高中数学三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象教学案新人教版

1.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P49～P55的内容，回答下列问题． (1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象有什么影响？

提示：函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．

(2)ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象有什么影响？

提示：函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x1＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标

ω不变)而得到的．

(3)A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有什么影响？

提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义各是什么？ 2πω提示：A是振幅，是周期，是频率，φ是初相．

ω2π2．归纳总结，核心必记

(1)参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 ①φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响

②ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

③A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

(2)由函数y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径

由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

①先平移后伸缩

②先伸缩后平移

(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义 ①简谐运动的振幅就是A； ②简谐运动的周期T＝2π

ω；

1ω③简谐运动的频率f＝＝；

T2π④ωx＋φ称为相位； ⑤x＝0时的相位φ称为初相．

[问题思考]

π(1)如何由y＝sin x的图象得到y＝sinx＋的图象？

4

π提示：将y＝sin_x的图象向左平移个单位长度即可．

41

(2)如何由y＝sin x的图象得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象？

2

1提示：将y＝sin_x的图象的横坐标变为原来的，即可得y＝sin_2x的图象；将y＝sin_x21

的图象的横坐标伸长为原来的2倍，即可得y＝sin_x的图象．

2

1

(3)对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x，y＝sin x的函数值有什么关系？

21提示：y＝2sin_x的函数值是y＝sin_x的函数值的2倍，而y＝sin_x的函数值是y21＝sin_x的函数值的倍．

2[课前反思]

(1)A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响： ；

(2)由函数y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径： ；

(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A、ω、φ的物理意义： ．

[思考] 用“五点法”作正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象时，“五点”具体指哪些点？

名师指津：用“五点法”作正弦函数y＝sin_x的图象时，“五点”是指(0，0)，π，1，

2

(π，0)，3π，－1，(2π，0)；用“五点法”作余弦函数y＝cos_x的图象时，

“五点”2π3π是指(0，1)，，0，(π，－1)，，0，(2π，1)． 22

讲一讲

π1．用“五点法”画函数y＝2sin3x＋的简图．

6

π1π[尝试解答] 先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝X－，列表 663

X 0 π18π3π π 2π 22π5π4π11π 91182 0 －2 0 x － y 0 描点作图，再将图象左右延伸即可．

用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表. ωx＋0 φ －π 2π－2ωφ ω3π 23π－2ωφ ω－A π 2π π－ωφ ω0 2π－ωφ ω0 x φ ω0 y A 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象． 练一练

xπ1．已知f(x)＝2sin＋. 23

(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值． 解：(1)列表：

xπ＋ 230 π3π π 2π 22x f(x) 作图：

－2ππ4π7π10π 333332 0 －2 0 0

πxππ5ππ

(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)

2232335ππ的单调递增区间为4kπ－，4kπ＋，k∈Z.

33

xπππ

(3)当＋＝＋2kπ，即x＝＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.

2323

讲一讲

π2．由函数y＝cos x的图象如何得到函数y＝－2cos2x＋＋2的图象？

6π7π[尝试解答] y＝－2cos2x＋＋2＝2cos2x＋＋2.

66

y＝2cos2x＋



7π＋2. 6

解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意．

练一练

π2．如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin2x－＋1的图象？ 3

讲一讲

π3．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分，求此函数的2解析式．

[尝试解答] 法一：(逐一定参法)

5ππ2π

由图象知A＝3，T＝－－＝π，∴ω＝＝2，

66T∴y＝3sin(2x＋φ)．

ππ

∵点－，0在函数图象上，∴0＝3sin－×2＋φ

66

ππ

∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．

63ππ∵|φ|<，∴φ＝.

23π2x＋∴y＝3sin.

3法二：(待定系数法)

.



π5π由图象知A＝3.∵图象过点，0和，0， 36

πω

ω＝2，3＋φ＝π，

∴解得π

5πωφ＝.3＋φ＝2π，6π∴y＝3sin2x＋.

3法三：(图象变换法)

ππ由A＝3，T＝π，点－，0在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单66位长度而得，

π所以y＝3sin 2x＋，

6

π即y＝3sin2x＋. 3

由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定解析式的方法

(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.

(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．

练一练

3．如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式．

2π

解：由图可得：A＝3，T＝2|MN|＝π.从而ω＝＝2，故y＝3sin(2x＋φ)，将

TM，0代入得sin



π32π2π2π＋φ＝0，取φ＝－，得y＝3sin2x－. 333——————————————[课堂归纳·感悟提

升]———————————————

1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．

2．要掌握与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有关的三个问题 (1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，见讲1；

(2)三角函数图象变换，见讲2； (3)由函数图象确定解析式，见讲3.

3．本节课的易错点是由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移

φ的单位为而不是|φ|. ω

课下能力提升(十一) [学业水平达标练]

题组1 “五点法”作图

ππ1．函数y＝sin2x－在区间－，π上的简图是( ) 32

3ππ解析：选A 当x＝0时，y＝sin－＝－<0，故可排除B、D；当x＝时，

263

ππsin2×－＝sin 0＝0，排除C.

63

31π2．作出函数y＝sinx－在长度为一个周期的闭区间上的图象．

323解：列表：

X＝x－ 13π30 π 2π 3π 2π 2

x 32π 5π11π 4π 7π 22y＝0 1πsinx－ 33描点画图(如图所示)． 3 20 3－ 20

题组2 三角函数的图象变换

π

3．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )

2A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

4．为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 1

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

4C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 1

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

4

1

解析：选B ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵

4坐标不变．

ππ5．为了得到函数y＝sin2x－的图象，只需把函数y＝sin2x＋的图象( ) 36π

A．向左平移个单位长度

4π

B．向右平移个单位长度

4π

C．向左平移个单位长度

2π

D．向右平移个单位长度

2

πππ解析：选B y＝sin2x＋x＋φＦy＝sin2（x＋φ）＋＝sin2x－，即2x＋6632φ＋

ππππ

＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．→x＋φＦy＝6344

πππππsin2（x＋φ）＋＝sin2x－，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平63634π

移个单位长度． 4

6．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )

解析：选A 变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确． 7．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后π1把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求

22

f(x)的解析式．

解：反过来想，

题组3 由图象确定函数的解析式

8．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )

A．5 B．4 C．3 D．2

πT12ππ

解析：选B 由函数的图象可得＝·＝x0＋－x0＝，解得ω＝4.

422ω4

9．如图是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则它的一个解析式为( )

π22xπ

A．y＝sin2x＋ B．y＝sin＋

333242π2π2

C．y＝sinx－ D．y＝sin2x＋

3333

25π7π2

解析：选D 由图象可知，A＝，T＝－－＝π，∴ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．将

31212322ππ2π2π2π点－，代入上式，得＝·sin－＋φ，则φ－＝，得φ＝，∴y＝3362331236

2πsin2x＋，故选D. 3

10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点

M

3π，0对称，且在区间0，π上是单调函数，求φ和ω的值． 24

解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)， 即函数f(x)的图象关于y轴对称，

∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，∴φ＝

π

. 2

由f(x)的图象关于点M对称，可知 sin3πω＋π＝0，

24

则

3ππ4k2

ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－(k∈Z)， 4233

π又f(x)在0，上是单调函数，

2

2π

所以T≥π，即≥π.

ω∴ω≤2.又ω>0，

2

∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.

3π2

故φ＝，ω＝2或. 23

[能力提升综合练]

π1．简谐运动y＝4sin5x－的相位与初相是( )

3πππ

A．5x－， B．5x－，4

333πππ

C．5x－，－ D．4，

333

ππ

解析：选C 相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.

33

2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周ππ

期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )

23

ππA．y＝4sin4x＋ B．y＝2sin2x＋＋2

63ππC．y＝2sin4x＋＋2 D．y＝2sin4x＋＋2 36

解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为

π2πππ

，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称2ω23

ππ5π

轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝

326π2sin4x＋＋2. 6

ππ3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，

312则ω的最小值为( )

A．2 B．4 C．6 D．8

2πππ解析：选A 函数f(x)的周期T≤4－＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最

ω312小值为2.

4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于( )

A.2 B．2＋22 C.2＋2 D.2－2 解析：选A 由图可知A＝2，φ＝0，T＝8，

∴

2πππ＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sinx. ω44

∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sinπ3π5π3π

2sin＋2sin＋2sin π＋2sin＋2sin＝2.

2442

5．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．

π

＋4

45ππ2π

解析：由函数图象可知A＝2，T＝－＝π，即＝π，故ω＝2.

3612ω又

5π，0是五点法作图的第五个点，即2×5π＋φ＝2π，则φ＝π.故所求函数的

636

π解析式为y＝2sin2x＋.

3

π答案：y＝2sin2x＋ 3

π6．已知函数f(x)＝3sinωx－(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴

6

π完全相同．若x∈0，，则f(x)的取值范围是________．

2

ππ5ππ解析：由题意知，ω＝2，因为x∈0，，所以2x－∈－，，故f(x)的最

26663πππ小值为f(0)＝3sin－＝－，最大值为f＝3sin＝3，所以f(x)的取值范围是

2263

－3，3.

2

3答案：－，3 2

π7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的一段图象如图所示． 2(1)求f(x)的解析式；

(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

π2π42

解：(1)A＝3，＝4π－＝5π，ω＝. 4ω35

2π由f(x)＝3sinx＋φ过，0，

54

得sin

π＋φ＝0，又|φ|<π，故φ＝－π， 21010

2π∴f(x)＝3sinx－. 510

π222mπ(2)由f(x＋m)＝3sin（x＋m）－＝3sinx＋－为偶函数(m>0)， 10510552mππ53π

知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z. 5102223π∵m>0，∴mmin＝.

2

故把f(x)的图象向左至少平移数．

3π

个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函2

π8．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，2，由此2

点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点

3π，0，若φ∈－π，π.

222

(1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间． 解：(1)依题意，A＝2，T＝4×

3π－π＝4π，

22

2π11∵T＝＝4π，ω>0，∴ω＝.∴y＝2sinx＋φ.

|ω|22π∵曲线上的最高点为，2，

2

ππ1π∴sin×＋φ＝1.∴φ＋＝2kπ＋.

4222πππ1π∵－<φ<，∴φ＝.∴y＝2sinx＋.

42242π1ππ

(2)∴令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

22423ππ

∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.

22

3ππ∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ－，4kπ＋(k∈Z)．

22π1π3π

令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

2242∴4kπ＋

π5π

≤x≤4kπ＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为22

4kπ＋π，4kπ＋5π(k∈Z)．

22