理论力学习题解答第九章

9－1在图示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA杆的角速度为，求整个系统的动量。

5ml1，方向水平向左 2

题9－1图 题9－2图

9－2 如图所示，均质圆盘半径为R，质量为m ，不计质量的细杆长l，绕轴O转动，角速度为，求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩： （a）圆盘固结于杆；

（b）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为； （c）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为。

R2222l2)；（a）LOm(（b）LOml；（c）LOm(Rl) 29－3水平圆盘可绕铅直轴z转动，如图所示，其对z轴的转动惯量为Jz。一质量为m的质点，在圆盘上作匀速圆周运动，质点的速度为v0，圆的半径为r，圆心到盘中心的距离为l。开始运动时，质点在位置M0，圆盘角速度为零。求圆盘角速度与角间的关系，轴承摩擦不计。

页脚.

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9－4如图所示，质量为m的滑块A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆AB长度为l，质量忽略不计，A端与滑块A铰接，B端装有质量m1，在铅直平面可绕点A旋转。设在力偶M作用下转动角速度为常数。求滑块A的运动微分方程。

x

m1kxl2sint

mm1mm1 页脚.

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9－5质量为m ，半径为R的均质圆盘，置于质量为M的平板上，沿平板加一常力F。设平板与地面间摩擦系数为f，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的，求圆盘中心A点的加速度。

页脚.

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9－6均质实心圆柱体A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图所示。如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的力。

a4gsin； 79－7均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体B下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M的力偶，试问在什么条件下圆柱体B的质心加速度将向上。

页脚.

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9－8平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量均为m，长度均为l，在铅垂平面运动。在杆AB上作用一不变的力偶矩M，从图示位置由静止开始运动。不计摩擦，试求当A即将碰到铰支座O时A端的速度。

页脚.

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9－9长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度绕铅直线转动，如图所示。如杆与铅直线的夹角为，求杆的动能。

页脚.

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题9－9图 题9－10图

9－10物质量为m1，沿楔状物D的斜面下降，同时借绕过滑车C的绳使质量为m2的物体B上升，如图所示。斜面与水平成角，滑轮和绳的质量和一切摩擦均略去不计。求楔状物D作用于地板凸出部分E的水平压力。

Fxm1sinm2m1gcos

m1m29－11鼓轮重W500N，对轮心O点的回转半径为0.2m，物块A重Q300N，均质圆轮半径为R，重为P400N，在倾角为的斜面上只滚动不滑动，其中r0.1m，R0.2m，弹簧刚度系数为k，绳索不可伸长，定滑轮D质量不计。在系统

页脚.

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处于静止平衡时，给轮心B以初速度vB0，求轮沿斜面向上滚过距离s时，轮心的速度vB。

解：轮O、B作平面运动，物块A作平动

T1V1T2V2 ①

T11111122222QvA0/gWvA0/gW20/gPvB0/gJBB0 2222B0vB0/R,vA0rvB0/Rr,0vB0/Rr

J1BPR22/g T21vB03P2Wr22Qr2/Rr2/4g

代入已知数据得：T214100vB0/9g

同理T224100vB/9g

取平衡位置为各物体重力势能的零位置，有：V112k2st V122k2stssPsinQWsr/Rr 为确定st，考虑静平衡时，O、A及轮B，由ME0，

得：

T1WQr/Rr

由

MH0，有：T1PsinF00,F0kst

stWQr/RkrkPsin/k

代入①，有

4100v2B0/9g12k24100v212stB/9g2ksts sPsinQWsr/Rr解得：vv22BB09gks/82001/2

页脚.

2. .

题9－11图

9－12 均质棒AB的质量为m4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图所示。设其中一绳突然断了，试用刚体平面运动方程求此瞬时另一绳的力F。

F9.8N

9－13图示机构中，物块A、B的质量均为m，两均质圆轮C、D的质量均为2m，半径均为R。C轮铰接于无重悬臂梁CK上，D为动滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动，求：（1）A物块上升的加速度；（2）HE段绳的拉力；（3）固定端K处的约束反力。

aA14g；Fmg；Fkx0，Fky4.5mg，Mk13.5mgR 63 页脚.

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K C E H A D B

页脚.

题9－13图 题9－14图

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页脚.

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9－14匀质细杆AB，长为l，放在铅直面与水平面成0角，杆的A端靠在光滑的铅直墙上，（1）杆在任意位置时B端放在光滑的水平面上，杆由静止状态在重力作用下倒下。求：

的角速度和角加速度；（2）当杆的A端脱离墙时，杆与水平面所成的角1多大？

页脚.

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1arcsin(sin0)

9－15鼓轮重1200N，置于水平面上，外半径R90cm，轮轴半径r60cm，对质心轴

23C的回转半径60cm。缠绕在轮轴上的软绳水平地连于固定点A，缠在外轮上的软绳

水平地跨过质量不计的定滑轮，吊一重物B，B重P400N。鼓轮与水平面之间的动摩擦系数为0.4，求轮心C的加速度。

解：分别取轮和重物为研究对象，轮作平面运动，设其角加速度为，轮心C加速度aC， 由题知aCr，物B加速度aB(Rr) 对轮列平面运动微分方程：

(W/g)aCT2T1F （1）

0NW，NW，FfN0.4W（2）

页脚.

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JIT2(Rr)F(Rr)

即：(W/g)(r)T2(Rr)F(Rr) （3） 对重物：(P/g)aBPT2，

即：(P/g)(Rr)PT2 （4） （2）代入（3）式，有：

22(W/g)(2r2)T2(Rr)0.4W(Rr) （5）

(4)(Rr)：(P/g)(Rr)2P(Rr)T2(Rr) （6）

（5）+（6）：(W/g)(r)(P/g)(Rr)P(Rr)0.4W(Rr)

222P(Rr)0.4W(Rr)(W/g)(2r2)(P/g)(Rr)2

400(1.5)0.412000.322.53rad/s1200/(9.8)(0.620.62)(400/9.8)(0.90.6)2

题9－15图 题9－16图

9－16 三根匀质细杆AB，BC，CA的长均为l，质量均为m，铰接成一等边三角形，在铅垂平面悬挂在固定铰接支座A上。在图示瞬时C处的铰链销钉突然脱落，系统由静止进入运动，试求销钉脱落的瞬时，（1）杆AC的角加速度AC；（2）杆BC、AB的角加速度

BC，AB。

解：（1）取AC为研究对象，杆长为l，质量为m，30 依刚体转动微分方程：

11JAACmglsinmgl

24 页脚.

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∵JA12111ml ∴ACmgl/JAmgl/ml23g/4l （顺时针） 3443111mglXB3lYBl 422（2）分别取AB，BC为研究对象：

AB：JAAB（1）

BC：m(lABcos300)XB （2） 1m(lABsin30lBC)mgYB （3）

21JDBClYB （4）

21由（2）得：XBml3AB （5）

2由（4）得：YB(1/6)mlBC （6） 将（5），（6）式代入（1）式，化简后得：

13ml2AB3mglml2BC （7）

将（6）式代入（3）式，化简得：

3mlAB6mg4mlBC （8）

解（7）与（8）式得：

AB18g/55l（逆时针）

将AB值代入（7）解得：

BC69g/55l（顺时针）

9－17图示匀质细长杆AB，质量为m，长度为l，在铅垂位置由静止释放，借A端的水滑轮沿倾斜角为的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。

a

4sing 213sin解：图（a），初瞬时AB0，以A为基点，则

τaCaCxaCyaAaCA

即aCxaAaτCAcosaAcos

laCyaτCAsinsin 2l2（1）

习题9－17图

（2）

由平面运动微分方程：

页脚.

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maCxmgsin

∴aCxgsin

maCymgcosFN lJCFNsin

21l即ml2FNsin 122（3） （4）

aAACFNaτCA（5）

（6）

aCxaAmg3gsin2解（2）、（4）、（5）联立，得 

l(13sin2)aCy由（1）、（3），得 aAcosgsin

(a)

l2B

（6）代入，得 aA4sing

13sin2

题9－17图 题9－18图

9－18匀质细长杆AB，质量为m，长为l，CD = d，与铅垂墙间的夹角为，D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。

解：初始静止，杆开始运动瞬时，vD必沿支承处切向，即沿AB方向，所以aD此时沿AB方向，如图（a），以D为基点：

由aCxaCyaDaCDaCD

ntaCxatCDd1

（1）

习题9－18图

由AB作平面运动：

maCxmgsinFN maCymgcos 1ml21FNd 12（2） （3） （4）

FNaCxADaDaCy由（3），aCygcos 解（1）、（2）、（4）联立

aCx12gd2sin2 l12d2mgl2sin

l212d2mg1B

(a)

FN 页脚.

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9－19匀质杆AB，质量为m、长为L，两端均以速度v0下落，且这时杆与铅垂线的夹角为。假设碰撞以后杆将绕A点作定轴转动。试求：（1）碰撞前后的能量损失；（2）B点与水平面即将接触时的速度。

解：动量矩守恒：JA1mv0Lsin 23v0sin/2L

T01212mv0,T1JA23mv0sin2/8 22112mv013sin2 24T倒下着地时：

1112JA1JA2mgLcos 22212mL2129v0sin2/4L2/6mgLcos

2得：uB1

12L19v0sin23gLcos41/2

题9－19图 题9－20图

9－20匀质圆柱体的质量m =10kg、半径r =30cm，沿水平轨道以匀速v0 =2m/s作纯滚动时，碰到高h = 6cm的障碍。设恢复系数e = 0，A处有足够的摩擦力，试求：（1）碰撞结束时圆柱体的角速度；（2）使圆柱能超过障碍的v0的大小；（3）碰撞时动能的损失；（4）碰撞冲量的水平及竖直分量。

解：由对A点冲量矩守恒：

JAJA0mv0rh0v0/r得：

页脚.

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12h/rv0/r5.78rad/sSYmrsin10.4Ns1v0min应满足：JA2mgh2得：v01.02m/s

9－21两根相同的均质直杆在B处铰接并铅垂静止地悬挂在铰链C处，如图所示。设每杆长l=1.2m，质量m=4kg。现在下端A处作用一个冲量为I=14Ns的水平碰撞力，求碰撞后BC杆的角速度。

13SXmv0rcos6.13NsBC2.50rad/s（顺时针）

题9－21图 题9－22图

9－22 质量为0.2kg的垒球以水平方向的速度v48km/h打在一质量为2.4kg的匀质木棒上，木棒的一端用细绳悬挂于天花板上。若恢复系数为0.5，求碰撞后棒两端A、B的速度。

vA0，vB3m/s

页脚.