在数学的天地里

知道什么。——毕达哥拉斯 第一章 有理数

1.1喜洋洋开始学习喽：认识正数、负数、零

我要边读、边想、边做哟！不懂的，我会问的！ 1.看图，理解正数、负数、0的意义。

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2.我明白了：比海平面高的地方记作正数，比如珠穆朗玛峰的高度是+8844.8米；比海平面低的地方记作负数，比如吐鲁番盆地的高度是-155米；海平面的高度就是0米了，因为，它不能比自己高或低啊！哈哈，我明白了，你呢？ 我想知道密云的海拔高度是多少呢？我可以去百度查一查了！

3.这三个温度计都表示多少度呢？我试着读一读，填一填！

用正负数对应表示： ________ ___________ _________

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4.我知道：科学家把水结冰的温度定为0℃。读作：0摄氏度。

零上4摄氏度

零下4摄氏度

问题：上海零上4℃ ，北京零下4℃都记作 4℃行吗？为什么？应该怎样表示？

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科学家规定，比 0℃低的温度用带“－”号的数表示！

我知道：零下4℃记作－ 4℃，读作负四摄氏度； 4℃记作+4℃或4℃ ，读作正四摄氏度或四摄氏度。 5.

我知道什么是正数、负数了！

正数：比零大的数叫做正数。 负数：比零小的数叫做负数。

零既不是正数也不是负数。为什么呢？ 另外：正数和负数是表示具有相反意义的量。也是相对而言的，并非绝对不变的！相对而言就是根据规定了什么情况为0，以此作为正负数的界限的。

像-4、-115、-7.2、-5这样的数叫做负数,读作：负4、负11.5、负7.2、负5，这些数都是比0小的数。我还能写出不一样的负数来：__________________________________

像＋4、198 、+5.7这样的数叫做负数，读作：正4、正198、正5.7，这些数都是比0大的数，我也能写出不一样的正数来：_________________________________________ 我可不可以不写正负号呢？0算正数还是算负数呢?

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我想总结一下了：今天好像学了好多数 ：正数、负数、0，怎么没看到有理数呢？难道，它们都是有理数？ 我感觉，正数也好像有好多种啊，有带正号的整数，还有带正号的分数，还有带正号的小数，还有带正号的百分数；负数也是这样，有带负号的整数，还有带负号的分数，还有带负号的小数，还有带负号的百分数；就是没有带着正负号的0啊，哦，对了，零既不是正数也不是负数，差点忘了！那零到底是什么数？想起来了，零是整数，也是自然数，那它是是有理数吗？

这么多的数还能不能按别的方法分类呢？看我多聪明啊，肯定想得出来新方法！ 暂时写下我的新分类方法：________________________________________ 还有什么可以奇思妙想的知识呢？我相信我也会有小发明的！

参考知识：

1、数0既不是正数，也不是负数。

2、正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 3、有理数的分类：

典型例题

知识点一：正、负数的意义

例1：如果规定前进、收入为正，亏损、公元前为负，那么下列语句错误的是（ ） A. 前进－18m的意义是后退18m B. 收入－4万元的意义是亏损4万元 C. 盈利的相反意义是亏损

D. 公元－300年的意义是公元后300年 思路分析：

1）题意分析：本题涉及到的知识点是相反意义的量，而相反意义的量是成对出现的。 2）解题思路：正、负数仅是为了用来区分具有相反意义的量，哪种意义为正或负，是可以任意选择的。

解答过程：选项A，规定前进为正，则后退为负，前进－18m表示后退18m，故A正确；选项B，规定亏损为负，则收入－4万元表示亏损4万元，故B正确；选项C正确，盈利和亏损具有相反意义；选项D，规定公元前为负，则公元－300年表示公元前300年，故D错误。本题选D。

解题后的思考：只有一对具有相反意义的量才能用正数、负数来表示，此时，把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它意义相反的量为负，用负数表示。

例2：在下面四组数：①－3，2.3，；②，0，2；③，0.3，7；④，，2中，三个数都不是负数的一组是（ ）

A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 思路分析：

1）题意分析：对“不是负数”要有一个正确的理解，“不是负数”表示“是正数或0”。

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2）解题思路：判断正、负数的关键是看它是否大于0，大于0的数是正数，正数前面添上“－”号是负数。

解答过程：在所给四组数中，②③④三组中的数都是“正数或0”，都不是负数，故选D。也可用排除法，“都不是负数”表示不能有负数，所以排除①。

解题后的思考：本题主要考查对数的分类，一定要注意：0既不是正数也不是负数。不是负数意味着是正数或0，本题易错选C，漏掉只包含正数和0（都不是负数）的第②组。

例3：在一次数学测验中，小明得了75分，记为＋15分，张强和王东分别得了90分和55分，他们的成绩应怎样记呢？

思路分析：

1）题意分析：小明得了75分，记为＋15分，说明他超出了标准15分，可知当考到60分时，记为0，超过60分的记为正，不足60分的记为负。

2）解题思路：张强得了90分，与60分相比，超出30分，记为＋30分；王东的成绩是55分，与60分相比，少了5分，记为－5分。

解答过程：张强的成绩记为＋30分；王东的成绩记为－5分。

解题后的思考：在用正、负数表示具有相反意义的量时，通常规定某一数值为标准，超出（或不足）一方记为正时，则不足（或超出）的一方记为负，主要是看它们与标准的差距是多少。

小结：本题组主要考查正、负数的意义，学习时应注意以下几点：

1、一个数前面的“＋”、“－”可以看作是它的性质符号，“＋”号通常省略，“－”号不能省略。

2、思维误区：①只有带“＋”号的数是正数，②凡不带“－”号的数都是正数。

3、在利用正、负数解决实际问题时，要充分考虑数的实际意义，合理运用各种表达方式，如图示法可直观表达各数在具体问题中的意义。

知识点二：有理数的分类

例4：下列说法中正确的是（ ）

A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B. 一个有理数不是正数就是负数 C. 一个有理数不是整数就是分数 D. 以上说法都正确 思路分析：

1）题意分析：本题考查有理数的意义及分类方法。

2）解题思路：有理数的分类可按整数、分数分类（二分法），也可按正有理数、零、负有理数分类（三分法）。

解答过程：在选项A中，把两种分类结果放在一起，分类重复，不正确；一个有理数可能是正数，可能是负数，也可能是0，所以选项B错误；有理数分为整数和分数，0包括在整数中，所以选项C正确。

解题后的思考：（1）有理数的分类标准必须一致，即要么按二分法，分成整数和分数，要么按三分法，分成正有理数、零、负有理数，二者不能混为一谈；（2）无论按哪一种分类标准分类，都必须做到分类结果不重不漏，即任意一个有理数都一定属于某一类，并且只属于这一类。

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例5：将下列各数填在相应的数的集合里。

－3，0，－2，7，，，－，－3.14，＋8 848，－15%。 正整数集合{ „}； 负整数集合{ „}； 负数集合{ „}； 负分数集合{ „}； 非负数集合{ „}； 自然数集合{ „}。 思路分析：

1）题意分析：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，数的集合可以用椭圆形的圈表示，也可以用大括号表示，用这两种方法表示数时，若这个数集中有无数多个数时，要加“„”号。

2）解题思路：本题中的“非负数”是指正数和零；自然数是指正整数和零。 解答过程：

正整数集合{7，＋8 848„}； 负整数集合{－2„}；

负数集合{－3，－2，－，－3.14，－15%„}； 负分数集合{－3，－，－3.14，－15%„}； 非负数集合{0，7，，，＋8 848„}； 自然数集合{0，7，＋8 848„}；

解题后的思考：（1）易将正整数集合和自然数集合混淆，0是自然数，0既不是正数也不是负数；（2）“非负数”指不是负数的意思，即正数和0；很多同学容易忽略掉0。

例6：下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请按要求设计方案： （1）请在每个圈内填入5个数，其中有3个既是负数又是整数，这3个数应填在哪里？ （2）你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？ 思路分析：

1）题意分析：本题是一道方案设计型的题目，主要考查有理数的分类。

2）解题思路：负数分为负整数、负分数，整数分为正整数、零、负整数。既是负数又是整数的数是负整数。所以这两个集合的重叠部分表示的是负整数。

解答过程：（1）这两个集合的重叠部分既是负数又是整数，如下图所示：

（2）这两个圈的重叠部分表示负整数集合。

解题后的思考：本题设计新颖，且具有一定的开放性，填写方案不唯一。弄清楚两个圈的重叠部分表示什么数是解决本题的关键。

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小结：有理数与小学学过的数的区别：

（1）整数和分数：在小学数学中整数仅包括自然数，分数也只有正分数。学习了有理数后，引进了负数，整数不只是正整数和零了，还有负整数，分数也有正分数和负分数之分。（2）奇数和偶数：奇数和偶数的范围扩大了，奇数包括正奇数和负奇数，偶数也包括正偶数、负偶数和零三部分。（3）数“0”的意义发生了变化：学习有理数后，“0”就不仅只表示“没有”了，也不再表示最小的数了，“0”既不是正数，也不是负数，而是介于正数和负数之间的中性数。

提分技巧

1、熟练掌握有理数的分类方法是解决有理数问题的关键，运用时要注意以下两点：（1）不重复，即同一事物不能归纳到两个类别中；（2）不遗漏，即某一事物不能在类别中找不到。如把有理数误分成正有理数和负有理数，这种方法会把有理数中的零给漏掉。

2、几个关于有理数的数学用语：我们通常把正整数和零统称为非负整数，也叫自然数；负整数和零统称为非正整数；正有理数和零统称为非负有理数；负有理数和零统称为非正有理数。

预习导学

数轴、相反数和绝对值（1.2.2－1.2.4）

一、预习新知

1、什么是相反意义的量？ 2、有理数如何分类？

二、预习点拨

探究与反思

探究任务一：数轴的画法和作用

【反思】（1）数轴是一条怎样的直线？ （2）怎样用数轴上的点表示有理数？ 探究任务二：利用数轴理解相反数的意义

【反思】（1）数轴上表示互为相反数的两个点所在的位置有什么特点？ （2）怎样求一个数的相反数？

探究任务三：利用数轴理解绝对值的意义

【反思】（1）绝对值是它本身的数是什么？绝对值是它的相反数的数是什么？ （2）如何利用数轴比较两个有理数的大小？

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同步练习（答题时间：60分钟）

一、选择题。

1、在－1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

2、小明的爸爸开的小店昨日获利120元，在每日收支账本上写了“120元”，今天小店亏了20元，他应记作（ ）

A. 20元 B. －20元 C. －20 D. 100元 3、如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ） A. －18% B. －8% C. ＋2% D. ＋8%

4、某工厂计划每月生产800吨产品，二月份生产了750吨，那么它超额完成（ ） A. －50吨 B. －750吨 C. 50吨 D. 750吨 5、下列说法正确的是（ ）

A. “黑色”和“红色”是具有相反意义的量 B. “快”和“慢”是具有相反意义的量

C. “向北4.5米”和“向南4.5米”是具有相反意义的量 D. “＋15米”表示向东走了15米

*6、下面关于“0”的叙述正确的有（ ）

（1）是整数，也是有理数；（2）不是正数，也不是负数；（3）不是整数，是有理数；（4）是整数，不是自然数。

A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 *7、下列说法正确的个数有（ ） （1）0是整数；（2）－1是负分数；（3）3.2不是正数；（4）自然数一定是正数；（5）负分数一定是负有理数。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

**8、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前为负，10时以后为正，如9∶15记为－1，10∶45记为1等。则上午7∶45应记为（ ）

A. 3 B. －3 C. －2.5 D. －7.45 二、填空题。

9、小明的姐姐在银行工作，她把存入4万元记做＋4万元，那么支取2.5万元应记做__________，－3万元表示：__________。 10、一种零件的长在图纸上标示为：20±0.01（单位：mm），表示这种零件的长应是20mm，加工要求最大不超过__________，最小不小于__________。

11、在有理数：－1，2.5，0，1，1，－15中，整数有__________。

**12、下列语句：①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③小学学过的数都是非负数；④奇数都是正数；⑤分数是有理数；⑥在有理数中，不是负数就是正数；⑦非正整数是零和负整数。其中正确的语句是__________，不正确的语句是__________。（只写序号）

三、计算题。

13、说明下列每句话的实际意义。

（1）支出－50元；（2）向西走－100米； （3）成本增加－10%；（4）温度上升－8℃； （5）海拔－600米；（6）海拔100米。 14、工厂生产的乒乓球是有规定的，不过在实际生产中有的可能轻一点，有的可能重一点，比标准重0.02克记作0.02克，比标准轻0.01克记作－0.01克，正好符合标准则记作0克，

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现在有10个乒乓球，称得它们的质量分别是0.02克、0.01克、－0.01克、0克、－0.03克、0克、－0.02克、－0.01克、0克、0.03克。产品规定，乒乓球最重不能超过标准0.02克，最轻不能少于标准0.02克才算合格，这10个乒乓球中合格的有几个？等于标准质量的乒乓球有几个？

*15、判断数的属性，在适当的空格里面画“√”。 －5 －3 0 2.9 37 1081 －0.000 1 ＋60 正整数 负整数 整数 正分数 负分数 分数 有理数 **16、下列各组数具有一定的规律性，请你根据规律写出后面的3个数，并求出第15个数、第100个数、第101个数。

（1）0，－1，0，－1，0，－1，0，－1，_____，_____，_____，„ （2）－1，2，－3，4，－5，6，－7，8，_____，_____，_____，„

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