第１６卷第４期 ２Ｏｌ３年７月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．１６，Ｎｏ．４ Ｊｕ１．，２０１３ Ｌ — ｌ一 ＋ ［ １一 一道大学生数学竞赛题的另解 苗秀花，苑金臣 （中国地质大学（武汉）数学与物理学院，湖北武汉４３００７４） ∑ ∑㈦ ∑ ｒＬ ｅ ＋ ＋ ｅ —ｅ ｚ ｎ —强 ｅ 一 —摘要 针对一道有关级数与极限的苏联大学生数学竞赛试题，运用泰勒展开式，对所求极限进行转换，并结 ｎ 合级数与积分的关系，给出一种新解法． 关键词 极限；阿贝尔变换；泰勒展开式 中图分类号０１７３ 文献标识码 Ａ 有一道关于级数与极限的苏联大学生数学竞赛 试题，引如下文例１，原解虽构思巧妙、简洁明晰，但 由于大多数工科学生对于原解所用阿贝尔变换并不 熟悉，因此对此题理解起来有一定难度．本文拟给出 此题的一个新解法． 妇求极限 ． ＋Ｕ ｎ一 １ 解 记 一 一 １＋（ １一 １）＋（ １一 １）＋…一 一 ＋ （ 一 ）一 ｅ—ｚｌｎ（２ ）一 Ｉｎ（１＋去 ］一 （ ［１一ｅ ｎ（１＋ ］， 利用泰勒展开式，得 １一ｅ— ｌｎ（１＋去）一 ｚｌｎ（１＋ ）一专［一 ｌｎ（１＋ ）］ ｅ ，（２） 其中＆， 满足 一ｚｌｎ（１＋１）＜＆． ＜Ｏ， 于是式（１）变为 ９（ｘ）＝：＝一１＋ ｛ｋ ＝１ ’ （１＋ ）… 一…收稿日期：２０１２—１１－１４；修改日期：２０１３—０３—１１ 作者简介：苗秀花（１９７８－－），女，山东曹县人，硕士，讲师，从事概率论 与数理统计研究．Ｅｍａｉｌ：ｗｏｓｈｉｍａｏ６１５２＠１６３．ｃｏｍ 苑金臣（１９４１－－），男，山东郓城人，教授，从事函数论研究． Ｅｍａｉｌ：ｘｘｙｕａｎ＠ｃｕｇ．ｅｄｕ．ｃａ 抖 ］ 文章编号 １００８—１３９９（ ２０１３）０４—００６３—０２ ＩＩ 一ｘ２￣ ｎ［１（ ＋ ２ ”一 一１＋∑ Ｉｎ（１＋ ）ｅ—ｈ∞ 一… ＝１ 一 ｚ 厂，ｌｍ １＋１）１ ｅ＿ｘｌｎ（２ｋ）＋￥ｈ，ｘ １． （３） 若记 一丢客［ ＋ ， 由于一ｘｌｎ（２ｋ）＜０， ， ＜１，且 ［ ｎｃ ＋ ≤壶， 所以 ０＜ ）≤ 壶＜ １， 于是式（３）可以写为 （ｚ）一一１＋∑ｚ一 １ ｌｎ（１＋￣ｋ）ｅ－ｘｌ“‘ 一ｘ２Ａ（ｘ）．（４）再次对 （ ）一ｌｎ（１＋￡）使用用泰勒展开式．因为 ㈣一南， ：：：一 ， （￡）一九（Ｏ）＋ （Ｏ）￡＋ １ （＇７）￡２， 其中 位于０和￡之间，若令 一 ≤ １，则有 １ｎ（１＋ ）一 １１ 一 １ ｛ ’ 其中０＜ ＜１，于是式（４）变为 （ ）＝＝：～１＋ ｌ１ Ｌ．磊ｅ厶Ｋ ＿ 一…一 （ ）。 ］－－ｘＺＡｃ ㈤ 。。， 徊 Ｌ 一 （ ） ］， ６４ 高等数学研究 ２０１３年７月 则 ｏ＜ ）＜ １， ＋．ｆ－毒ｄ —ｚ 从而有 于是式（５）变为 专≤ ｚ＋ ）－１・ （８） 结合式（７）和式（８）可得 ）一一１＋ 亥 猢一ｘＢ（ｘ）一ｘ２Ａ（ｘ）一 ＋ 轰一柏（ 一。Ａ（ ＝ 寿 ・ 另由此前分析可知 ｌｉｍｘＢ（ ）一ｌｉｍｘ Ａ（ｚ）一０， ．． ＿１＋六 寿一柏（ｚ）一 Ａ（ ・（６） 把 寿与积分ｊ 专出进行比较，因 】 一 １ ’ Ｊ＇ 所以 Ｊ＇ Ｘ 故从式（６）可知 （ｚ）一１＋专一丢． 上述解法多次应用泰勒展式，将所求极限转换 专＞ 毒 １为其它极限，再借助级数与无穷积分的关系，求得极 一（＋ｚ音１ ） Ｉ一ｌ １ 一＿１， 。 （… ７） 限．一个问题或有多种解法，各有特点．而本文的解 法所用工具和方法也是工科学生所能理解和接受 的，也容易掌握． 又因为当ｍ≥２时，有 Ｊ． Ｘ 参考文献 所Ｄｊ ［－１－Ｉ萨多夫尼契．大学生数学竞赛题解汇集［Ｍ］．朱尧辰， ＾一１忌寿 熹 １１＋ 寿＜ 。 忌 、 Ａ ．Ｊ译．上海：科学普及出版社，１９８２：１８３—１８５． Ａｎｏｔｈｅｒ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ ａ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ａｎ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉ０ｎａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｓｔｕｄｅｎｔｓ ＭＩＡ０ Ｘｉｕｈｕａ。 ＹＵＡＮ Ｊｉｎｅｈｅｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，４３００７４，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ａ ｌｉｍｉｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｐｐｅａｒｅｄ ｉｎ ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｓｏｖｉｅｔ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｓ．Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｓｅｒｉｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｏｕｒ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ，Ａｂｅｌ ｔｒａｎｓＩｏｒｍ，Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●０●ｏ●＜＞●＜＞●ｏ●ｏ● 《高等数学研究》版权声明 为适应我国信息化建设的需要，扩大刊物影响，拓宽信息交流渠道，本刊已加入“中国知网 ＣＮＫＩ系列期刊数据库”、“中国核心期刊（遴选）数据库”（万方数据——数字化期刊群）等数据库． 本刊已许可以上数据库以数字化方式复制、汇编、发行、并通过信息网络传播本刊所载文章的全文 信息．稿件一经刊登，将在本刊稿酬中一次性支付著作权使用报酬（包括印刷版、光盘版和网络版等 各种使用方式的报酬）．作者向本刊提交文章的行为即视为同意我刊上述声明． 高等数学研究编辑部
