和角公式

(甲)和角公式 (1)公式一：cos()=coscos+sinsin 证明：先做一单位圆，如右图其中A(cos，sin)、B(cos，sin)，AOB=，

因为2=(coscos)2+(sinsin)2=22(coscos+sinsin)...... 利用余弦定理：AB=OAOB2OAOBcos()

所以2=12+12211cos()=22cos()...............................

由可得cos()=coscos+sinsin

y 讨论： (a)如果A,O,B共在线述的结果会成立吗？ A(cos,sin) B(cos,sin) (b)>时，上述的结果会成立吗？ x O (1.0) (2)公式二：cos(+)=coscossinsin 证明： (3)公式三：sin(+)=sincos+cossin 证明： (4)公式四：sin()=sincoscossin 证明： (5)公式五：tan(+)= 证明： (6)公式六：tan()= 证明：

222

[注意]：

和角公式的精神：

已知两个角度的三角函数，即可得两个角度的和或差的三角函数。

[例題1] 试求cos15，sin105，tan75之值。

[例題2] Ans：cos15=

6262，sin105=，tan75=2+ 44[例題3] 设<<<<，且cos=，sin=，试求

[例題4] (1)sin(+)=；(2)cos()=。

[例題5]

[例題6]

[例題7]

[例題8]

[例題9]

[例題10]

[例題11]

[例題12]

(練習1) 计算下列各小题：

(練習2) (1)sin195(2)cos75(3)tan15Ans：(1)(2)(3)2

(練習3) 试化简下列各小题： (練習4) (1)sincos+cossin (練習5) (2)sin68cos23sin23cos68 (練習6) (3)cos44sin164sin224cos344=？ (練習7) (4)求cos(+)cos()+sin(+)sin()=？

62(2)(3)(4)0 4(練習8) Ans：(1)

(練習9) 设<<，<<，且sin=，cos=，则

(練習10) (1)sin()=。(2)cos()=。(3)为第象限角。

(練習11) Ans：(1)(2)(3)四

tan83－tan38[例題13] (1)＝_________。Ans：1

1＋tan83tan38[例題14] (2)设α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝______。Ans：2

[例題15]

[例題16] 试证：cot(+)=，cot()=

[例題17]

[例題18] 若tan，tan为x2+9x4=0之二根，

[例題19] 试求

[例題20] (1)tan(+)=？

[例題21] (2)sin2(+)+9sin(+)cos(+)4cos2(+)=。

[例題22] Ans：(1)(2)4

[例題23]

[例題24]

[例題25]

[例題26]

(練習12) 如右图， 且=5，B+C=45， A (練習13) 若>，则=？Ans： (練習14) [B提示：令 BH=x，HC=1，

H C練習15) 则AH=(x+1)，再利用tan(B+C)=tan45=1，求x的值。]

((練習16) 设tan=1，tan()=，试求tan之值。Ans：2

(練習17) 设tan，tan为2x24x+1=0之二根，试求

(練習18) (1)cos2(+)=。

(練習19) (2)2sin2(+)4sin(+)cos(+)+4cos2(+)=。

(練習20) Ans：(1)(2) (練習21) 试求下列各值：

(練習22) (1)tan12+tan48+tan12tan48=。[提示：考虑tan(12+48)]

tan227tan287(練習23) (2)=。 1tan133tan107(練習24) (3)cot20cot40cot20cot40=。[提示：考虑cot(40+20)]

(練習25) Ans：(1)(2)(3) (練習26) 设A、B、C为ABC的内角， (練習27) 请证明：cot+cot+cot=cotcotcot。

(乙)和角公式的应用 善用和角公式的精神： 已知两个角度的三角函数，即可得两个角度的和或差的三角函数。

[例題27] ABC中，已知cosB=，cosC=，=22，则

[例題28] (1)sinA=，(2)ABC之外接圆半径为。

[例題29] Ans：(1)

115(2)5 25[例題30]

[例題31]

[例題32] 右图是一个直角三角形ABC，其中C=90，BAD=，

BDCA[例題33] 若==1，=3，则tan=？

A C  30 [例題34] (A)(B)(C)(D)(E)。(92北区指定考科模拟考)

P B [例題35] Ans：(A)

(練習28) 一铁塔AB垂直于地面，由于地震的关系， (練習29) 向东倾斜30，则观测者在西方对塔顶之仰角由

(練習30) BPA变成BPC，即角度减少，

(練習31) 若已知PB=AB=60公尺，求(1)BPC=？(2)tan=？

(練習32) Ans：(1)(2)2

(練習33) 设A,B,C为ABC之三内角，其对边分别为a,b,c，若sinA=，cosB=，则a：b：

c=。Ans：25：39：16 (練習34) 已知四边形ABCD中，=16，=25，=15，ABC及BCD皆为锐角，而sinABC=，sinBCD=，

求(1)=？(2)=？

B (練習35) Ans：(1)20(2)12 (練習36) (練習37) A (練習38) (練習39) (練習40)

(練習41) ABC为等腰直角三角形，C=，D,E将分成三等分，试求

(練習42) tanDAE=。Ans：

(練習43) [提示将DAE分成两个角的差，即DAE=CAECAD，已知tanCAE=，tanCAD=，可

得tanDAE]

D C 综合练习 (1) 设sec=，cot=，<<2，<<，求sin(+)=？ y 34(2) 化简下列两小题：

(3) (a)sin(+)cos()cos(+)sin()=？ (4) (b)++=？

(5) 如右图：设A(1,0)，Q(m,n)，P(,)均在单位圆上 (6) ，QOP=，算出点Q的坐标。 (7)

(8) 设 sin84°＝a，cos63°＝b，则 (A) cos21°＝b1－a2＋a1－b2 (9) (B) sin21°＝ab－1＝ab＋1－a2．1－b2 (C) sin147°－a2．1－b2 (10) (D) cos147°＝b1－b2－a1－a2。

(11) 令sin84=a，cos63=b，试以a,b表示sin147及cos21。 (12) (13) (14) (15)

(16) 如图，ABC的对边分别为a,b,c， (17) P为C点的垂足，h为高，BP=x，AP=y， (18) 则下列那些选项必定为真？

(19) (A)cosC=+(B)cosC=+(C)cosC=cos(A+B) (20) (D)cosC=(E)cosC=。(91学科) (21) 如右图，在ABC中，于D点， (22) 且：：=6：2：3，求BAC=？。

(23) 坐标平面上设A(2，4)，B(3，1)，O(0，0)， (24) 则tan∠AOB＝_______。 (25)

(26) 矩形ABCD，AB=1，AD=3，分割如图， (27) 令AFB=，ADB=，求+=。 (28) (29) (30) (31) (32) (33)

(34) 半径 14 的圆 O 上有一扇形 AOB；如图所示，在弧上取一点 P，已知 P 对作垂直线段，其长

为 13；P 对作垂直线段，其长为 11。 (35) 则：(a)若此扇形 AOB 的圆心角θ，则θ为________。 (36) (b)斜线面积为_________。

B H G C C b h a B P c A

A A E B D F D C

(37) (38) (39)

(40) 如图，设AP=PQ=QR=RB=BC， (41) 求(a)tan1=？(b)tan2=？(c)tan3=？ (42)

(43) 设ABC为一直角三角形，BCDE为

A P Q R D 1 2 3 C B (44) 以为一边向外作出的正方形，若=5，=4，=3， (45) 试求cosACD=，ACD的面积=。 (46) (47)

(48) 设A,B,C为ABC三内角的度量， (49) 且tanA,tanB,tanC均有意义，

(50) 试证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

(51) 设A，B，C均为正锐角，tanA＝2，tanB＝4，tanC＝13，

C E A B (52) 则(a)tan(A＋B)＝__________；(b)A＋B＋C＝__________。 (53)

(54) 设++=，证明：cotcot+cotcot+cotcot=1

进阶问题 (55) 设cos+cos+cos=0，sin+sin+sin=0，试求cos()=。 (56)

(57) 请证明：(a)sin(x+y)sin(xy)=sin2xsin2y。 (58) (b)cos(x+y)cos(xy)=cos2xsin2y。

(59) ,,,均为正锐角，tan=，tan=，tan=，tan=， (60) 求+++=。

(61) 设cosx+cosy=a，sinx+siny=b，试以a,b表示cos(xy)=？ (62)

(63) 设tan、tan为x2+px+q=0之二根(p24q0)，试以p,q表示 (64) (a)tan(+)=？(b)sin2(+)+psin(+)cos(+)+qcos2(+)=？ (65)

(66) 设A,B,C为锐角ABC三内角的度量，且tanA,tanB,tanC均有意义， (67) 试求tanAtanBtanC之最小值。 (68)

(69) 设x2px+q=0的二根为tan，tan，且tan+tan0，

(70) 试求

cos()=。

sin()综合练习解答

(1) (a)(b)0

(2) Q(

343433,)[提示：设AOP=，即得cos=，sin=，因为QOP=所以AOQ=，1010m=cos()，n=sin()]

(3) (A)(B)(C) (4) ab+，b (5) (E) (6) 1

(7) (Hint：利用tan与tan的值求tan(+))

(8) (a)(b)47 (9) (a)(b)(c) (10) ，8

(11) [提示：利用A+B+C=180，A+B=180Ctan(A+B)=tan(180C)，再利用和角公式展

开化简即可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC]

(12) Ans：(a)(b) (13) 证法与(13)相同

(14) (Hint：将cos+cos=cos，sin+sin=sin两式平方相加)

(15) 利用和角公式直接计算，即可得证.

(16) [提示：可以先计算tan(+)、tan(+)，再计算tan(+++)的值]

(17) (a2+b22) (18) (a)(b)q

(19) 3(Hint：利用不等式

abc3abc，其中a,b,c为正数与例题13) 3(20)