“胡不归模型”——动点最值问题

一、“胡不归模型”来源

话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭。邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归……胡不归……”

这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题。

将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则由

可得

，提取一个

得最小，

，

转化为DG＋DB，

，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小，

，

若想总的时间最少，就要使得如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且作DG⊥AE于点G，则，将

再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点值为BH，

，

综上，所需时间的最小值为

少年想要尽快回家，应沿着驿道到达面。

二、“胡不归模型”解题方法

本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理 第一步：将所求的线段和改写成DB第二步：构造一个角，使得sin，

点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一

nnDA1的形式； mmn；（在DA的一侧，在DB的异侧） m第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；

第四步：计算。在AD的一侧，在BD的异侧，构造α,使得sin α=k,得到一条射线AM，以动点所在的线段为斜边。过B点作垂直于AM的垂线即可。

三、典例剖析

例：(长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE△AC于点E，D是线段BE上的一个动点。 求CD＋

5BD的最小值。 5

四、练习题

1.在直角三角形ABC中，△C=90°，△A=30°，BC=1，P是边AC上的一个动点，则是 。

C

A

1PA+PB的最小值2P

B

2.四边形ABCD是菱形，AB=6，且△ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+的最小值是 。

变式思考：（1）本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？ （2）本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？

M

A

D

1BM2

B

C

23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yaxbxc的图像经过A(-1,0)，B(0,3)，C(2,0)，其对

称轴与x轴交于点D。

(1) 求二次函数的表达式及顶点坐标； (2) 若P是y轴上的一个动点，连接PD， 求

1PBPD的最小值。 2