山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第24章密克尔定理

第24章 密克尔定理

定理1（三角形的密克尔定理）设在一个三角形每一边上取一点（可在一条边、或两条边、或三条边的延长线上取），过三角形的每一顶点与两条邻边所在线上所取的点作圆，则这三个圆共点．① 证明在△ACF中，令CAF1，ACF2，CFA3．

如图24-1（1），B、D、E分别在△ACF的三边AC，CF，FA上．设△ABE与△BCD的外接除交于点

B外，另一交点为M，联结BM，DM，EM，则BME=180-1，BMD=1802．于是，

DME=360-BMEBMD121803，从而知M，D，F，E四点共圆．

AABECD(1)BOM(2)图24-1EFECBCFF(3)D

故△ABE，△CDB，△FED的外接圆共点于M． 对于图24-1（2），B、D分别为△ACF的边AC，CF上的点，E在边AF的延长线上．设△ABE与△BCD的外接圆除交于点B外，另一交点为M，联结BM，DM，EM，则BME1801，BMD2，于是，DMEBMEBMD180123180DFE，从而知M，D，F，E四点共圆．故

△ABE，△CDB，△FED的外接圆共点于M． 对于图24-1（3）．B、D、E分别为△ACF的三边CA，CF，FA延长线上的点．设△ABE与△BCD的

外接圆除交于点B外，另一交点为M，联结BM，DM，EM，则BMD1，BMD2．于是，从而知M，故△ABE，DMEBMEBMD121803DFE．△CDB，F，D，E四点共圆．

△FED的外接圆共点于M．

对于其他取点情形均可类似于上述情形而证．

特别地，若有一点取在三角形的顶点，则过两个重合的点之圆与这两点所在的边相切．又若取的三点共直线，如图24-1（2）、（3）中的点B、D、E共直线，则对△ACF来看，直线BDE截其三边时，三圆ABE，CDB，FED共点于M；对△ABE来看，直线CDF截其三边时，三圆ACF，CDB，FED也共点于M；此时四圆ABE、ACF、CDB、FED共点于M，因而可得如下推论：

定理2（完全四边形的密克尔定理）四条一般位置的直线形成的四个三角形，它们的外接圆共点． 如图24-2，四条直线两两相交又没有三线共点而构成四个三角形的图形称为完全四边形，其交点记为A，B，C，D，E，F．在完全四边形ABCDEF中，△ACF，△ABE，△BCD，△DEF的外接圆共点于M，也可这样推证：设△ACF和△ABE的外接圆的另一交点为M，联结AM，BM，DM，EM，FM，则由

①

沈文选．三角形的密克尔定理及应用［J］．中等数学，2011（11）：5-8．

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ABPCO2QO1DFRO4SO3EM图24-2

FCM=FAM=EAM=EBM=DBM， 即知D，B，C，M四点共圆． 同理，E，F，D，M四点共圆． 或者也可这样推证：设△BCD和△DEF的外接圆的另一交点为M，作M分别在直线AC、CF、BE、AE上的射影P，Q，R，S，则由西姆松定理及其逆定理来证（第14章性质3）．

定理1中的点M称为三点B，D，E关于△ACF的密克尔点，△BDE是点M的密克尔三角形，三个圆称为密克尔圆．

若点M为△ACF三边AC，CF，FA上的点B，D，E关于该三角形的密克尔点，则有

结论1MDFC=MEAF=MBCA，即密克尔点与所取三点的联线与对应边所成的锐角相等． 这个结论可由四点共圆时，同弧上的圆周角相等或四边形的外角等于内对角即得．又对于图24-1（2）（其他图类似推导）有

CMF=CMDDMF=CBDDEF=BDABADADEDAE=ABDE，等三式得

到如下的密尔克等式（对于图24-1（2）、（3）亦有类似等式）：

结论2CMF=ABDE，FMA=CDEB，AMC=FEBD．

我们可以密克尔点M作出任一组（3条）直线与三边成等角，或过M与三角形的一个顶点任作一圆．从而有穷多种方法定出它的密克尔三角形．因而，有结论：

结论3若点M为△ACF所在平面上一定点，则有无穷多种方法定出它的密克尔三角形． 对于三角形的密克尔圆，也有如下结论：

结论4设△ACF的三个密克尔圆ABA、CDB、FED与△ACF的外接圆依次交于点A、C、F，则

△ABC∽△AEF，△CBA∽△CDF，△FDC∽△FEA． 事实上，如图24-3，由相交两圆的性质2的推论1即证．

AA'BMCC'图24-3EFF'

结论5设D、E、B分别是△ACF的CF，FA、AC上的点，自A、C、F各引一直线a，c，f分别交密克尔圆ABF、CDB、FED于点A、C、F．则（1）当a，c，f交于一点P时，A，C，

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F，P，M五点共圆；

（2）当a∥c∥f，时，A、C、M、F四点共线．

证明（1）如图24-4（1），由么PAM=MEA=MBCMDF=FFM=PFM，知M、P、A、F四点共圆．

ABaA'cPCF'D(1)图24-4AC'MEfFC'CcBaEA'MD(2)F'fF

同理，M、P、F、C四点共圆． 故A、C、F、P、M五点共圆． （2）如图24-4（2）．联结AM、MC，由AAM=MEF=MFF，知A、M、F共线． 联结MC与直线a交于点A，则AAM180AAC180ACC180MBCABM，即知A、B、A、M四点共圆，而A又在直线a上，从而知A与A重合，故C、A、M三点共线． 由于A、M公用，这两条直线重合，故A、C、M、F四点共线．

在定理1中，任意一组在三角形三边所在直线上共线点，它们的密克尔点在其外接圆；

反之，外接圆上任一点的密克三角形（所取的三点为顶点的三角形）化为一条直线段．由此可知，三角形的西姆松线段也是一个特殊的密克尔三角形． 定理2中的点M称为完全四边形的密克尔点，点M在完全四边形各边的射影共线，此线称为完全四边形的西姆松线．

若点M是完全四边形ABCDEF的密克尔点，即△ACF，△BCD，△DFF，△ABE的外接圆共点，若注意到这些三角形的外心，则有结论：

结论6完全四边形的四个三角形的外心及密克尔点五点共圆．

事实上，如图24-2，设O1，O2，O3，O4分别为△ACF，△BCD，△DEF，△ABE的外心，则注意到CM1为O1与O2的公共弦，有O1O2M180CO2M180CDM，注意到MF为O1与O3的公共

21弦，有O1O3MMO3FFEM180FDM．

2从而，O1O2MO1O3M=360-CDMFDM180，即知O1，O2，M，O3四点共圆． 同理，O2，M，O3，O4四点共圆．故O1，O2，M1，O3，O4五点共圆．

由于完全四边形中，既有凸四边形，又有凹四边形及折四边形，而其密克尔点唯一确定，因而，有结论： 结论7若完全四边形中的凸四边形或折四边形满足特殊条件时，则其密克尔点处于特殊位置，且两个三角形外接圆的另一交点即为密克尔点．

注意到结论3，结论7，我们可得到三角形密克尔定理的一系列推论，下面仅以定理3，定理4为例介绍之． 定理3在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，设M为萁密克尔点，则（1）当ADBC，且M在AD上时，点E，F与密克尔BDF、DCE的圆心O1、O2四点共圆的充要条件是M为△ABC的垂心；

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（2）当D，E，F分别为内切圆与边的切点，△ABC的外接圆与其密克尔圆AFE，BDF，CED依次交于点P，Q，R时，M为△ABC的内心，且直线PD，QE，RF共点．

证明（1）如图24-5，由结论1知，MEAC，MFAB．此时，B，D，M，F及D，C，E，M分别四点共圆，有AFABAMADAEAC，即知B，C，E，F四点共圆．

AEFMO1D图24-5BO2C

又ADBC，知O1，O2分别为BM，CM的中点，即有O1O2∥BC，从而MO2O1MCB． 充分性．当M为△ABC的垂心时，由九点圆定理即知O1，O2，E，F四点共圆．

或者注意到B，O1，M，E及C，O2，M，F分别四点共线，有FO2O1FCBFEBFEO1，即知O1，O2，E，F四点共圆．

必要性．当O1，O2，E，F四点共圆时，即有O1O2EEFO1180．(*)

由B，C，E，F共圆，有AFE=ACB，又MO2E2MCA，BFO1ABM，则由（*）式，有ACBMCA2MCA90ABM90ACB180．

于是，得ABM=MCA，即知Rt△BMF∽Rt△CME． 从而有

MFMEAMcosBAMcosC，即有． BFCEABAMsinBACAMsinCABcosCACcosB2RcosA，其中R为△ABC的外接圆半径．

sinBcosCcosBsinC故AMACcosA2RcosA．

sinB从而，点H与M重合，即M为△ABC的垂心．

（2）加图24-6，当D，E，F分别为内切圆与边BC，CA，AB的切点时，密克尔圆CED均过△ABC的内心，此时密克尔点M即为其内心． 另一方面，当H是△ABC的垂心时，易得AHAFE、BDF、

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APWFEOMBQU图24-6VKCD

联结RE、RD、RA、RB，则ERD=ECD=ACB=ARB，故ARE=BRD． 又由REC=RDC，有AEB=BDR，从而△ARE∽△BRD．从而，

ARAEAF，即知RF平分BRBDBFARB．

由上即知，RF过△ABC的外接圆O的AB的中点W．

同理，PD，QE分别平分BPC，CQA，且分别过O上弧BC，CA的中点U，V．又PU，QV，RW分别过D，E，F点，则只需证明DU，EV，FW三线交于一点． 由于MDBC，OUBC，则MD∥OU． 同理，ME∥OV，MF∥OW．

MDMEMFR． OUOVOWr若设直线OM与UD交于点K，则由上述比例式知，直线VE，WF均过点K． 故直线PD，QE，RF三线共点于K．

设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R，r，则

定理4在完全四边形ABCDEF中，设M为其密克尔点，则

（1）当A，B，D，F四点共圆于O时，M在直线CE上，且OMCE；

（2）当B，C，E，F四点共圆于O时，M在直线AD上，且OMAD，又M为过点D的O的弦的中点．

证明（1）设△BCD的外接圆交CE于M，连结DM，则DMC=ABD=DFE，即知E，F，D，M四点共圆，如图24-7．

AOBMC图24-7FDE

从而，M为完全四边形的密克尔点，故M与M重合．

设O的半径为R，则CMCECDCFCORCOR=CO2R2．同理，EMECEO2R2．

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于是，CO2-EO2=ECCMEM=CMEMCMEM=CM2-EM2，由定差幂线定理，即知

OMCE．

（2）如图24-8，设△BCD的外接圆交直线AD于M，则ADAMABACAFAE，即知E，F，D，M四点共圆．

ABFDM'MEN图24-8OC

从而，M为完全四边形的密克尔点，故M与M重合．

联结CO，CM，EO，EM，设N为AM延长线上一点，则

CME=CMNNME=CBECFE=2CBE=COE，即知C，E，M，O四点共圆．

1OMNOMCCMNOECCOE90．

2故OMAD，且M为过点D的O的弦的中点．

由图24-7，我们又可得如下结论（类似地也可由图24-8得到有关结论）．

结论8若点D为△ACE的三边CE，EA，AC上的点M，F，B关于该三角形的密克尔点，设O为密克圆ABF的圆心，则OMCE．

下面，介绍定理4的两个推论，这也是定理2的应用实例．

推论1在完全四边形ABCDEF中，凸四边形ABDF内接于O，AD与BF交于点G，则CDB，CFA，EFD，EAB，OAD，OBF六圆共点；CFB，CDA，GAB，GDF，OBD，OFA六圆共点；EFB，EAD，GBD，GFA，OAB，ODF六圆共点． 证明如图24-9，设M为完全四边形ABCDEF的密克尔点，则由定理4（1），知M在CE上，且OMCE． 于是，C，M，D，B及M，E，F，D分别四点共圆，有BMO=90BMC90BDC 90180BDFBDF90

11180BOF9090BOF

22BFO．

AOBLGDCM图24-9NFE

从而，知点M在OBF上．

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同理，知点M在OAD上．

由密克尔点的性质，知CDB，CFA，EFD，EAB四圆共点于M．故以上六圆共点M．

同理，设N为完全四边形CDFGAB的密克尔点，则CFB，CDA，GAB，GDF，OBD，OFA六圆共点于N．

设L为完全四边形EFAGBD的密克尔点，则EFB，EAD，GBD，GFA，OAB，ODF六圆共点于L．

推论2在完全四边形ABCDEF中，凸四边形ABDF内接于O，AD与BF交于点G，CDB与CFA，CDA与CFB，OBD与OFA，ODA与OBF，EAB与EFD，EAD与EFB，OAB与

ODF，GAB与GDF，GBD与GFA共九对圆的连心线分别记为l1，l2，l3，…，l9，则l1，l2，l3，

l4，OC五线共点于OC的中点；l4，l5，l6，l7，OE五线共点于OE的中点；l3，l7，l8，l9，OG五线

共点于OG的中点．

证明如图24-10，设M，L，N分别为完全四边形ABCDEF，EFAGBD，CDFGAB的密克尔点，则OMCE于M，OLEG于L，ONCG于N．

Al7l2l4BLl1GDl5M图24-10l8Ol9Nl3l6FCE

由推论1中证明，知OM是ODA写OBF的公共弦，则l4是OM的中垂线，从而知l4过OC的中点，l4也过OE的中点．

因CN是CDA与CFB的公共弦，则l2是CN的中垂线，而ONCN，从而l2过OC的中点；由CM是

CDB与CFA的公共弦，则l1是CM的中垂线．又OMCM，则l1过OC的中点；由ON是OBD与OFA的公共弦，则l3是ON的中垂线．又ONCN，则l3过OC的中点，故l1，l2，l3，l4，OC五线共

点于OC的中点．

同理，注意到LE，ME，OL分别是EAD与EFB、EFD与EAB，OAB与ODF的公共弦，推知l4，l5，l6，l7，OE五线共点于OE的中点．

注意到GN、LG、OL、ON分别是GAB与GDF，GBD与GFA，OAB与ODF，OBD与OFA的公共弦，推知l3，l7，l8，l9，OG五线共点于OG的中点．

下面，运用上面的定理、结论、推论处理一些问题．

例1（2007年全国高中联赛加试题）在锐角△ABC中，ABAC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点，过P作PEAC，垂足为E，作PFAB，垂足为F．O1，O2分别是△BDF，△CDE的外心．求

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证：O1，O2，E，F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心．

事实上，此即由定理3（1）即证． 例2（2007年第39届加拿大数学奥林匹克题）△ABC的内切圆分别切三边BC，CA，AB于点D，E，F，

△ABC的外接圆O与△AEF的外接圆O1，△BFD的外接圆O2、△CDE的外接圆O3分别交于点A和P，B和Q，C和R．求证：（1）O1，O2，O3交于一点；（2）PD，QE，RF三线交于一点． 事实上，此即由定理3（2）即证． 例3（2009年土耳其数学奥林匹克题）已知圆和直线l不相交，P，Q，R，S为圆上的点，PQ与RS，PS与QR分别交于点A，B，而A，B在直线l上．试确定所有以AB为直径的圆的公共点．

证明如图24-11，由定理4（1），知△ASP和△BRS的外接圆交于点K，且K在边AB上．设圆的圆心为O，半径为r，则OKAB．

QΓPOSRlAK图24-11B

注意到圆幂定理，有BO2r2=BOrBOr=BSBPBKBABKBKAKBK2AKKB． 从而，AKKBBO2BK2r2OK2r2．

对任何一对满足条件的点{A，B}，因为O，K．r是固定的，所以，以AB为直径的圆一定过直线OK上的两点，每点到直线l的距离为AKKB的几何平均值，即为OK2r2．

例4（2009年第35届俄罗斯数学奥林匹克题）A1和C1分别是平行四边形ABCD的边AB和BC上的点，线段AC1和CA1交于点P，△AA1P和△CC1P的外接圆的第二个交点Q位于△ACD内部．证明：PDA=QBA．

证明如图24-12，由于△AA1P和△CC1P的外接圆的第二个交点为Q，则由定理2知，Q为完全四边形BC1CPAA1的密克尔点，从而知A1，B，C，Q共圆，有QBAQBA1QCA1．①

AA1PBC1图24-12A2QDC

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由于Q位于△ACD内，可设直线CQ交AD于A2，由DA2QQCC1APQ1，知点A2在

APQ上．

联结A2P，注意A，A1，P，A2共圆及AB∥DC，有A2PC=A1AA2=180-ADC．即知A2，P，C，

D四点共圆，从而，PDAPDA2PCA2QCA1．②

由①，②知，PDAQBA．

例5（IMO26试题）已知△ABC，以O为圆心的圆经过三角形的顶点A，C且与边AB，BC分别交于另外的点K，N．△ABC和△KBN的外接圆交于点BM．试证：OMB是直角．

证明如图24-13（1），若三个圆的圆心共线时，△ABC为等腰三角形BABC，此时，R与M重合．因此，三个圆的圆心必不共线，如图24-13

PAMBNKAMKOOC(1)图24-13(2)BNC

（2）．不妨设它们的根轴交于点P．

在完全四边形CAPKBN中，显然M为其密克尔点，从而OMPB． 故OMB是直角．

例6（1992年CMO试题）凸四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，△ABP，△CDP的外接圆相交于P和另一点Q，且O，P，Q三点两两不重合．试证：OQP90．

证明由题设，O，P，Q三点两两不重合知，四边形ABCD必不为矩形（困圆内接平行四边形必为矩形），则不妨设ABDC，此时，可设直线BA与直线CD交于点S．

在完全四边形SABPCD中，点Q为其密克尔点，于是OQSP，故OQP90．

SADOBQC图24-14 例7（IMO35试题）△ABC是一个等腰三角形，ABAC．假如 （i）M是BC的中点，O是直线AM上的点，使得OB垂直于AB； （ii）Q是线段BC上不同于B和C的任意点；

（iii）E是直线AB上，F在直线AC上，使得E，G和F是不同的三个共线点．

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求证：OQ垂直于EF当且仅当QEQF．

证明如图24-15，对△AEF及截线BQC应用梅涅劳斯定理，

AFQBEMO图24-15C

ABEQFC1． BEQFCA因ABAC，则EQQFBEFC．

有

由题设对称性知A，B，O，C四点共圆．

于是，OQEF，注意OBABB，E，O，Q四点共圆O为完全

四边形ABEQCF的密克尔点Q，O，C，FF四点共圆．从而BEFCBEOQ与QOCF为等圆，且EO与直径OQEF．

为等圆．且EO为直径∞0Q上EF．

例8（2010年全国高中联赛题）如图24-16，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．

AOBHKEDPM图24-16GCQN

求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共圆．

证明用反证法，若A，B，D，C四点不共圆，设△ABC的外接圆O与直线AD交于点E，直线CE交直线AB于点P，直线BE交直线AC于点Q．

由定理4（2）知，完全四边形PECKAB的密克尔点G在直线PK上，且OGPK；完全四边形QCAKBE的密克尔点H在直线QK上，且OHQK．联结PQ．

于是，注意到G，H分别为过K的圆的弦的中点，知O，G，Q及O，H，P分别三点共线，从而知点O是△KPQ的垂心，即有OKPQ．

由题设，OKMN，从而知PQ∥MN，即有

AQAP． QNPM ①

对△NDA及截线BEQ，对△MDA及截线CEP分别应用梅涅劳斯定理，有

NBDEAQ1及BDEAQNMCDEAP1． CDEAPM ②

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NBMCNDMD．再应用分比定理，有，即知△DMN∽△DCB． BDCDBDDC于是，DMN=DCB，即知BC∥MN，从而OKBC，得到K为BC的中点与已知矛盾． 故A，B，D，C四点共圆． 例9（2007年国家集训队测试题）凸四边形ABCD内接于O，BA，CD的延长线相交于点H，对角线AC，由①．②得

设O1O2与OG相交于点N，射线HG分别交O1，BD相交于点G，O1，O2分别为△AGD，△BGC的外心，O2于点P，Q．设M为PQ的中点，求证：NO=NM．

证明如图24-17，过点G作GTO1G，则知TG切O1于G，

HPAO1EGTOO2BM'MFCDQ图24-17

即有AGT=ADG=ACB，从而TG∥BC． 于是，O1GBC．而OO2BC，则知O1G∥OO2． 同理，OO1∥GO2．即知O1OO2G为平行四边形． 于是，N分别为OG，O1O2的中点．

由定理4（2）知，完全四边形HABGCD的密克尔点M在直线HG上，且OMHG．

设E，S，F分别为点O1，N，O2在直线HG上的射影，则知E为PG的中点，F为GQ的中点，S为EF的中点，且S为GM的中点．

于是，PM=PG+GM2EG2GS2ES， QM=QGGM2FG2GS=2ES．

1从而M为PQ的中点，即知M与M重合，亦即知OMGM．故NM=OGNO．

2练习题二十四

1．设AB是圆的直径，在直线AB的同侧引射线AD和BD相交于点C．若AEBADB=180，则ACADBCBCAB2． 2．（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P，Q，两对角线交于点R，则圆心O恰为△PQR的垂心．

3．（1990年全国高中联赛题）四边形ABCD内接于O，对角线AC与BD交于点P，△PAB、△PBC、

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△PCD、△PDA的外心分别为O1，O2，O3，O4．求证：O1O3，O2O4与OP三线共点．

4．（2006年中国国家集训队测试题）四边形ABCD内接于O，且圆心O不在四边形的边上，对角线AC与

BD交于点P，△OAB、△OBC、△OCD、△ODA的外心分别为O1、O2、O3、O4．求证：O1O3、O2O4与OP三线共点． 5．（1997年CMO试题）四边形ABCD内接于圆，AB与CD的延长线交于P点，AD，BC的延长线交于Q点．由点Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F．求证：P，E，F三点共线．

6．（2002年IMO43预选题）已知圆S1与圆S2交于P，Q两点，A1，B1为圆S1上不同于P，Q的两个点，直线A1P，B1P分别交圆S2于A2，B2，直线A1B1和A2B2交于点C．证明：当A1和B1变化时，△A1A2C的外心总在一个定圆上． 7．（1时为IMO46试题）给定凸四边形ABCD，BCAD，且BC不平行于AD，设点E和F分别在边BC和AD的内部，满足BEDF，直线AC和BD相交于点P，直线EF和BD相交于点Q，直线EF和AC相交于点R．求证：当E和F变动时，△PQR的外接圆经过点P外的另一个定点．

8．（2005年国家集训队训练题）已知E，F是△ABC边AB，AC的中点，CM，BN是边AB，AC上的高，联结EF，MN交于点P．又设O、H分别是△ABC的外心、垂心，联结AP、OH．求证：APOH． 9．（《数学教学》2005（8）数学问题652）在△ABC中，AD为BC边上的中线，BE，CF分别为AC，AB上的高，设BE，CF交于点M，直线BC，EF交于点N．求证：MNAD． 10．（2009年巴尔干地区数学奥林匹克题）在△ABC中，点M，N分别在边AB，AC上，且MN∥BC，BN与CM交于点P，△BMP和△CNP的外接圆的另一个交点为Q．证明：BAQ=CAP．

11．（2010年国家集训队测试题）设凸四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F，△BEC的外接圆与△CFD的外接圆交于C，P两点．求证：BAP=CAD的充分必要条件是BD∥EF． 12．（2007年国家队集训题）锐角△ABC的外接圆在A和B处的切线相交于点D，M是AB的中点．证明：ACMBCD． 13．（2008-2009年斯洛文尼亚国家队选拔试题）在锐角△ABC中，点D在边AB上，△BCD，△ADC的外接圆分别与边AC，BC交于点E，F．设△CEF的外心为O．证明：△ADE，△ADC，△DBF，△DBC的外心与点D，O六点共圆，且ODAB． 14．（IMO46试题）给定凸四边ABCD，BCAD，且BC不平行于AD，设点E和F分别在边BC和AD的内部，满足BEDF．直线AC和BD相交于点P，直线EF和BD相交于点Q，直线EF和AC相交于点R．证明：当点E和F变动时，△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点．

15．（2006年IMO预选题）已知A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，△AB1C1，△BC1A1，，A3，B3，C3分△CA1B1的外接圆与△ABC的外接圆分别交于点A2，B2，C2（A2A，B2B，C2C）别是A1，B1，C1关于边BC，CA，AB的中点的对称点．证明：△A2B2C2∽△A3B3C3．

16．（2005年第31届俄罗斯数学奥林匹克题）设△ABC的三个旁切圆分别与边BC，CA，AB相切于点A，

B，C．△ABC，△ABC，△ABC的外接圆分别与△ABC的外接圆再次相交于点C1，A1，B1，证

明：△A1B1C1与△ABC的内切圆在各自三条边上的切点所形成的三角形相似．

17．（2008年国家集训队测试题）设P，Q，R分别是锐角三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，使得△PQR是正三角形，并且它还是这样的内接正三角形中面积最小的，求证：点A到QR的垂线、点B到RP的垂线和点C到PQ的垂线，这三条直线共点．