大工11春《工程力学》辅导资料六

工程力学（一）辅导资料五

主 题：第五章 轴向拉伸和压缩

学习时间：2014年10月27日－11月2日

内 容：

这周我们将学习第五章轴向拉伸和压缩的内容，希望下面的内容能使同学们加深相关知识的理解。

基本要求与重点：

1、掌握拉压杆的强度计算；

2、了解应力概念；

3、掌握拉压杆的应力计算。

4、掌握拉压杆的变形计算；

5、了解材料在拉伸和压缩时的力学性能；

6、掌握轴向拉压超静定问题。

一、拉压杆的强度计算

~

1、内力：由于外荷载作用，杆件内部所产生的力。

2、截面法：用假想横截面将杆分为两部分，将内力暴露出来，求解内力的方法。

3、轴力：拉压杆的内力FN。

4、用截面法求轴力，由平衡方程得到轴力 ：FNF符号：拉力为正，压力为负。

图1

5、轴力图：用图形表示出轴力沿杆轴的变化。

图2

二、应力

~

图3

1.基本概念

（1）应力：是指内力在截面上一点处分布集度。

pA

（2）平均应力：

p*（3）一点的应力：

plimpA0A

图4

（4）正应力：垂直于截面方向的应力，用表示。

（5）切应力：平行于截面方向的应力，用表示。

图5

注意：杆件的内力不能作为材料强度指标。

2.正确理解应力概念

（1）应力指某一截面上一点处的内力集度。

（2）应力不是力，不能用应力列平衡方程。

（3）应力是矢量，可用两个分量来表示。

（4）应力符号规定：拉为正，压为负。

（5）应力的量纲为[力]/[长度]2。

（6）在国际单位制中，用牛顿/米2表示，称为Pa（帕），

（7）应力常用单位为：牛顿/毫米2，称为MPa（兆帕）。 1MPa=106Pa 3.拉压杆横截面上的正应力

~

1GPa=109Pa。

， ~

（1）几何方面

观察杆件的变形。平面假设 ：横截面间只有相对移动，相邻横截面间纵线伸长相同，横截面保持平面 。

图6

（2）物理方面

由实验得知：材料在线弹性范围内，力与变形成正比。由此可知，正应力在横截面上均匀分布。

（3）静力学方面

FNdAA；拉压杆截面上的正应力：

FNA

正应力的符号：

~

图7

4.拉压杆斜截面上的应力

图8

（1）PpaAa （2）AAacos

（3）

apacos(cos)2

（4）apasin/2sin2

结论：拉压杆的最大正应力发生在横截面上，最大切应力发生在与杆轴成±45°的斜截面上。

三、拉压杆的应力计算

基本概念：

~

1、极限应力：杆件所能承担的最大应力，用u表示。

un，n为安全系数。

2、许用应力：极限应力与安全系数的比值，用[]表示，

[]3、安全系数：为大于1的常数。

注意：计算时载荷估算并非那么准确， 实际结构与计算简图之间的差别， 构件几何尺寸的测量也有误差， 材料本身的不均匀与存在缺陷等因素。

强度条件：

1、如已知外载荷、构件尺寸和材料，对构件进行强度校核。

maxFNmax[]A

2、如已知外载荷和材料，可确定构件的横截面面积。

AFNmax[]

3、如已知构件和结构的尺寸和材料，计算构件承受的许用载荷。FNmax[]A

四、拉压杆的变形计算

基本概念：

''1、变形包括纵向变形：LLL，横向变形：ddd。

~

图1

2、线应变：单位长度杆的变形。

L3、平均线应变：

L

x4、一点处的线应变：

limx0x

‘5、横向线应变：

dd

6、纵向线应变与横向线应变的关系：' 7、泊松比：，材料常数(00.5)。

虎克定律：

1、虎克定律：在线弹性范围内，材料的应力与应变成正比。E。

 ~

 E为弹性模量或杨氏模量，它的量纲：[力]/[长度]2。

36 国际单位制中用GPa表示 1GPa10MPa10Pa

2、

LFNLEEA

 EA称为杆截面的抗拉压刚度，为产生纵向单位变形所需要的轴力 。其倒数为拉压杆的柔度。

五、材料在拉伸和压缩时的力学性能

拉伸试验试件：对于直径为d的圆截面试件，规范中规定L10d或L5d，对于面积为A的扁矩形截面试件，规范中规定 L11.3A或L5.65A。

图2

低碳钢的拉伸力学性能：

~

图3

1、线弹性阶段OA ：应力与应变呈线性关系，材料服从虎克定律，OA线的斜率为材料的弹性模量，应力—应变呈线性关系的最大应力称为比例极限P。另外，材料还存在弹性极限，其值略高于比例极限，由于二者十分接近，所以工程上很少提及。

2、屈服阶段BC：此阶段应力几乎不变，而变形却急剧增大，这种现象称为屈服或流动，45°方向出现滑移线。 材料发生屈服时的应力用 s表示，称为屈服极限。

图4

3、强化阶段CD：经历了屈服之后，材料又增强了抵抗变形的能力，此时，要使试件继续变形，需要增大应力，这种现象称为强化。强化阶段材料产生弹性和塑性变形，强化阶段的最高点，所对应的应力称为强度极限，用b表示，

4、局部变形阶段DE：试件出现颈缩之后，横截面积急剧缩小，出现颈缩，材料变形

~

增大，应力反而下降，最后导致材料在E点拉断。

图5

衡量材料塑性的指标：

1、延伸率d：试件断裂后的长度L1减去原长L除以原长的百分比。

L1L100%L

2、断面收缩率ψ ：试件原面积A减去断裂后断口处的面积A1除以原面积的百分比。

AA1100%A

低碳钢卸载和重新加载时的力学性能：

~

图6

其他金属材料拉伸时的力学性能：

图7 塑性材料 图8名义屈服应力：s0.2

脆性材料的拉伸力学性能：

铸铁：拉伸强度极限很低，只有b。用割线弹性模量。

~

图9 图10 铸铁拉伸端口

材料的压缩力学性能：

图11 塑性材料

~

图12 脆性材料

其它非金属材料的力学性能：

1、混凝土：水泥、沙子、石子、添加剂、水混合而成，属于脆性材料。

2、木材：各向异性材料。

3、玻璃钢：由玻璃纤维与树脂粘结而成，属于复合材料。

六、轴向拉压超静定问题

基本概念：

1、 静定问题：仅仅利用平衡方程就可求出所有的未知力（含支反力和内力）。

2、静不定问题：仅仅利用平衡方程不能求出所有的未知力，此时未知力个数大于有效

~

平衡方程数目。

3、静不定次数：就是未知力个数减去有效平衡方程的数目。

4、多余约束：是指相对平衡来说不需要的约束 。

5、多余约束数目必等于静不定度。

轴向拉压超静定问题求解方法—三方面：

1、几何方面：利用变形协调条件

2、物理方面：虎克定律（本构关系、力与变形之间的关系）

3、静力学方面：静力学平衡方程

附：相关例题

1.等圆截面杆的横截面直径D=20mm,两端受到轴向拉力P=8KN，则杆件的应力为（ ）。

A.6.37MPa B.25.47MPa C.40MPa D.20MPa

【参】：B

2.轴向拉压杆的强度计算一般包括（ ）。

~

A.强度校核B.截面选择C.确定许用荷载D.确定极限荷载

【参】：ABC

3. 仅仅利用平衡方程不能求出所有的未知力，此时未知力个数大于有效平衡方程数目，这种问题称为（）。

A. 静定问题 B. 静不定问题 C. 平衡问题 D. 以上都不对

【参】：B

4. 应力—应变呈线性关系的最大应力称为材料比例极限（ ）。

A.正确 B.错误

【参】：A