相似三角形常见题型解法归纳

A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形

双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直

C角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项

⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD=AD•BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC=AD•AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB

结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD

结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式 证明等积式(比例式)策略

1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件

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ADB相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：

遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。

（3）等比代换：若a,b,c,d是四条线段，欲证

acbd，可先证得

aebf（e,f是两条线段）然

后证

ecfd，这里把

ef叫做中间比。

①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD

②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形,求证：BD•CN=BM•CE．

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③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证：BP•PC=BM•CN

☞有射影，或平行，等

比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片

①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF

②

ABCD

FBADEC③梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE

☞四共线，看条件，其中一条可转换；

Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。 求证：EF2=BE•FC

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②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA， 求证：BP2=PE·PF。

③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F. 求证： DE2=BE·CE.

FA12 ☞两共线，上下比，过端平行条件边。

①AD是△ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.

ABDCEE123BDC②在△ABC中，AB=AC， 求证：DF:FE=BD:CE.

A

E

B

CF

D

③在△ABC中，AB>AC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.

A

D

E

BPC

④在△ABC中，BF交AD于E.

(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.

（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC

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AFEDCB__________________________________________________

⑤在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，试求BP、PQ、QM的长.

⑥△ABC中，AC=BC，F为底边AB 上的一点，连结AD并延长交BC于E.（1）

（m、 n＞0），取CF的中点D，

的值.（2）如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有

怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。

☞彼相似，我条件，创造边角再相似 ①AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，试说明△EBC∽△

DEB

②已知ABD∽ACE，求证：ABC∽ADE．

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③D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC。

④D、E分别在△ABC的AC、AB边上，且AE•AB=AD•AC，BD、CE交于点O. 求证：△BOE∽△COD.

AEBODC__________________________________________________