淋雨量数学模型

雨中行走淋雨量阐发

摘要

本文在给定的降雨条件下，辨别成立相应的数学模型，阐发人体在雨中奔驰时淋雨多少与奔驰速度、降雨标的目的等因素的关系.其中文中所涉及到的降雨量是指从天空下降到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上储蓄积累的水层深度，它可以直不雅地暗示降雨的多少.淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可暗示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积.利用MATLAB软件对各个问题进行了求解.

.

针对问题二，雨迎面吹来，雨线标的目的与跑步标的目的在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和.因各个标的目的上降雨速度份量不合，故辨别计较头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量.据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函数关系.阐发标明当跑步速度为

.

针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步标的目的在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关.列出函数关系式阐发并求解，可知当人速度v=2

.

针对问题四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数

关系式，利用MATLAB画出α辨别为0°，10°，….90°的曲线图.

针对问题五，雨线与人跑步标的目的不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶.辨别列式暗示，总的淋雨量即为三者之和.

关头词

淋雨量；降雨的大小；降雨的标的目的（风）；路程的

远近；行走的速度；

一、 问题重述

生活中我们经常会遇到下雨却没有遮雨东西的时刻，我们在那时会有良多选择，其中之一就是淋雨，往往良多人会在雨中快走或奔驰以使自己身体淋雨量最小化，但往往良多人会感到到淋雨量其实不会因为快走或奔驰而削减多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假定一数学模型模拟计较真实情况.当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和流露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，跑步距离d=1000m，跑步最大速度雨速u=4m/s，降雨量w=2㎝/h=ν.

=5m/s，

，记跑步速度为

1.当我们不考虑雨的标的目的时，假定降雨会淋遍全身，这时如果我们最大速度奔驰会淋多少雨？

2.雨从迎面吹来，雨线标的目的与跑步标的目的在同一平面内，且与人体的夹角为θ，成立总淋雨量与速度ν及参数a b c d u ω θ之间的关系.问速度ν多大，总淋雨量最少. 计较θ=0°，θ=30°时的总淋雨量.

3.雨从背面吹来，设雨线标的目的与跑步标的目的在同一平面内，且与人体的夹角为α，成立总淋雨量与速度ν及参数a b c d u w α之间的关系.问速度ν多大，总淋雨量最少.计较α=30°时的总淋雨量.

4.以总淋雨量为纵轴，速度ν为横轴对第3问作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.

5.若雨线标的目的与跑步标的目的不在同一平面内，模型会有什么变更？

二、问题阐发

2.1 问题一阐发

若不考虑雨的标的目的，雨以降雨量w均匀地淋遍全身.将人体简化成长方体，求出人接受雨的总面积，人以最大速度跑步，并计较淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W. 2.2 问题二阐发

雨迎面吹来，雨线标的目的与跑步标的目的在同一平

面内且与人体夹角为θ，如图1所示.按照实际情况估量人体淋雨可分为头顶和前后左右几个标的目的上.雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变更，因此人单位时间内接收雨量变更，且与相对速度成正比.据此，推算出前后侧上单位时直接受雨量.同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比.辨别计较出头顶侧与前后侧单位时直接雨量，并辨别乘以各自面积以实时间d/t,即得到头顶及两侧淋雨的总量.在人体总的淋雨量.据此可得W与v之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量.

图1

2.3 问题三阐发

雨从背面吹来，雨线与跑步标的目的在同一平面内且与人体夹角为α，如图2所示.左右标的目的上淋雨量为0.头顶上单位时间内接收雨的量与雨速垂直标的目的上的份量成正比，为头顶面积bc与时间的d/v以及之积.当时，前方不受雨，前后标的目的上单位时间内淋雨量与人前进标的目的上人相对于雨的速度（usinθ-v）成正比，据此推算出

；而当

时，前方不受雨，由于人速已经

高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即与成正

比.为人体前面积ab和跑步时间d/v顶淋雨量以及之积. 由此可计较出总的淋雨量.

据此可得W与v之间关系，并能求出α=30°时的总淋

雨量.

图2

2.4 问题四阐发

以总淋雨量W为纵轴、速度ν为横，针对问题三的求解，利用MATLAB作出当α辨别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的曲线图并加以阐发. 2.5 问题五阐发

csinβ bcosβ β

图3 仰望图

如图三，为人体模型的仰望图.需要分三部分计较，在

前前面上，雨垂直标的目的分速度为，相对速度为

，乘上垂直受雨的面积ab以实时间即为前后

侧受雨量

.因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面

乘上面积ac以实时间极其左右受雨

仍

上相对速度为量

.而头顶受雨与雨速和人速的夹角大小无关，因此

按（2）、（3）问的算法做.由式.

二、 模型假定

1.

可得雨量求法公

人在奔驰进程中，ν大小与标的目的恒定，即沿直线匀速前进.

2.

对问题1人体各个标的目的均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定.

对问题2、3雨线与跑步标的目的在同一平面内，并且 .3雨线与人体夹角不变.在此进程中左右两次因与雨速平

行而不沾雨.

4.

假定雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变

5. 6.

假定单位时间内接收雨的量与雨速成正比.

将人体理想化为一个长、宽、高、已知的长方体模型，且人体行走进程中的震荡引起的误差可疏忽不计.

三、 符号说明

a

人体高度

b c d u w θ β

人体宽度 人体厚度 跑步距离 雨速 降雨量

雨迎面吹来时与人体的夹角 仰望图中雨速与人速的夹角

W

跑步最大速度 总淋雨量 头顶面积 人前或后概略积

雨点相对人头顶速度的垂直份量 雨点相对人前前面速度的垂直份量 头顶单位时直接收雨量 前前面单位时直接收雨量 头顶接收雨量 人体前前面接收雨量 人体左右面接收雨量

五、模型成立与求解

不考虑雨的标的目的，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，疏忽次要因素，人以最大速度跑步，按照淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下：

利用MATLAB编程求解（见附录一），可得：

按照题意，将下降在人体上的雨滴分红两部分， （顶部）（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落标的目的份量、行走时间有关.

列式求解如下：

头顶：

假定降雨量w与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以： 正面： 而

利用MATLAB编程求解（见附录二），可得： 当v=5m/s时，淋雨量W最小；

按照题意，按照题意，将下降在人体上的雨滴分红两部分， （顶部）（前后两面），面积为

假定：

与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀散布. 头顶： 正面： 当的前面 当

时，人速小于垂直于人前前面的雨速，雨会沾到时，人速大于垂直于人前前面的雨速，雨会沾到人

人的前面

因为

所以

用lingo编程（见附录三）求解可得： 当v=2m/s时，总淋雨量最少;

. 图4

按照问题三的结论，列出总的淋雨量W和人速度v之间的关系式，利用MATLAB画出α取不合值时的函数图像如下：

阐发图像可知，当v=2时，总淋雨量最少. 应用（3）中的结论 前后侧，当可总结为

同理，可得左右侧接收雨量 三者相加得

六、

时，相对速度 ，

模型评价

通过对本题的阐发求解，可知道人在雨中奔驰的淋雨量不但与跑步速度有关，还与雨线与人跑步标的目的的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关.本文疏忽了降雨密度不均匀，风向不稳定等次要因素，以便更好的对问题进行阐发和研究.但在实际问题中的性因素远远超出这些，因此此文的阐发办法仍存在一定的局限性，有待改良和提高.

参考文献

[1] 薛定宇，陈阳泉.初等应用数学问题的MATLAB求解.北

京：清华大学出版社，2008年10月.

[2] 陈杰.MATLAB宝典.北京：电子产业出版社，2007年.

附录

附录1：问题一求解程序 clear; a=1.5; b=0.5; c=0.2;

w=0.02/3600; d=1000; Vm=5;

W=(2*a*b+2*a*c+b*c)*w*d/Vm W=

附录2：问题二求解程序

附录2.1：阐发当v=vm时总淋雨量最小程序 clear; syms t v; a=1.5; b=0.5; c=0.2;

w=0.02/3600; d=1000; u=4;

minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u; h=diff(minss,'v') %导数 h =

-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2

%h=-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2恒小于零，原函数为减函数

附录2.2：当θ=0时总淋雨量程序 clear; t=0; v=5; a=1.5; b=0.5; c=0.2;

w=0.02/3600; d=1000; u=4;

minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u minss =

附录2.3：当θ=30°时总淋雨量 clear; t=pi/6; v=5;

a=1.5; b=0.5; c=0.2;

w=0.02/3600; d=1000; u=4;

minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u minss =

附录3：问题三中α=30°时总淋雨量 程序一：

min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(2-v)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v; v>=0; v<=2; 运行结果

Local optimal solution found at iteration: 8 Variable Value Reduced Cost Row Slack or Surplus Dual Price 程序二：

min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(v-2)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v; v>=2;

v<=5;

运行结果：

Local optimal solution found at iteration: 8 Variable Value Reduced Cost Row Slack or Surplus Dual Price 附录4：问题四的程序 t=sin(t0); v1=0:0.1:t(1); v11=t(1):0.1:5;

y1=(5.556e-4.*cos(t(1))+41.67e-4.*sin(t(1)))./v1-4.167e-3/4; y11=(5.556e-4.*cos(t(1))-41.67e-4.*sin(t(1)))./v11+4.167e-3/4;

plot(v1,y1,'r'); hold on

plot(v11,y11,'r'); xlabel('vÖá'); ylabel('WÖá'); v2=0:0.1:t(2); v22=t(2):0.1:5;

y2=(5.556e-4.*cos(t(2))+41.67e-4.*sin(t(2)))./v2-4.167e-3/4; y22=(5.556e-4.*cos(t(2))-41.67e-4.*sin(t(2)))./v22+4.167e-3/4;

plot(v2,y2,'g-.'); hold on

plot(v22,y22,'g-.'); v3=0:0.1:t(3); v33=t(3):0.1:5;

y3=(5.556e-4.*cos(t(3))+41.67e-4.*sin(t(3)))./v3-4.167e-3/4; y33=(5.556e-4.*cos(t(3))-41.67e-4.*sin(t(3)))./v33+4.167e-3/4;

plot(v3,y3,'k:'); hold on

plot(v33,y33,'k:'); v4=0:0.1:t(4); v44=t(4):0.1:5;

y4=(5.556e-4.*cos(t(4))+41.67e-4.*sin(t(4)))./v4-4.167e-3/4; y44=(5.556e-4.*cos(t(4))-41.67e-4.*sin(t(4)))./v44+4.167e-3/4;

plot(v4,y4,'b'); hold on

plot(v44,y44,'b'); v5=0:0.1:t(5); v55=t(5):0.1:5;

y5=(5.556e-4.*cos(t(5))+41.67e-4.*sin(t(5)))./v5-4.167e-3/4;

y55=(5.556e-4.*cos(t(5))-41.67e-4.*sin(t(5)))./v55+4.167e-3/4;

plot(v5,y5,'c'); hold on

plot(v55,y55,'c'); v6=0:0.1:t(6); v66=t(6):0.1:5;

y6=(5.556e-4.*cos(t(6))+41.67e-4.*sin(t(6)))./v6-4.167e-3/4; y66=(5.556e-4.*cos(t(6))-41.67e-4.*sin(t(6)))./v66+4.167e-3/4;

plot(v6,y6,'y'); hold on

plot(v66,y66,'y'); v7=0:0.1:t(7); v77=t(7):0.1:5;

y7=(5.556e-4.*cos(t(7))+41.67e-4.*sin(t(7)))./v7-4.167e-3/4; y77=(5.556e-4.*cos(t(7))-41.67e-4.*sin(t(7)))./v77+4.167e-3/4;

plot(v7,y7,'m'); hold on

plot(v77,y77,'m'); v8=0:0.1:t(8);

v88=t(8):0.1:5;

y8=(5.556e-4.*cos(t(8))+41.67e-4.*sin(t(8)))./v8-4.167e-3/4; y88=(5.556e-4.*cos(t(8))-41.67e-4.*sin(t(8)))./v88+4.167e-3/4;

plot(v8,y8,'k'); hold on

plot(v88,y88,'k'); v9=0:0.1:t(9); v99=t(9):0.1:5;

y9=(5.556e-4.*cos(t(9))+41.67e-4.*sin(t(9)))./v9-4.167e-3/4; y99=(5.556e-4.*cos(t(9))-41.67e-4.*sin(t(9)))./v99+4.167e-3/4;

plot(v9,y9,'m-.'); hold on

plot(v99,y99,'m-.'); v10=0:0.1:t(10); v1010=t(10):0.1:5;

y10=(5.556e-4.*cos(t(10))+41.67e-4.*sin(t(10)))./v10-4.167e-3/4;

y1010=(5.556e-4.*cos(t(10))-41.67e-4.*sin(t(10)))./v1010+4.167e-3/4; plot(v10,y10,'k');

hold on

plot(v1010,y1010,'k');

legend('y1','y11','y2','y22','y3','y33','y4','y44','y5','y55','y6','y66','y7','y77','y8','y88','y9','y99','y10','y1010');t0=0:pi/10:pi/2;