高一数学平面解析几何

1.直线系方程： 1）平行直线系：与直线（

），其中为待定系数。

垂直的直线可以表示为

平行的直线可以表示为

2）垂直直线系：与直线

，其中为待定系数。

3）过两条直线：

和：

交点的直线系为：

（其中不包括直线）。

2.圆的相关方程： 1）圆的标准方程： 2）圆的一般方程： 3）圆的参数方程： 4）

，且

（ ）。 5）

点

点

（

）为直径端点的圆的方程是：

6）等圆方程：7）同心圆方程：

8）过圆上一点（

9）过圆外一点（

）向圆

。

所引的切线的切线长为

（为常数，（

为常数，

） ）

为圆的充要条件是：

，且

，且该圆圆心为（ ），半径为

）的圆的切线方程为：

10）直线被圆所截得的弦长为：

1 / 9

11）设两圆

，

则

圆

系

方 ①

② 其中：1）若和

程

是

和：

+

若令=-1，则

交，①表示过两圆交点的圆，但不包括程。2）若和

相

；②表示两圆的公共弦所在的直线方

相离，则②上的

相切，②表示两圆的公切线方程。3）若和

点到两圆的切线长相等。 12）若以点（

），点（

）为直径端点的圆过原点，则有

（ ）

。

3.椭圆相关性质：

1）椭圆的第一定义：

2）椭圆的第二定义：

3）椭圆的参数方程：

4）共同焦点的椭圆系方程：为常数，

）。

（

）。其中椭圆的顶点坐标为（ ），（

0，

0）或

（

5）设椭圆方程为

椭圆的对称轴为（ ），长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐

标为（ ），准线方程为（ ），焦半径为（ ），焦距为（ ），离心率为（ ），焦点到相应准线的距离是（ ），中心到准线的距离是（ ），两准线间的距离是（ ），焦点到顶点的最短距离是（ ），焦点到顶点的最长距离是（ ），过焦点垂直于长轴的通径长为（ ），焦点弦长为26）已知

。

（

）为椭圆

（

）上的两点。

为线段的中点，则，直线的方程为

2 / 9

（ ），过点做线段程为（ ）。 7）设点在椭圆

（

）上，

的垂直平分线所得的直线方

为椭圆的两个焦点，为

其对应的两条焦半径，则在焦点三角形=

=

。当

时，

=

之中，

。

=

最大值为（ ）。 8）若点

在椭圆

（

，当=（ ）时，有

）上，则过点的椭圆的切线

方程是。

3.双曲线的相关性质： 1）双曲线的第一定义：

2）双曲线的第二定义：

3）若在双曲线的右支上（双曲线的焦点在轴上），则（

），显然

（ ）

；若在双曲线的左支上（双曲线的焦点在（

=

时，

），这时有

或

（ ）

。当

轴上），则

的轨迹为以为端点的射线。当

时，没有轨迹。

4）“双曲线的渐近线互相垂直”是“双曲线是等轴双曲线”的（ ）条件。等轴双曲线的离心率为（ ），渐近线方程为（ ）。 5）具有相同渐近线的双曲线系方程为：

（

）具有相同焦点的双

曲线系方程为：（，为常数）。

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6）设双曲线方程为（）。其中双曲线的顶点坐标为

（ ），双曲线的对称轴为（ ），实轴长为（ ），虚轴长为

（ ），焦点坐标为（ ），准线方程为（ ），焦半径为（ ），焦距为（ ），离心率为（ ），焦点到相应准线的距离是（ ），中心到准线的距离是（ ），两准线间的距离是（ ），渐近线方程是（ ），焦点到顶点的最短距离是（ ），焦点到顶点的最长距离是（ ），过通径长为（ ），焦点到渐近线的距离为虚半轴长，焦点弦长为27）双曲线的共轭双曲线： 双曲线

的共轭双曲线是

，即两组双曲线有共同的渐近线，

。

有相等的焦距。它们的离心率满足关系式：和。

8）已知（）为双曲线（）上的两点。

为线段的中点，则，直线的方程为

（ ），过点做线段程为（ ）。 9）设点在双曲线

（

）上，

的垂直平分线所得的直线方

为双曲线的两个焦点，

之中，

=

。

为其对应的两条焦半径，则在焦点三角形=

=

。当

时，

=

最小值为（ ）。 10）若点

在双曲线

（

，当=（ ）时，有

）上，则过点的双曲线

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的切线方程是

4.抛物线的相关性质： 1）抛物线的定义：

2）抛物线的参数方程：

。

（为参数）（其中为焦点到准线的距离，

3）对于抛物线

（

）

），其焦点为（ ），准线为

（ ），对称轴为（ ）。 4）已知

为抛物线

（

）的焦点弦，且

（

），

点是抛物线的焦点，为原点，直线的倾斜角，为抛物线的准线，且

，轴于点，与分别交轴于点，。则=（ ），

=（ ），=（ ）。，，

=（ ）。以为直径的圆与抛物线的准线相切，以（或）为直

径的圆与轴相切，==（ ）。以切于点。点

，，四点共圆，长为

。

（

为直径。若轴，则抛物线的通径，

5）已知）为抛物线（）上的两点。

为线段的中点，则，直线的方程为（ ），

过点做线段的垂直平分线所得的直线方程为（ ）。

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6）若点在抛物线。

（）上，则过点的抛物线的切线是

5.直线（（），斜率为）与圆锥曲线相交所得的弦长公式

为=。

五、空间几何

6.线线平行的判定方法： 1）定义法： 2）3）4）5）6）7）

，，，，，

，

，，

，

，，

，，

，

，

8）平行公理4：

7.线面平行的判定方法： 1）定义法： 2）3）4）

，，，

， ，

8.面面平行的判定方法： 1）定义法 2）3）4）

，，，

，

，

，

9.线面垂直的判定方法：

6 / 9

1）定义法： 2）3）4）5）6）

，，，，，

，，，

，

，，

，

，

，

10.面面垂直的判定： 1）定义法： 2）3）

，，

11.立体几何空间向量解法：

如图，在棱长为2的正方体

中，点为面

心。

如图，以点为原点，建立空间直角坐标系

。得（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），（0，0，2），（2，0，2），（2，2，1），

=（1，1，-2），

以2）

（0，2，2），（1，1，0）。

·

=0，所以

，所

的中

=（-2，2，0），因为

。（线线垂直） =（1，1，0），

，所以

=（2，2，0），因为平面

=2

，所以

，所以

。（线线平行、线面平行）

3）线面垂直，只用证直线的向量和平面内任意两条相交直线的向量的乘积为0即可。 4）

=（1，1，-2），

=（-1，1，2），

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==，所以和的

夹角为夹角） 5）因为

，所以=。（注意找准向量的顶点）（线线

=（1，1，-2），=（-1，1，2），所以面的法向量（即垂直

于平面的向量）·=0，·=0，所以=（2，0，1）。易证为面

的法向量，=（0，0，1）。所以=，所以=。（面面

夹角，转换为法向量求夹角） 6）因为面

的法向量=（2，0，1），

=（-2，2，0），所以

=

=

，

所以，所以和面的夹角为（线面夹角，

转换为法向量和直线的夹角，但要注意线面夹角是所求出角的余角）

7）线面垂直，可以转换为直线和平面的法向量平行。面面平行，可以转换为法向量平行。面面垂直，可以转换为法向量垂直。 8）

=（-1，1，0），面

的法向量=（2，0，1），所以点到面

的

距离==。

9）=（1，1，-2），=（-2，2，0），设与和都垂直，得（1，1，

1），所以异面直线和间的距离==。

10）面面距离和线面距离都可以转换为点线距离求解。 12.二面角的几种求法： 1）定义法： 2）垂面法： 3）三垂线法： 4）射影面积法： 5）空间向量：

13.点面距离的求法：

1）转换成线面距离或面面距离，求公垂线段；2）等体积法；3）空间向量。

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二、排列组合

1.

=（ ）

=（ ）

2.二项式定理的相关性质： 1）内容：

2）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数（ ），即

（ ）

。

3）如果是偶数，则二项式系数最大的项是（ ）；若是奇数，则二项式系数最大的项是（ ）。

3）所有二项式系数的和等于（ ）。

4）奇数项的二项式系数和偶数项的二项式系数的关系是（ ）。

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