2015年河南省中招数学试题及解析

2015年河南省中招考试数学试题及答案解析

一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各数中最大的数是（ ） A. 5 B.5 C.π D.－8

【答案】：A

【解析】：根据有理数的定义，很容易得到最大的数是5，选A。

2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）

正面

A B C D

题 第2

【答案】：B

【解析】：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，选B。

3.据统计，2014年我国高新产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（ ）

A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012

【答案】：D

【解析】： 科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a＜10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值＞1时，n是正数； 当原数的绝对值＜1时，n是负数。 将40570亿用科学记数法表示4.0570×1012元，选D。

4.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=1250，则∠4的度数为（ ）

A.550

【答案】：A

【解析】：本题考查了三线八角，因为∠1=∠2，所以a∥b,又∠3=1250，∠3与∠4互补，则∠4的度数为550。选A。

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c12d3 B.600 C .700 D.750

ab42015年河南省普通高中招生考试试卷

x505.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）

13x＞-5AO2GURUILIN-5BO2C【答案】：C

O2-5DO2【解析】：本题考查了不等式组的解集，有①得x≥-5，有②得x＜2，这里注意空心和

实心；所以选C。

6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试，技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）

A.255分 B.84分 C.84.5分 D.86分

【答案】：D

【解析】：本题主要考察加权平均数的计算方法，（85×2+80×3+90×5）÷（2+3+5）

=86分，所以选D.

7.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）

A.4 B.6 C.8 D.10

【答案】：C

【解析】：本题主要考察平行四边形和等腰三角形三线合一定理。设BF与AG相交于O；有∠BAD的平分线AG和

AFGB第7题谷DAB=AE,得AG垂直平分BF于O，可得BO=3，可证△ABE是等腰三角形，得AB=BE=5，也得AE=2AO,在Rt△AOB中，得AO=4,所以AE=8. 故选C.

EC8.在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3…组成一条

π平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位

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2015年河南省普通高中招生考试试卷

长度，则2015秒时，点P的坐标是（ ）

A.（2014，0） B.（2015，-1） C.（2015，1） D.（2015，0）

yPO2O【答案】：B

O1O3x

【解析】：一个半圆的周长是πr=π，速度×时间=

π×2015， 2π20151设点P走了n个半圆，则有×2015=nπ，所以n=个2，即1007个2，

22211007个2时正好是上半圆弧，还有半圆弧，正好在下半圆弧的中点，

2因此的P在（2015，-1）处。

二、填空题（每小题3分，共21分） 9.计算：（-3）0+3-1= 。

【答案】：4 31144因此1=， 填。 3333【解析】：本题考查了零次幂和负指数，（-3）0=1， 3-1=10.如图，△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，DE∥AC,若BD=4,DA=2,BE=3,则EC= 。 ADyAB3 2第10题谷EC o第11题谷x【答案】：【解析】：本题考查了平行线分线段成比例，因为DE∥AC，所以BDBE43,即，DAEC2EC页脚内容13 2015年河南省普通高中招生考试试卷

所以EC=

33。填。 222（x＞0）交于点A（1，a），则k= x22交点问题，点A在双曲线y=上，1xx11.如图，直线y=kx与双曲线y=

【答案】：2

【解析】：本题考查了直线y=kx与双曲线y=

×a=2，则a=2，所以点A（1，2），又点A（1，2）在y=kx上，所以k=2。填2。 12.已知点A(4，y1),B(2，y2)，C(-2，y3)都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是

【答案】：y3 ＞y1＞y2 。

【解析】：本题考查了点在函数的图像上，代入求函数值比较大小的方法，

y1=（4-2）2-1=3；y2=（2-2）2-1=（4-2）2-1=5-42；y3=（-2-2）2-1=15； 所以y3 ＞y1＞y2 。填：y3 ＞y1＞y2 。

13.现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是

【答案】：

5 8【解析】：本题考查了概率问题，

1 2 2 3 1 1，1 2，1 2，1 3，1 2 1，2 2，2 2，2 3，2 2 1，2 2，2 2，2 3，2 3 1，3 2，3 2，3 3，3 共有16种，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种， P（两次抽出的卡片所标数字不同）=填

105= 1685。 814.如图，在扇形AOB中，∠AOB=900，点C为OA的中点，CE⊥OA,交AB于E，以点O为圆心，以OC为半径作CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积是

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AEBDB/Eπ3【答案】：+

122ACO第14题BF第15题C【解析】：本题考查了扇形的面积及直角三角形的性质，连接OE, 因为CE⊥OA，点C为OA的中点，OA=2，所以OC=1，在Rt△OCE中，可证∠EOC=600，S扇形AOE=

12π×4=π；S63△OCE=

331211×1×3=；；SAOE=π－；S扇形AOB=π×4=π； S扇形COD=π

222344×1=

3π3112π；所以S阴影= S扇形AOB－S扇形COD－SAOE=π－π－π+=+。

2122443填

π3+。 12215.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3,点F是BC上不与点B,C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B/处，若△CDB/恰为等腰三角形，则DB/的长为 .

AEB/DAENB/

DMFC

谷瑞林绘图BFCB【答案】：16或45

【解析】：本题分两种情况：（1）若DB/=DC,是等腰三角形，则DB/=16；（2）若DB/= CB/，过B/作MN⊥CD于M,交AB于N，则CM=DM=8=BN,又AE=3，则BE=13，所以EN=5,由翻折可知EB/=13,在Rt△EBN中，可求NB/=12,所以BM=4,在Rt△EBN中，

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、

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/22BD=BMDM=4282=45.填45。

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.（8分）先化简，再求值

a22abb211，其中a=5+1，b=5-1

2a-2bbaa-ba-b解：原式= …………………………………………4分 2a-bab2a-bab 2a-bab =…………………………………………………………6分

2 =当a=5+1，b=5-1时，原式=

5-125+1=5-1=2…………………8分

217.（8分）如图，AB，是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A,B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB,D是AC的中点，连接PC,PO。

(1)求证：△CDP≌△POB.

证明：（1）∵D是AC的中点，且PC=PB,

C1∴DP∥AB,DP=AB, ∴∠CPD=∠PBO,

21∵OB=AB, ∴DP=OB,

2在△CDP与△POB中.

PCPDCPDPBO DPOBDPAOB∴△CDP≌△POB. …………………………………………5分 (2)填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 .

②连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形.

解：①4；………………………………………………………………7分 当四边形AOBD是正方形时，即OP⊥OB时，面积最大=2×2=4. ②600. …………………………………………………………………9分

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由（1）DP∥AB,DP=

1AB, 2C∴四边形DPBO是平行四边形， 又△CDP≌△POB,且∠PBA=600. ∴△CDP和△POB都是等边三角形, ∴PB=PD,

∴四边形BPDO是菱形.

DPAOB18. （9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

调查结果扇形统计图其它 9%人数45040035030025020015090150100500260调查结果条形统计图400报纸10%电视电脑上网 26%手机上网 40%电脑上网手机上网电视报纸其它选项

根据以上信息解答下列问题

（1） 这次接受调查的市民总数是

（2） 扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是 （3）请补全条形统计图.

（4）若该市民约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.

解：（l）1000: …………………………………………………………………………2分 提示：400÷40%=1000

（2）3600×15%=0. ………………………………………………………………4分 （3）（1000×10%=100.正确补全条形统计图）：…………………………………6分 补全条形统计图如图所示。

（4）80×（26%+40%）=52.8（万人）：

所以估计该市将“电脑和手机上网” 作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约为52.8万人。……………………………………………………………………………9分

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19.（9分）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=m. （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值和方程的另一根.

（1）证明：原方程可化为x2-5x+6-m=0………………………………1分 ∴△=（-5）2-4×（6-m）25-24+4m=1+4m………………………3分 ∵m≥0, ∴1+4m＞0,

∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根…………………4分 (2)把x=1代入原方程，得m=2，∴m=±2， ………………6分 把m=2代入原方程得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4

∴m=±2，方程的另一根是4. ………………………………9分

20.（9分）如图所示，某学校活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B处的仰角是300，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B处的仰角是480，若坡角∠FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin480≈0.74，con480≈0.67，tan480≈1.11，≈1.73）

EAFD300B谷瑞林制图480C解：延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于H， 由题意得，∠DAE=∠BGH=300,DA=6,∴GD=DA=6, ∴GH=AH=DA·cos300=6×3=33，∴GA=63,…………………………2分 2BCx3x……………4分 0tanBGCtan30BCx在Rt△ABC中，AC=………………………………………6分 0tanBACtan48x∵GC-AC=GA, ∴3x-=63，…………………………………………8分

tan480设BC=x米，在Rt△GBC中，GC=

∴x≈13.即大树的高约为13米。………………………………………………9分

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480BFD300谷瑞林制图

EGHAC21.（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两张优惠卡：①金卡每张600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡每张150元/张，每次凭卡另收费10元.暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元.

（1）分别写出选择银卡，普通票消费时，y与x的函数关系式；

（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出A,B,C的坐标。

（3）请根据函数图像，直接写出选择那种消费方式更合算.

y600BAODCx谷瑞林绘图解：（1）银卡：y=10x+150，……………………………………………………1分

普通票：y=210x， ……………………………………………………2分 （2）把x=0代入y=10x+150中，得y=150，∴A（0，150）……………………3分

y=20x由题意,解得x=15，y=300,∴B（15，300）……………………4分

y=10x+150把y=600代入y=10x+150，得x=45，∴C（45，600）……………………5分 (3)当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算；（若写0≤x＜15不扣分） 当x=15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算；

当x=45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比购买普通票合算； 当x＞45时，选择购买金卡更合算；………………………………………10分

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22.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=900，BC=2AB=8,点D,E分别是边BC，AC的中点，连DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现 ①当α=00时，

AEAE= ；②当α=1800时，= . BDBD（2）拓展探究

试判断：当00≤α≤3600时，证明.

(3)解决问题

当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.

AE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出BDAEBDCABEDA图1图2谷瑞林制图CB备用图C

解：（1）①5 …………………………………………1分 2②5…………………………………………………2分 2 提示：①当α=00时，在Rt△ABC中，BC=2AB=8,∴AB=4；AC=8242=45 又点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB, ∴

AECECA455= BDCDCB82A②当α=1800时，∴CE∥AB, ∴AE=45+25=65 ∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12 ∴

B图3CDEAE655= BD122（2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣分）…………………………3分

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在图1中，∵点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB, ∴

CECD,∠EDC=∠B=900; CACB如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，

CECD仍然成立。…………………………………………………………4分 CACBAEAC又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE∽△BCD，∴………………………6分 BDBC∴

在Rt△ABC中，AC=8242=45， ∴

5AEAC45==。 82BDBCAE∴的大小不变。………………………8分 BD（3）45或

ADE125………………………10分 5B图4C提示：如图4，当△EDC在BC上方，

且A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=45；

如图5，当△EDC在BC下方，且A、D、E 三点共线时，△ADC是直角三角形， 由勾股定理得，AD=8, ∴AE=6, 根据

AEBD图5AE5125,得BD= BD25EDC23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A,C间的一个动点（含端点）过点P作PF⊥BC于点F，点D,E的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.

(1)直接写出抛物线的解析式.

（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.

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（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.

BFyCDBCyDPxAEOAEO备用图x谷瑞林画图 解：（1）抛物线的解y=- （2）猜想正确。 12x+8…………………………………………3分 812x+8） 81212则PF=8-(- x+8)=x…………………………………………………4分

88理由：设P（x，- 过P作PM⊥y轴于点M，

126--x+8则PD2=PM2+DM2=(-x)2+814121=x+x+4=x2+2 2822

12x+2, …………………………………………6分 81212∴PD-PF=x+2-x=2,

88∴PD=

∴猜想正确. …………………………………………7分 (3)“好点”共有11个。……………………………………9分 当点P运动时，DE大小不变，

∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小。 ∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,

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∴PE+PD=PE+PF+2,

当P、E、F三点共线时，PE+PF最小。 BFy此时点P、E的横坐标是-4， C将x=-4代入y=- 18x2+8，得y=6. PD∴P（-4，6），此时△PDE的周长最小， 且△PDE的面积是12，点P恰为“好点”。 AEO∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标是 （-4，6）。……………………………11分 提示：直线ED的解析式是y=32x+6， 设P（x，- 1238x+8），N（x，2x+6） 则PN=- 1238x+8-（2x+6）=- 18x232x+2 △ PDE的面积S=12×4×（- 12312128x2x+2）=-4x-3x+4=-4x+6+13，由-8≤x≤0，知4≤S≤13，

所以S的整数值有10个，由图像可知，当S=12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个。

B F yC PDNxAEO谷瑞林画图页脚内容13

x