基于模型降阶的分数阶鲁棒控制器

2019年12月Electronics Optics & ControlVol. 26 No. 12Dec. 2019引用格式:刘鹏.基于模型降阶的分数阶鲁棒控制器[J].电光与控制,2019, 26(12):105-110. LIU P. Design of a fractional-order robust controUer based on model order reduction[ J]. Electronics Optics & Control, 2019, 26( 12) ：105-110.基于模型降阶的分数阶鲁棒控制器刘鹏(唐山学院智能与信息工程学院，河北唐山063000)摘要：针对复杂高阶被控对象控制器设计及参数整定困难问题,提出了 一种基于模型降阶的分数阶鲁棒控制器设 计方法。首先将复杂高阶模型近似为含时滞环节的降阶分数阶模型，根据原模型的奈奎斯特曲线特征，结合序列二

次规划法，得到降阶近似模型的参数值。在此基础上完成分数阶控制器的结构设计，通过公式推导，给出了最大灵敏

度鲁棒性指标与控制器整定参数的新的计算方法，最后结合复合时域性能指标整定控制器参数。仿真结果表明，所 设计模型降阶参数求解无需全局寻优,收敛速度快，且降阶模型很好地逼近原系统,设计的鲁棒控制器使原系统具有

良好的控制品质。关键词：模型降阶；分数阶控制器；鲁棒性中图分类号：TN273 文献标志码：A doi： 10.3969/j. issn. 1671 -637X. 2019.12.022Design of a Fractional - Order Robust Controller Based

on Model Order ReductionLIU Peng(Department of Intelligence and Information Engineering, Tangshan College, Tangshan 063000, China)Abstract: In order to overcome the difficulty of controller design and parameter tuning for complex high-

order controlled object, a design method for fractional-order robust controller based on model order reduction is proposed. Firstly, the complex high-order model is approximated to a reduced-order fractional -order model with time-delay links. According to the Nyquist curve characteristics of the original model and by using the sequential quadratic programming method, the parameters of the reduced-order approximated model are

obtained. Based on this, the structure of a fractional-order controller is designed, and the new numerical calculation methods of the robust index of maximum sensitivity and the controller parameters to be tuned are

deduced. Finally, the controller parameters are tuned based on the performance index in composite time domain. Simulation results show that the proposed parameter solving method for model order reduction does not need global optimization, has a fast convergence speed, and the reduced-order model approximates the original

system very well. The designed robust controller enables the original system to have a good control quality.

Key words: model order reduction ； fractional-order controller ； robustness数阶控制器有多种结构形式⑵，控制器通过对积分及

o引言控制系统的分数阶模型通常能更精准地描述系统

微分阶次的引入,使控制系统的鲁棒性和控制效果得 到更好的提升，但阶次参数的引入也带来了参数整定

动态过程，提高对系统设计、表征和控制的能力，因而 方法。T和系统稳定性分析®\"等问题。随着计算机 存储能力及运算速度的不断提升，分数阶微积分的实

分数阶模型控制理论及应用的研究越发引起控制界的 关注。对于分数阶系统的研究,主要包括分数阶系统 的建模分析和分数阶控制策略的研究两个方面⑷。分收稿日期：2019-01-09

现越来越容易，应用也越来越广泛。当描述系统的分数阶或整数阶模型呈现复杂的高 阶特性时,常需要将模型降阶处理成含时滞的低阶整

修回日期：2019-02-17基金项目:河北省高等学校科学技术研究项目(BJ2017108)数阶或分数阶模型，然后根据降阶后模型设计对应控 制器,这样可降低控制器设计和参数整定的难度，同时

作者简介:刘鹏(1982 —)，男，辽宁沈阳人，硕士，讲师，研究方向

为先进控制技术。保证系统具有一定程度的鲁棒性閃O106电光与控制第26卷针对降阶模型参数确定困难的问题，本文设计了 一种高效的模型降阶方法，针对降阶模型完成分数阶 控制器的结构设计，给出了根据最大灵敏度鲁棒指标

和确定控制器整定参数的计算方法，并结合时域指标, 利用最优化方法完成控制器的参数整定。最后以数值

仿真的形式验证本文方法的有效性。1复杂模型降阶简化在实际控制工程中,控制系统几乎都是复杂的高 阶系统，其对应单输入单输出(SISO)线性系统的传递

函数一般形式为aS' +

+ ■■■ + a.s1' +式中:耳』为实数;⑦，邑分别代表了分子和分母的阶

次，均为大于零的实数，同时需满足為<几。当分子 分母的阶次均为整数时,G(s)为整数阶系统；当分子

分母阶次出现分数或小数时,G(s)为分数阶系统。因分数阶模型能更准确地表征系统动态过程,为提 升系统控制器结构设计和控制性能指标,本文采用含时

滞的降阶分数阶模型对高阶系统近似，近似模型为G”(s)==

(2)as + 0式中:r为模型阶次,00—样，取值为大于零的实数。降阶模型参数的确定即为参数优化求解的过程, 优化目标函数通常选择实际系统和降阶系统的时域或

频域响应差值的特定函数，然后通过动态调整降阶模 型参数的值，使目标函数达到极小值，从而完成降阶模

型参数的确定过程。目前，优化算法通常采用全局随 机搜索优化算法,即在整个参数的特征空间内进行搜

索。这种方法虽然避免了算法收敛于局部极小值，但 由于搜索空间范围较大,算法需要较长的计算时间。

另外一种方法是使用局部搜索优化算法确定降阶模型 参数值,但这种方法对初值的选取非常敏感，初值选取

不当会造成参数求解不收敛或收敛时间过长。本文对文献［9］的模型整数阶降阶方法进行改进, 利用系统开环Nyquist曲线特征点完成分数阶降阶模

型的初始参数计算，然后采用高效的局部搜索优化算

法一序列二次规划法何进行迭代寻优求得分数阶 降阶模型的参数值,具体做法如下所述。1)首先，利用频域Nyquist曲线分析求取降阶模

型参数的近似空间分布，在高阶模型Nyquist曲线上选

择2个特殊坐标点：第1个点靠近Nyquist曲线起点 (即3=0)，保证降阶模型与高阶模型具有相似的开环

增益，通常选择此点的相角满足0°<<30°；第2个点选择Nyquist曲线与实轴负半轴的第1个交点(即穿

越频率点)，保证降阶模型与高阶模型有相似的增益裕 度。若厶 G(j®i) =e，|G(j®i) I =局，厶 G(j®2)= - TT,

I GG®) I =赵，令

= G(j©) ©(j®) = G% ,化简可得I c、 A:2 sin (&>2cos(a；£-) +fc1sin(w2£)tan rqr/ k)lL -(j>) + klcos(a)2L') o_ %2®；sin(占血(&)2厶)(3)采用Matlab的ezplot绘图函数，可得到式(3 )的两 个子方程对应的一组曲线交点坐标，即方程组的解。

为便于后续控制器设计，选择厶值为最小正值的解，然

后代入原方程，求出降阶模型的另外两个参数a和几2)然后，利用序列二次规划法的局部快速超一次

收敛特性在初始参数空间附近进行优化求解,优化目 标函数选取误差平方积分指标(ISE)。通过序列二次

规划法不断地迭代调整降阶模型参数值，使得目标函 数值取极小值，即降阶模型最大程度地逼近原系统，完

2成算法求解降阶模型参数的过程分数阶鲁棒控制器设计。本文设计目标是使系统开环传递函数的形式为L(s) =C(s)G”(s)=牛

(4)式中:K为系统开环增益也为降阶模型的时滞常数。

因此，分数阶控制器应为C(s) =K购斗=3\"+直。

(5)S

S控制器只具有系统开环增益K这一个可调参数, 参数调整方便。『>1时，C(s)为ID\"控制器;rC(s)为II\"控制器;r = l时,C(s)为PI控制器。以最大灵敏度M作为控制器鲁棒性能指标,即= II 1 +C(j(6)最大灵敏度的几何意义是开环系统Nyquist曲线 与(-1,2)点最短距离的倒数。如图1所示,通过最

大灵敏度指标的约束，使得开环系统Nyquist曲线不会 进入以(-1J0)点为圆心、1/M,为半径的圆内，保证

系统具有较好的稳定裕度指标。设以(-1,2)为圆心、以1/M,为半径的圆与开环

系统Nyquist曲线相切于C点，此时频率为©，可得到Z(j®)二 -1+瓦⑺dw结合开环传递函数结构，可得超越方程组为第12期刘J8S：基于模型降阶的分数阶鲁棒控制器

107-2慮屈n(如)+X2 =0⑻图1最大灵敏度几何解释Fig* 1 Geometric interpretation of mfixirmirn sensitivity

由图1可以看出，随着频率的增加,Nyquist曲线 依次经过与单位圆交点、与最大灵敏度指标圆的切点、 与实轴负半轴交点,对应的频率分别为截止频率叫、

相切点频率©、穿越频率气，因此有d）p <敏度指标甌= 1-5时，用ezplot函数可以得到式（3） 两个子方程对应曲线的交点，如图2所示。根据变量 的取值范围，去除不符合要求的点,可得开环增益K =

0. 8858O利用文献［12 ］给出的开环增益的逼近表达式K =

y（1.451-片泸），计算得K = 0. 13，虽与本文方法

数值接近，但显然本文方法不存在逼近误差的问题，进图2开环增益K的图解法Fig. 2 Graphical method of K采用误差绝对时间积分性能指标（ITAE）和控制

输入平方指标作为优化指标，保证系统具有良好的跟

踪性能和鲁棒性，优化目标函数选取A 二「（&讥⑴ I + &J⑴ +4（腿一1））由（9）

式中洋（\"和比（t）分别为闭环系统的控制误差和控制 器输出諒，&，&为权值系数，数值的选择需保证对应

的权值项具有相同的数量级。本文控制器参数整定步骤如下4）确定可调参数K

的取值约束条件,即应满足的方程组及其参数取值范 围;2）根据实际需求确定&值大小;3）根据约 束条件求解最优目标函数值，完成控制器的参数整定。3实验仿真3.1 例 1针对高阶整数阶系统g⑷G® = （s +1） （0.2s + 1）（0.04s + 1）（0. 008s +1）（“）

文献［13］以ISE为优化指标，利用粒子群优化算法进 行全局寻优，得到降阶分数阶模型为r （pAS、_ 0.99933e1.0776 s101415』怏伍+1 ）= °(11)基于内模原理设计的控制器结构为G(s) =2. 19455a,>1415 +Z 035。

(12)文献［14］以误差的H2范数为优化指标，利用L-M 方法寻优得到降阶分数阶模型为c -0.19281小')(、

=1.0830.9987e 9s1'0138 + 1(13)设计的分数阶最优piaet控制器结构为C,(5)二0.11 +0.945严s(14)利用本文方法，首先确定增益裕度点处参数k2 =

0.0331,6）, =11.1803,（^ 在［0。,90。］区间内随机取不

同值，求取对应的坐标点参数并计算模型初始参数，采 用Matlab自带的finincon函数实现序列二次规划法算 法，进行数次迭代寻优，仿真数据如表1所示。表1不同G值时的仿真数据（例1）Table 1 Simulation data under different values of0 in Example 1坐标点参数初始化模型参数迭代次数4> = 5.36°,fc1 =0.995 £ = 0.119,r = l. 169 幼-0.075a = 1.810,6 = 1.016190 = 26.4。,冏=0.9311 = 0. Ill ,r = 1.237 © - 0.384a = l. 1,6 = 1. 171200=44.7°,^ =0.813 £=0. 104 ,r = 1.283 幼-0.703a = 1.385,6 = 1. 323240 = 52.32°,^ =0.749£ = 0. 103 ,r = 1.295 © - 0.852a = l. 351,6 = 1.397250 = 62. 08。,耐=0.61 = 0. 100 ,r = 1.318 © =0.108a = l. 284,& = 1.51474经过数次迭代，最终的降阶模型均具有相同的参

数“二0. 2244,r = L 005 l,a = 1.0392,6 = 1.000 4,即

降阶分数阶模型为108电光与控制第26卷GfS(＜^ = 1.0392s10051 +1.0004 ° (仔)从表1可以看出值的选取越小，模型的开环增

益越接近原系统，迭代寻优的次数就越少，因此采用本 文设计时4取值选择0。＜ g 30。，显然本文模型降阶

方法节省了大量的全局寻优时间。系统阶跃响应曲线如图3所示,ISE指标如表2所 示,可见几种降阶模型的阶跃响应曲线几乎均与原模 型阶跃响应曲线重合，与文献［13-14］中方法相比, 本文方法得到的降阶模型具有更高的逼近性能。图3原始模型与降阶模型的阶跃响应曲线(例1)

Fig. 3 Step response of the original model and the

reduced-order model of Example 1

表2降阶模型ISE指标值(例1)Table 2 ISE index of the reduced-order modelof Example 1模型JlSE本文1.2378 x 10~4文献［13］3.168 x 10 ~4文献［14］3. 058 x 10 -4选取^=0.3 ,f2 = 0. 003，鳥=0.4，优化计算后可

得最大灵敏度＜=1. 3615，控制器传递函数为C3(s) =1.5933』呻 +L5338 o

(16)闭环系统引入单位阶跃输入信号，在^ = 15 8处,

设置幅值为0.25的阶跃输入扰动，即d(t) =0.25(?-

15) o对应阶跃响应曲线如图4所示，动态响应性能指

标如表3所示。——本文方法———

文隸文就[13][14]1015

20 25

30i/s图4系统阶跃响应曲线(例1)Fig. 4 Step response curves of Example 1

表3系统性能指标(例1)Table 3 The control performance index of Example 1方法

-标称模型参数摄动后5/%TTAE8/%ITAE本文1.082.8110.313.5文献［13］2.752.2114.322.87文献［14］1.435.105.665.23从图4和表3中可以看出，几种方法均具有较好 的抗干扰能力，文献［13 ］方法中系统响应速度最快,

但超调相对较大。采用本文的控制器，系统的超调量、

ITAE、上升时间等均有较优的指标。为了验证算法的鲁棒性，按照文献［13］方法，假设 系统参数发生摄动，艮卩© x ______________________\"(1.35 + 1)(0.265+1)(0.L3_____________________⑴045 + l)(0.008s +1) °⑴)控制系统的阶跃响应如图5所示。图5模型失配阶跃响应(例1)fig. 5 St卯 response curves of Example 1 with model mismatch

可见，文献［14］方法的鲁棒性更强，但系统响应 速度慢。本文方法具有较好的鲁棒性，能适应参数变 化,同时也有很好的动态响应特性O3.2 例 2选择复杂分数阶模型⑴皿G(S)二严+2.2严+2. 9严+3. 32严+1 ° (⑻文献［15］采用改进型H2范数，得到降阶模型为c刀⑴ ( 、

=2.8446J®+0.99426 』5. °^5282s+ 1 °

(19)基于频域最优化指标设计的PF\"控制器为皿)/4049严+ 149941 严+2.4687严(20)文献［16］的降阶模型为g ( . 0. 992 8e_0*30471%0一6.1190丁丽+1(21)设计的分数阶控制器为C2(5)=4.46055ftO413+Q，72 o(22)采用本文方法，首先取(/＞二& 17。,对应点参数是為=第12期刘J8S：基于模型降阶的分数阶鲁棒控制器1090.9850,^ =0.025；增益裕度点参数他=0.015 3，处= 5.1218。求解方程组可得到初始参数模型参数也二 0.2627,r = l. 153,a=9.974 5,6 = l. Oil 5O 采用序列

二次规划法，经过22次迭代，可以得到等效模型参数 为 £ = 0.15,r = l. 0938,巧7.3370,6 = 1.0294,即等效

模型为匕一血⑸&用°)=7. 337OJ093' +1.0294 °

(右)系统阶跃响应曲线如图6所示,ISE指标如表4所

示，可见几种模型阶跃响应曲线与原系统模型阶跃响应 曲线几乎重合，采用本文方法得到的降阶模型具有较高

的逼近精度，且计算方便，无需大量的全局寻优时间。图6原始模型与降阶模型的阶跃响应曲线（例2〉

Fig. 6 Step response of the original model and the

reduced-order model of Example 2表4降阶模型ISE指标值（例2）Table 4 ISE index of the reduced-order model of EsampJe 2模型ZlSE本文0.0075文献［⑸0.0047文献［16］0.0210选取^=0.3屈=0.003，& =0.4,优化计算后，得

最大灵敏度＜ =1. 188，控制器传递函数为C3(s) =9.5O585ao5SQ + L 3337 o (24)闭环系统引入阶跃输入信号，在1 = 15 3处，设置 幅值为0.25的阶跃输入扰动，即J(0=0.25(t-15)o

对应阶跃响应曲线如图7所示,动态响应性能指标如

表5所示。图7系统阶跃响应曲线（例2〉Fig. 7 Step response curves of Example 2表5系统性能指标（例2）TaHe 5 The ccmtroJ performance index of Example 2方法

-标称模型参数摄动后5/%TTAE8/%ITAE本文0.383.782.124.88文献［⑸1.35.313.158.11文献［16］2.72.216.733.18从图7和表5的仿真数据可以看出，几种方法均具

有较好的抗干扰能力，文献［15 ］方法具有更快的上升

时间，但ITAE值和超调量指标相对较差，采用本文方

法设计的控制器,系统的各项指标均具有较优的值。利用文献［16］验证控制系统的鲁棒性的方法,即

传递函数参数发生摄动，表达式变为&=1.5严 +3. 3严+4. 35严 +4. 98严 +1。(⑸

控制系统的阶跃响应如图8所示。图8模型失配阶跃响应(例2)Fig. 8 Step response curves of Exan^le 2 ^with model mismatch

从图8中可以看出,与文献［15-16］中方法一样,

本文方法也具有较好的鲁棒性，能适应参数变化的

影响。4结束语本文针对高阶系统设计了一种求取降阶分数阶模

型的方法，该方法计算效率高且具有较高的逼近精度,

设计的分数阶控制器结构简单，只有一个可调参数，并 给出了根据最大灵敏度指标求控制器参数的解法，结

合时域性能指标完成参数的整定。仿真结果证明了本

文模型降阶方法的优越性，设计的控制器使得系统具 有较好的控制性能。参考文献[1]

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