一道韩国数学奥林匹克题的新解及推广

在AABC中，厶B弄AC, AABC的内切圆。0与 与PC相交于由引理1得F、E调和分割P、°.于 是直线DX、DY调和分割直线DA^DQ,设直线BC与

BC、CA、AB的切点分别为D、E、F.记AD与的不

同于点D的交点为P•过点P作AD的垂线交EF于 点Q,X^Y分别是AQ与直线DE、DF的交点.求证：

AQ交于尺若证得点R为无穷远点，即证明BC //

@4,则竞赛题获得证明.下面，我们采用可以进行推广的证明方法，证明

A是线段的中点.本刊先后在文［2-3］中，介绍到有关射影几何 知识，我们可以用这些知识来研究竞赛题，给出新的 证明方法，并将竞赛题进行推广.BC // QA.此时，由AD丄PQ,知直线PQ必过O0的直径

DG的端点G.现给出仿射推广的证明方法.证明：如图2建立坐标系，设圆QO的方程为/

定义⑵ 一直线上排列的4点A、B、P、Q,若满足里=_塑,则称点调和分割点P、Q.+ y2 =)(r为QO的半径)，则点D、G坐标为点 £)(0, - r) ,G(0,r).设点 A(%0,y0) (x0 HO),则直线PB QB特例 当点p为中点，则点Q为无穷远点；反

4D方程为Z：y = kx - r,其中A;线''求得点P(誅'給)色上二由00和直之，也成立.引理1⑷ 如图1.完全四边形ABCD的两对角

，即直线GP的方程为线AB、CD交于点P,且AB^CD分别交对角线MN于

Q、R,则点A/调和分割P、Q.推论1 当平行NM时，则P为的中点. 引理2⑶ 过点P(x0,y0)引二次曲线八k2 r - ry =局％ +r,其中俎=* ；］k2 +=¥由于2bxy 4- cy2 4- 2dx + 2ey + f 二 0 的两切线 PE,PF 切

厂于E、F两点，则切点弦EF的方程为haxGx +

的两切线4F和4E,则由引理2,知切点弦FE的方程 为l2-xQx + yoy = r2.由直线£和直线仏，得点Q的y6(%光 + 久0了)+ 00丁 + + %) + e(y0 + y) +/ =坐标满足y = kiX + r = ¥上如+「=三A

0.D

Q丨/ X+ r = y。.即直线QA平行于％轴.竞赛题获证.现利用仿射变换，给出考题的推广.A'a尤命题1 在△佔C中，厶B鼻厶C, AABC的内

BN\"r m q图切圆00(-直径为DG)与BC、CA、AB的切点分别

为D、E、F.记AD与00的不同于点D的交点为P.

图2连接PG交EF于点Q,X,Y分别是AQ与直线DE、DF

竞赛题分析:如图2,由于QO内切于 MBC三

的交点.求证皿是线段的中点.边 BC、CA、AB 于 D、E、F,则 BD = BF,AF = AE,CE命题2 在厶ABC中，ZB # AC, AABC的内

=CD,由赛瓦定理⑸，得器.晋.篇=1,即AD、切椭圆「(一主轴为DG)与BC、CA、AB的切点分别 为D、E、F(其中切点D为椭圆一顶点).记AD与r

BE、CF交于一点、I.的不同于点D的交点为P•连接PG(G为椭圆另一顶*此文为陕西省特色专业建设项目、安康学院重点学科建设项目部分成果.P D 件 件 使\"用d f F a c t 试r 用 用r Qwww.fineprint.cn• 50 •中学数学研究2019年第8期-b1 点，)交EF于点Q,X^Y分别是AQ与直线DE、DF的 交点.求证:A是线段的中点.,

- yoy , ho - yoy - yoyy0 +b现在，给出命题2的证明.证明：(1)证明AD、BE、CF交于一点.=—= To-即直线QA平行 Jo + 6 Jo + ° Jo + o于％轴.在证明(1)中，又得到结论：命题3 在△佔C中，厶B鼻厶C, AABC的内 切椭圆r与BC、CA、AB的切点分别为D、E、F.则直

椭圆幕定理®\" 设点P为不在椭圆「(其中 椭圆中心为点。)上的一点，过点P的直线PAB、

PCD分别与椭圆相交于点A、B,C、D,EOF与GOH

分别为椭圆『中平行于两直线pabpcd的直径.证 明 \\I PA \\丨 -\\•丨 PB\\PBI = \\ EF\\2 明：丨PC I・丨PD I = | GH\\2'、线DE、DF调和分割直线D4、DC.同时，对于三角形的内切圆具有仿射不变性.推论2 在△ABC中，关于内切圆O。,若。。

如图2.过椭圆中心点0,分别作平行于△ABC 三边AB、BC、CA的直径为必、如必，则由椭圆無定与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,则具有仿射不变性:理，得到\\ AE\\ -\\ BF\\ -I CD \\ AF\\ -\\ BD\\ -I CE\\° 4] ° “2 _ ] dT • d2 • d3 ，

AE • BF • CD爲爲二盂=1oAD、BE、CF交于一点、.于是由赛瓦定理，得AD、BE、CF交于一点I.即三角形关于内切圆的赛瓦定理，在三角形关 于内切椭圆的赛瓦定理依然成立.2 2

(2)证明 BC // QA.如图2建立坐标系，设椭圆r的方程为筈+ •

ab2参考文献=1,则顶点坐标为点。(0, - 6),6(0,6).设点4(%0』0)(%0工0),则直线4D方程为Z：y = kx -b,

其中％ = \"^2由:T和直线2,求得点P(£y[1] 朱家节.几道国外竞赛题的解析法证明[J].中等数学， 2009(10) ：12 -14.[2] 赵临龙.模型、联想、转化:数学解题创新的关键点一 2009年全国高中数赛陕西赛区预赛一道几何题的

证明[J].中学数学研究(江西),2018(07) ：33 -34.4.兽#),即直线GP的方程为占:y = k1X+b,其[3] 赵临龙.一道高考理科数学题推广的进一步研究[J].中

学数学研究(江西),2018(11):27 - 29.[4] 周振荣、赵临龙，高等几何[M].华中师范大学出版社,

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2k J b a + b2ka22014.[5] 赵临龙.对偶原理下的Menelaus定理与Ceva定理的统

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xox yoy弦FE的方程为从号+辔=1.由直线占和直线％,a b62■的y坐标满足\"3+6=点.__ 12 2[6] 赵临龙.二次曲线“壽定理”的一个几何模型构建[J].福

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