴4x+∴sin（4x+∴f（x）=﹣可得当x=

）∈[﹣sin（4x+

]，

， ，1]， ）∈[﹣

，]，

]上的最大值为，

时，f（x）在区间[0，

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当x=时，取得最小值为．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．

18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且旋转

．将角α的终边按逆时针方向

，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．

，求x2；

（Ⅰ）若

（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．

【分析】（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，

，利用两角和的余弦公式求得结果． ，分别求得S1 和S2 的解析式，再由

S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值． 【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，因为 所以

（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，

，

．

第16页（共22页）

． ．

，，所以

．

． 所以

依题意S1=2S2 得

]=sin2α﹣

cos2α，

，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin

整理得 cos2α=0． 因为

，所以

，所以

，即

．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．

19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km． （1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等； （2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；

【分析】（1）△ACD中，由∠DAC=30°推断出CD=AC， 根据CB是△CAD底边AD的中垂线，得出BD=BA；

（2）△ABC中利用正弦、余弦定理求得AB的长即得BD的距离． 【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，

第17页（共22页）

∠ADC=60°﹣∠DAC=30°， 所以CD=AC=0.1．

又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线， 所以BD=BA；

（2）△ABC中，由正弦定理得sin215°=即AB=因此，BD=

，可得sin15°==

，

≈0.33；

=，

，

所以B、D的距离约为0.33km．

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查分析问题解决问题的能力．

20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数

并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象． 性质 定义域 值域 奇偶性 周 的性质，

理由 结论 得分 第18页（共22页）

期性 单调性 对称性 作图 【分析】由正弦函数的最大最小值，可得函数的定义域为R；由平方法结合余弦函数的有界性，得到函数的值域为[

，2]；由函数周期性的定义加以验证，得

到函数的最小正周期为π；讨论函数在区间[0，π]上的单调性，结合函数的周期可得函数在R上的单调区间；最后根据函数奇偶性的定义和轴对称的有关公式，算出f（x）在其定义域上为偶函数，图象关于直线题的答案．

【解答】解：∵1﹣sinx≥0且1+sinx≥0，在R上恒成立 ∴函数的定义域为R； ∵

=2+2|cosx|

，2]；

对称．由此即可得到本

∴由|cosx|∈[0，1]，f2（x）∈[2，4]，可得函数的值域为[∵

∴函数的最小正周期为π ∵当x∈[0，当x∈[

=f（x）

]时，=2cos，在[0，=2sin，在[

第19页（共22页）

]上为减函数

，π]时，，π]上为增函数

∴f（x）在

∵f（﹣x）=f（x）且

上递增，在

，

上递减（k∈Z）

∴f（x）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线因此，可得如下表格： 性质 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 对称

理由 结论 得分 ﹣1≤sinx≤1 定义域R 1分 y2=2+2|cosx|∈[2，4] 值域 2分 f（﹣x）=f（x） 偶函数 1分 f（x+π）=f（x） 周期T=π 2分 在递增， 在递减（k∈Z） 上 2分 上对称性 f（﹣x）=f（x），，… 关于直线∈Z） 对称（k2分 第20页（共22页）

作图 2分 【点评】本题给出根号下含有三角函数式的函数，求函数的单调性、周期性、奇偶性，并求函数的单调区间和值域．着重考查了三角函数的值域、正余弦函数的图象与性质和函数图象对称轴的求法等知识，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．

（1）设f（x）=cosx+sinx，

，求g（x）的解析式；

；

（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得（3）当f（x）=|sinx|+cosx，

时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）

≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．

【分析】（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）•f（x+α）化简得出． （2）对g（x）化简得=2cosx，α=﹣

．

=4cosx•cos（x﹣

），故f（x）

（3）求出g（x）的解析式，判断g（x）在何时取的最大值和最小值， 【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，=cosx﹣sinx；

∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x． （2）∵

∴f（x）=2cosx，α=﹣

．

=4cosx•cos（x﹣

），

∴f（x+α）=cos（x+

）+sin（x+

）

（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|

第21页（共22页）

﹣sinx）

=，

因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立， 所以当x1=2kπ+π或当所以或

所以|x1﹣x2|的最小值是

．

时，g（x）≥g（x1）=﹣1

时，g（x）≤g（x2）=2

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，分段函数的应用，属于中档题．

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