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实变函数

【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n维欧式空间为基地，重点内容是Lebesgue测度和积分的理论，而Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础，本文主要论述了Lebesgue外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。 【关键词】Lebesgue外测度，测度，可测集，可测函数

1.引言

在19世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题，为了克服Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，18年,Borel建立了一维Borel点集的测度，法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论—Lebesgue积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家Caratheodory关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用）。Riemann积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外，Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设

f(x)在[a,b]上有界，满足mf(x)M，任给0，作分割

my0y1ynM其中，yiyi1，并作点集

Ei{x:yi1f(x)yi,axb}i1,2,n.

则对应于上面分割的积分和为

yi1ni1|Ei|,其中|Ei|为点集Ei的长度，这种积分的优点在

于可以取很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类。积分和计算的关键是点集Ei的度量，对于通常的区间Ei的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到

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在Rn中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue外测度与测度理论。Lebesgue外测度是对Rn中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。

2.Lebesgue 外测度

2.1 Lebesgue 外测度定义

Def 1：设ERn。若{Ik}是Rn中的可数个开矩体，具有EIk，则称{Ik}为E的

k1一个L—覆盖，我们称minf{度。

*|Ik1k|:{Ik}为E的L—覆盖}为点集E的Lebesgue外测

2.2 Rn中点集的外测度性质

*（）0 （1）非负性：m*E0,m（2）单调性：若E1E2，则m(E1)m(E2)

**（3）次可加性：m(Ek)m*(Ek)

*k1k1证明： 0，Ek的L—覆盖{Ik}，使得 EkIk,l，

l1|Il1k,l|m*(Ek)2k

 EkIk,l，

k1k1k,l1|Ik,l|m*(Ek)

k1显然，{Ik,l:k,l1,2,}是Ek的L—覆盖，从而有m(Ek)k1k1*m(E)。由的

*kk1任意性可知结论成立。

（4）距离可加性：设E1，E2是Rn中的点集，若它们的距离d(E1E2)0

m*(E1E2)m*(E1)m*(E2)

证明： m*(E1E2)m*(E1)m*(E2)显然成立

 只要证明m*(E1E2)m*(E1)m*(E2)即可。

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设m(E1E2)，对0，作E1E2的

*L—覆盖{Ik}，使得

|Ik|m*(E1E2)，其中Ik的边长都小于

k1d(E1E2)，现将{Ik}分为如下两组： nk1（ⅰ） Ji1,Ji2,E1Jik （ⅰ） Jl1,Jl2,E2Jlk

k1且其中任一矩体皆不同时含有E1与E2中的点

 m(E1E2)|Ik||Jik||Jlk|m*(E1)m*(E2)

*k1k1k1 由任意性可知m*(E1)m*(E2)m*(E1E2)

综上知 m(E1E2)m(E1)m(E2)

（5）平移不变性：设ER，x0R，令E{x0}{xx0,xE}，则

nn***m*(E{x0})m*(E)

证明： E的任一L—覆盖{Ik}经过x0的平移后，{Ik{x0}}仍是E{x0}的L—覆盖

 m*(E{x0})|Ik{x0}||Ik|m*(E)，即 m*(E{x0})m*(E)

k1k1同理若对E{x0}作向量x0平移，

****则有 m(E{x0}{x0})m(E{x0})，即 m(E)m(E{x0}) **综上知 m(E{x0})m(E)

3.可测集与测度

3.1 可测集与测度定义

nnDef 2：设ER，若对任意的点集TR，有m(T)m(TE)m(TE)，

***c则称E为Lebesgue可测集，简称可测集，其中T称为试验集，可测集的全体称为可测集类，简记为U。对于可测集E，其外测度称为测度记为m(E)，也就是通常所说的R上的Lebesgue测度。

证明：对0，T的L—覆盖{Ik}，使得m(T)*n|Ik1k|

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m*(T)m*((TE)(TEc))m*(TE)m*(TEc)m((Ik)E)m((Ik)E)m((IkE))m((IkEc))**c**k1*k1k1k1

m(IkE)m(IkE)(m(IkE)m(IkE))*c**ck1k1k1

m(Ik)|Ik|m*(T)*k1k1 由任意性知：m*(T)m*(TE)m*(TEc)

（注意：一般为了证明Rn中任一点集E是可测集，则只需对任意一点集TRn，证明

m*(T)m*(TE)m*(TEc)成立即可，有时也可利用m*(E)0，则EU）

3.2 可测集的性质

（1）U；

（2）若EU，则EcU；

（3）若E1,E2U，则E1E2,E1E2,E1E2U。

,2,)，则其并集也属于U；若进一步有EiEj(ij)，则（4）若EiU(i1。 m(Ei)m(Ei)，即m*在U上满足可数可加性（或称为-可加性）

i1i14.可测函数

4.1 可测函数定义

Def 3：设f(x)是定义在可测集ER上的广义实值函数，若对于任意的实数t，点集

n{xE:f(x)t}是可测集，则称f(x)是E上的可测函数，或称f(x)在E上可测。

4.2 可测函数运算性质

（1）若f(x)，g(x)是E上的实值可测函数，则下列函数

ⅰcf(x)cR; ⅰf(x)g(x); ⅰf(x)•g(x) 都是E上可测函数 证：ⅰ对于tR

若c0，则由{x:cf(x)t}{x:f(x)}，可知。cf(x)在E上可测。

11tc 第 4 页 共 6 页

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若c0，则由{x:cf(x)t}{x:f(x)}，由f(x)在E上可测知{x:f(x)}可测，即cf(x)在E上可测。

若c0，则cf(x)0，即cf(x)在E上可测。

1tctcⅰ对于tR，{x:f(x)g(x)t}({x:f(x)r}{x:g(x)tr}，其中{r}iiii1是全体有理数，从而可知f(x)g(x)是E上的可测函数。 ⅰ首先，f(x)在E上可测，对于tR，

21E{x:f2(x)t}{x:f(x)t}{x:f(x)t}t0;t0;

[f(x)g(x)]2[f(x)g(x)]2f(x)g(x)，其中由上ⅰ知f(x)g(x)在E上可测。

4即f(x)•g(x)在E上可测。

（2）若{fk(x)}是E上的可测函数列，则下列函数

ⅰsup{fk(x)}; ⅰinf{fk(x)}; ⅰlimfk(x); ⅰlimfk(x) 都是E上可测函数

k1k1kk（3）若{fk(x)}是E上的可测函数列，且有limfk(x)f(x)，则f(x)是E上的可测函数。

k5.Lebesgue积分

5.1 Lebesgue积分的定义

Def 4：设f(x)是ERmE上的非负可测函数，我们定义f(x)是E上的勒

n贝格积分

Ef(x)dxsup{h(x)dx,h(x)是Rn上的非负可测简单函数}

h(x)f(x)E这里的积分可以是，若

f(x)dx，则称f(x)在E上Lebesgue可积的。设f(x)是

EEEERn上的可测函数，若积分f(x)dx，f(x)dx至少有一个是有极限值，则称

Ef(x)d(x)f(x)dxf(x)dx为f(x)E上可积函数的全体记作L1(E)。

EE5.2 Lebesgue积分与Riemann积分的关系

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Th1：设f(x)是定义在有界闭区间[a,b]上的有界函数，则f(x)在[a,b]上是Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点集是零测集。

Th2：若f(x)在有界闭区间[a,b]上是Riemann可积的，则f(x)在[a,b]上也是Lebesgue可积的，其积分值相同。

6.小结

Lebesgue外测度是对Rn中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，它成功的解决了Riemann积分只适用于连续函数的的最大缺限，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。首先，给出了Lebesgue外测度的定义；接着着重指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；然后给出了测度的定义与性质；最后延伸介绍了可测数函数与Lebesgue积分。

7.参考文献

[1] 胡适耕.实变函数(第二版）[M].北京:高等教育出版社，2014. [2] 周民强.实变函数论（第二版）[M].北京:北京大学出版社，2008. [3] 周民强.实变函数解题指南 [M].北京:北京大学出版社，2007.

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