平面向量教案

一、向量的相关定义

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量。一般用a或AB表示。

2.有向线段：带有方向的线段叫有向线段。有向线段包括起点、方向、长度。所以向量可以用有向线段来表示。

3.模的定义：向量AB的长度叫向量的模，记作AB.

4.零向量：长度为零的向量。零向量的方向是任意的。零向量和任意一个向量的方向平行。

5.单位向量：长度为1个单位长度的向量。

6.相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量。 7.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 8.平行向量（共线向量）：方向相等或相反的向量，叫平行向量。由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量。共线向量不一定在一条直线上。 二、向量的运算 1.运算法则

几何表示 代数表示 向量的运算

C ABBCAC

向量的加法

A

B D ABADAC

C B C

A

向量的减法

ACABBC

A B 多个向量相加：

向量加法的三角形法则可推广到

ABBCCDPQQRAR

例1.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝

11A.CDBA B.BCBA

2211C.BCBA DBCBA

22例2.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )

A.ADBECF0 B.BDCEDF0 C.ADCECF0 D.BDBEFC0

例3.若a＋b＋c＝0，则a、b、c ( ) A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 练习：

1.已知O为△ABC内一点，且OAOC2OB0,则△AOC与△ABC的面积之比是

( )

A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.1∶1

2.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PAPBPCAB, 则点P与△ABC的关系为 ( )

A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部

C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的一个三等分点 2.向量的数乘

1）定义：求实数与向量a的乘积的运算叫向量的数乘，记作a。 2）向量的数乘结果还是一个向量。

当0时，a与a的方向相同，且aa；

当0时，a与a的方向相反，且aa。

3）结论

①向量共线定理:如果向量a为非零的向量，那么向量b与向量a共线有且只有一个实数，使得ba；

②A,B,C三点共线ABBC

AB③向量表示与向量AB方向相同的单位向量。

AB例1.设a、b是不共线的两个非零向量,

(1)若OA2ab,OB3ab,OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线;

(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.

解:(1)证明:∵AB (3a+b)-(2a-b)=a+2b.

而BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB, ∴AB与BC共线,且有公共端点B,

∴A、B、C三点共线.[.Com] (2)∵8a+kb与ka+2b共线,

存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b)(8-λk)a+(k-2λ)b=0, ∵a与b是不共线的两个非零向量, 8－λk＝0，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2， k－2λ＝0，∴k＝2λ＝±4. 3.向量的数量积 1）向量的夹角：0,

2)投影：a在b上的“投影”的概念：acos叫做向量a在b上的“投影”， 向量a在向量b上的投影acos，它表示向量a在向量b上的投影对应的有向线段

的数量。它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零。

A

a



ObBOB=|a|cos

3）平面向量的数量积（内积）

平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零的向量a与b，它们的夹角是

则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作a²即有a² b，b=|a||b|cos。，

例1.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

三、向量的坐标

1、平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向

量，有且只有一对实数1,2，使得a1e12e2，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2、平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。由平面

向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a可表示成axiyj，由于a与

数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a(x,y)，其中

x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，规定 （1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关系。

3.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2).

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

（5）设a=(x,y),则ax2y2 （6）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，abx1x2y1y2

x1x2y1y2（7）cos

2222x1y1x2y24.两向量的位置关系

1）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，abx1x2y1y20

2）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a||bx1y2x2y10（斜乘相减等于零）

3）共线：ab 热点题型

一、向量的共线问题 例1.已知

们是同向还是反向？

例2.若平行四边形ABCD中，点A(1，-2),点B(2,3),点C（-1，-3），求点D的坐标

二、向量的夹角、垂直问题

例1.已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.

例2.已知a,b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求向量a,b的夹角

 ，当k为何值时， 与 平行？平地时它

三、有关向量模的计算

例1.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

四、与三角函数的综合应用

例1. 已知a(cos,sin),b(3,1)，求2ab的最大值

例2.已知a(cos,sin),b(cos,sin)，且kab3akb(k0) （1） 用k表示数量积ab

（2）求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角

